3.1.6.2. Колебательное звено второго порядка.

Дифференциальное уравнение для колебательного звена второго порядка полученное выше:

. L * C * d²uc / dt² + C * R * duc / dt + uc = U

Ему соответствует характеристическое уравнение

L * C * р² + С * R * p + 1 = 0

или

Те* Тм * p² + p * Тм + 1 = 0

или

T² * р² + 2 *  * T * p + 1 =0

Где

 = Tм/2T

Имеет корни:

___________ ______

p12 = -  / T +-  ( / T)²- 1 /Т² =1/Т *(-  +-  (² - 1 )

Этому характеристическому уравнению соответствует передаточная функция

W(p) = 1/ (T² * р² + 2 *  * T * p + 1)

Разделив эту передаточную функция на р получим переходную функцию в операторном виде:

АЭП. 3.1.25. 05.08.11. 10.10.11.

h(p) = 1/ p*(T² * р² + 2 *  * T * p + 1)= (1/T²) * 1/(p³+2 *  * p²/T +p/T² )

Использовав обратное преобразование Лапласа получим переходную функцию для колебательного звена второго порядка.

Но в таблице преобразований Лапласа нет такого изображения, поэтому воспользуемся теоремой разложения.

Продифференцировав знаменатель переходной функции получим:

В’(p) = 3*p² +4**p / T + 1/T²

Подставив в него p= p1 и p=p2 получим В’(p1) и В’(p2)

Свободная составляющая переходного процесса:

uccb(t) = U/ [В’(p1)] *e^p1*t+ U/ [В’(p2)]*e^p2*t

Вынужденная составляющая ucпр = U

Переходный процесс описывается выражением:

uc(t) = U + U/ [В’(p1)] *e^p1*t + U/ [В’(p2)]*e^p2*t

АЭП. 3.1.26. 05.08.11.

3.1.7. Частотный метод расчета переходного процесса. [Новгородцев 30 лекций по тоэ]

Принципиально отличным методом расчета переходных процессов является частотный. Он не требует составления дифференциальных уравнений цепи, а базируется на использовании интегрального преобразования Фурье. Его первый этап — нахождение спектральной плотности— Фурье-изображения входного сигнала f₁(t)

Далее в частотной области с помощью частотной передаточной функции находят изображение выходной величины

затем временную зависимость выходного сигнала f₂(t) определяют с помощью обратного преобразования Фурье

Поэтому с помощью интеграла Фурье можно рассматривать лишь переходные процессы при нулевых начальных условиях, когда входное воздействие f₁ прикладывается к цепи, не имеющей начального запаса энергии, а при t<0 все токи и напряжения равны нулю, т.е.

f₁(t) = 0 и f₂(t) = 0 при t<0.

При анализе таких процессов формулы прямого и обратного преобразования Фурье принимают вид:

Они определяют так называемое одностороннее преобразование Фурье. Ряд его свойств совпадает со свойствами двустороннего преобразования Фурье. Так, сохраняют силу свойства линейности, соотношения для изображения запаздывающего сигнала.

Существуют таблицы для Фурье-изображений наиболее часто встречающихся функций.

Сравнивая преобразование Лапласа и Фурье можно отметить их большое сходство, а именно различие заключается в том, что параметр p в преобразовании Лапласа равен p=+ j *  , .а в преобразовании Фурье =0, а =. Поэтому осуществляя преобразования Фурье можно использовать таблица преобразования Лапласа.

АЭП. 3.1.27. 05.08.11.

3. Частотная передаточная функция является важнейшей характеристикой динамического звена при подаче на вход гармонического сигнала:

Hвх = U1m * e^jt

Hвых =U2m * e^{j(t + )}

или частотная передаточная функция:

W(j) = uвых / uвх = U2m * е^{j(t +)} / U1m * e^jt = A() * e^j (6)

Допустим частотная передаточная функция равна

W(j) = k /[j * (1+ j* T)]

то избавившись от j в знаменателе получим:

W(j)= k * j * (1 - j * T) /[-  * (1 + ² * T²)]=

- j*k / [* (1 + ² * T²)] - k * T /[ (1 + ² * T²)]

Или в вещественная и мнимая части функции:

P(j) = - k * T /(1 + ² * T²)

Q(j) = - k*j / [* (1 + ² * T²)]

Для наглядного представления частотных свойств динамических звеньев используются следующие частотные характеристики:

3.1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), определяющая зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты при постоянстве амплитуды входного сигнала - W(j).

3.2. Фазово-частотная характеристика (ФЧХ), определяющая зависимость фазы выходного сигнала от частоты при постоянстве фазы входного сигнала.

3.3. Амплитудно-фазавая характеристика (АФЧХ), объеденяет амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики.

При исследовании систем автоматического управления (САУ) частотные характеристики удобно рассматривать в логарифмическом масштабе, L(ω) = 20* lg[W(j)] = f(lg(ω)

АЭП. 3.1.28. 05.08.11.

Все функции характеризующие систему, полученные в результате преобразования Лапласа и Фурье, а именно передаточная функция, частотные характеристики, временная и импульсная переходная функции взаимосвязаны и могут быть определены одна из другой согласно таблице.

	Передаточная функция W(p)	Частотная передаточная функция W(j)	Переходная функция h(t)	Импульсная функция Функция веса. w(t)
Переда-точная Функ-ция W(p)	Передаточная функция непре-рывной системы W(p) представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преоб-разованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.	W(p) = W(j)	Передаточная функция W(p) звена связана с его переходной функцией h(t) преобразованием Карсона: W(p)=p*L(h(t))	Передаточная функция W(p) звена связана с импульсной функцией w (t) преобразованием Лапласа: W(p)=L(w(t))
Частот- ная переда-точная функция W(j)	W(j) = W(p)	Частотная передаточная функция W(j) получается подстановкой p=j в передаточную функцию W(p).	W(j)= = (j)*Ф(h(t))	Частотная передат-очная функция W(j) связана с функцией веса w(t) преобразова-нием Фурье: W(j)=Ф(w(t))
Переходная функ-ция h(t)	Переходная характеристика определяется как обратное преобразование Лаплпса передатоной функции деленной на р. h(p)=W(p)/p h(t)=L^-1(W(p)/p) h(t)  W(p)/p	Переходная характеристика определяется как обратное преобразование Лаплпса от частотной передаточной функции деленной на j. h(t)=Ф^-1(W(j)/j)	Переходная характеристика h(t) - это реакция системы на вход-ное единичное 1(t) ступенчатое воз-дей ствие при нулевых началь-ных условиях.	Переходная функция h(t) является интегралом от импульсной переходной функции. h(t)=w(t)*dt
Импуль- сная функ-ция Функ-ция веса. w(t)	Импульсная переходная функция w(t) определяется как обратное преобразо-вание Лапласа от передаточной функции. w(p)=W(p) w(t)  W(p) w(t)=L^-1(W(p))	Импульсная переходная функция w(t) Определяется как обратное преобразование Фурье от частотной переходной функции. w(t)=Ф^-1(W(j)) W(j)=P()+jQ() Уравнение (A).	Импульсная переходная функция является производной от переходной функции. w(t)= dh(t)/dt	Импульсной переходной функцией w(t) называется функция, описывающая переходный процесс в системе при воздействии, дельта функции (t).

Согласно [Никулин. С. 284]

W(j)=P() + j * Q()

(A)

АЭП. 3.1.29. 05.08.11.