1.3.7. Динамика газов. Элементы теории движения реальных газов

При движении газа на каждый его объем будут действовать не только те силы, которые характерны для статики, но и другие, сильно усложняющие как явление в целом, так и его математическое описание. Для движения идеального газа этими дополнительными силами будут силы инерции, а для реального газа — силы инерции и трения (вязкости). В механике сплошных сред большое внимание уделяется выводу и использованию соответствующих математических уравнений, описывающих движение идеальных (уравнения Эйлера) и реальных сред (уравнения Навье — Стокса). Уравнения Навье — Стокса настолько сложны, что к настоящему времени решены лишь для крайне ограниченного числа случаев. Эта сложность вызвана сильным влиянием вязкости среды на различные аспекты процесса движения. В силу этого в допустимых случаях прибегают к решению уравнений Эйлера для движения идеальных сред с введением необходимых поправок и уточнений. Таким образом, получено одно из важнейших уравнений гидро- и аэродинамики — уравнение (закон) Бернулли.

Уравнение Бернулли.

В практических условиях распространенным является движение в трубах и каналах, когда газ через боковые стенки не расходуется. В таких случаях для расчетов применяется уравнение Бернулли, полученное для струйки тока (трубка тока), характерной тем, что расход газа в любом ее сечении остается неизменным (обмен газом между всем потоком и струйкой тока через ее боковые границы отсутствует).

Для несжимаемого газа () уравнение Бернулли при условии, что все его члены отнесены к единице объема, имеет вид

(10)

В соответствии с этим величина является пьезометрическим давлением, величина — геометрическим давлением, величина — скоростным давлением.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии, поскольку сумма характеризует потенциальную, а величина — кинетическую энергию.

В металлургической теплотехнике в большинстве случаев пользуются давлением, избыточным над атмосферным. Необходимо уравнение Бернулли привести к такому виду, при котором все члены его были бы выражены в избыточных давлениях. Для этого представим себе канал, окруженный воздухом плотностью , по которому движется газ плотностью . Принимая плотности газа и воздуха неизменными, напишем уравнение Бернулли и для газа и воздуха применительно к сечениям канала и .

Уравнение для газа

.

Уравнение для воздуха (считаем, что воздух находится в спокойном состоянии)

.

Вычитая из первого второе, получаем уравнение Бернулли для газа в избыточных давлениях:

. (11)

Уравнение можно переписать в таком виде:

.

Однако равенство строго справедливо лишь для идеальной среды, полностью лишенной вязкости. Если по каналу перемещается реальная (вязкая) жидкость (газ), то часть энергии тратится на преодоление трения и различных сопротивлений и происходит потеря энергии.

В этом случае при движении от сечення к сечению

(12)

и окончательно закон Бернулли формулируется следующим образом: «При установившемся течении несжимаемой жидкости (газа) для различных сечений канала сумма давлений всех видов является постоянной».

Рассмотрим, что представляет собой потерянное давление, входящее в уравнение Бернулли.

При движении реального газа часть его энергии расходуется на преодоление трения и различных сопротивлений.

Потери на местные сопротивления возникают при резком изменении величины и направления скорости, при резком изменении сечения канала, при повороте канала или усложнении его сечения, при соударении потоков. Величину потерь энергии выражают в долях скоростного давления.

Потери на трение ,(Па) можно определить по формуле

(13)

где — коэффициент трения; — длина канала, м; — гидравлический диаметр канала, м ; и — плотность и скорость жидкости (газа) при нормальных условиях, т.е. при атмосферном давлении и температуре Т_о, равной 273 К; Т — действительная температура жидкости или газа, К.

При ламинарном движении (Rе<2300) коэффициент трения зависит от критерия Rе

. (14)

При турбулентном движении коэффициент трения зависит не только от критерия Re, но и от относительной шероховатости стенки канала (), равной отношению абсолютной шероховатости (в мм) к диаметру канала :

При приближенных практических расчетах коэффициент трения можно принимать постоянным и равным для кирпичных каналов 0,05, для металлических 0,04.

Потери на преодоление местных сопротивлений (Па), определяются по формуле

,

где — коэффициент местного сопротивления. Его величина зависит от формы местного сопротивления, как правило, определена опытным путем и приведена в справочной литературе.

Важнейшим расчетом, который выполняется для подавляющего большинства печей, является определение суммарных потерь давления на пути движения дымовых газов от печи до дымовой трубы. Суммарные потери используются при определении размеров дымовой трубы, которая рассчитывается из условия, что разрежение, создаваемое дымовой трубой, должно быть по абсолютной величине больше суммы всех сопротивлений, возникающих в дымовом тракте печи.

Таким образом, уравнение (закон) Бернулли находит очень широкое применение. Наряду с уравнением Бернулли важную роль в гидро- и аэродинамике играют также уравнение сплошности (или неразрывности течения) и уравнение импульсов Эйлера.

Уравнение сплошности.

В практических условиях наиболее распространенными являются такие процессы, при которых масса газа, протекающая по какому-то объему, остается неизменной. При этом, естественно, масса газа, втекающая в объем в единицу времени, должна быть равна массе вытекающего газа.

Следовательно, можно написать, что , или, учитывая, что масса есть произведение скорости, сечения потока и плотности, получаем

.

При условии постоянства плотности () последнее выражение принимает вид

. (15)

Если в качестве скорости принимать среднюю скорость потока, то выражение (15) применимо для практических расчетов при течении в трубах и каналах, причем средняя скорость потока определяется как частное от деления секундного объема среды, проходящего через данное сечение, на величину площади сечения, т. е.

.

Уравнение импульсов Эйлера.

Уравнение импульсов (количества движения) Эйлера имеет важное значение для некоторых практических расчетов. Это уравнение применимо к какому-то воображаемому контуру, выделенному в общем потоке газа, через боковую поверхность которого ни движения, ни массообмена не происходит.

В подобном контуре под действием внешних сил (в потоке газа - под действием давления) происходит изменение количества движения газа. Если изменение импульсов проходящего газа и изменение внешних сил отнести к единице времени, то теорема импульсов Эйлера может быть сформулирована следующим образом: «Изменение импульса всех сил, приложенных к газу, проходящему через выделенный контур, равно результирующей внешних сил, действующих на данный контур».

Записывается это уравнение так:

. (16)

Применение уравнения импульсов будет проиллюстрировано ниже при рассмотрении струйных аппаратов.

Наиболее важные случаи применения уравнения Бернулли.

Истечение газов через отверстия и насадки

Истечение газов через отверстия и насадки наблюдается при работе горелок, форсунок, при выбивании газа через отверстия в стенах печи и в других случаях. Установим связь между количеством вытекающего газа и размерами отверстия и давлением, под которым происходит истечение. Для простоты возьмем истечение несжимаемого газа, температура которого в процессе истечения практически не изменяется.

Отверстия с острыми краями.

Предположим, что из сосуда очень больших размеров, давление в котором , газ вытекает через отверстие сечением в среду с давлением . Для определения скорости истечения газа напишем уравнение Бернулли для сечений и (рис. 8). Поскольку температура газа неизменна, то . В этом случае, пренебрегая потерями, можно написать

.

Вследствие большого размера сосуда можно принять .

Тогда

.

Отсюда

.м/с. (17)

В силу инерции частичек истекающего газа сечение струи меньше сечения отверстия. Отношениеназывается коэффициентом сжатия струи. Скоростьфактически относится не ко всему сечению отверстия, а лишь к сечению струи. Для определения расхода газа через отверстиенайдем. Но, следовательно,

. (18)

С учетом гидродинамических потерь при истечении через отверстие выражение (18) принимает вид (м³/с)

.

Смысл коэффициентов иясен из следующего примера.

Истечение из отверстия в стенке печи (рис. 9) – весьма распространенный на практике случай. Рассмотрим подобный случай истечения (с учетом потерь) из отверстия сечением , расположенного на участкеH от уровня пода печи. Напишем уравнение Бернулли для сеченияи точкиAв сечении:

.

Скорость движения газов в отверстии много больше скорости; исходя из, принимаем.

Как следует из изложенного выше, потери на местные сопротивления могут быть определены как

Так как печь сообщается с атмосферой на уровне пода, то пьезометрическое давление газа внутри печи и давление воздуха снаружи равны между собой и равны .

Давление в точкеА соответствует атмосферному давлению на высотеНот уровня сечения , т.е.

и .

С использованием этих зависимостей уравнение Бернулли принимает вид

или

.

Отсюда:

. (19)

Величина учитывает гидравлическое сопротивление отверстия, через которое происходит истечение. Количество истекающей из рассматриваемого течения среды (м³/с), где- сечение струи, м².

Но если использовать понятие коэффициента сжатия струи , то.

Произведение называют коэффициентом расхода.

Истечение через насадки.

Насадкой называют короткий патрубок, присоединенный к отверстию в тонкой стенке. Длина насадки обычно составляет 3 – 4 его диаметров. Количество газа, протекающее через насадку, при прочих равных условиях зависит от формы входных кромок и формы самой насадки. Рассмотрим насадки трех видов, представленные на рис. 10. Пользуясь уравнением (19) получим для них

следующие расчетные формулы:

для насадки с острыми кромками:

; (20)

. (21)

Для насадок с закругленными кромками и диффузора:

. (22)

Для этих насадок в сечении сечения струи и отверстия равны друг другу и поэтому здесь. Сравнение выражений (20), (21) и (22) показывает, что наибольший расход при одинаковом значениии при одинаковом минимальном сечении насадок получается при истечения газа через диффузор, так как площадь выходного сечения у диффузорабольше, чем у насадок других типов. Угол конусности диффузора не должен превышать 6 – 7º во избежание отрыва потока от стенок диффузора.

Дымовая труба.

Дымовая труба служит для удаления продуктов сгорания из печи. Необходимое разрежение создается в дымовой трубе благодаря стремлению горячих газов подняться, обусловленному разностью плотностей холодного наружного воздуха и горячих газов.

Найдем зависимость разряжения, создаваемого трубой, от высоты трубы Hи температуры газов. На рис. 11 представлена схема дымовой трубы. За уровень отсчета принимаем сечение. Напишем уравнение Бернулли в избыточных давлениях для сеченийи:

.

Труба в сечении сообщается с атмосферой, поэтому. Из приведенного выше уравнения следует, что пьезометрическое давление в основании трубы

.

Ввиду незначительных скоростей движения газов в трубе величины потерь, выражаемые в правой части приведенного выше уравнения тремя последними членами, значительно меньше абсолютной величины потери, выражаемой первым членом. Следовательно, пьезометрическое давление в основании трубы будет отрицательным, т.е. там будет разряжение. Умножив правую и левую части последовательно на минус единицу, получаем

.(23)

Потери давления в трубе складываются из потерь на трениеи потерь, возникающих при выводе газов из трубы в атмосферу и равных. Учитывая, что коэффициент местного сопротивления на выходе из трубы равен единице (), можно написать, что

.

Вследствие этого уравнение (23):

. (24)

Для того чтобы получить окончательное выражение для , в уравнение (24) необходимо подставить все входящие в него величины. Температура газов по высоте дымовой трубы и её сечение существенно изменяются, поэтому принимаемые в расчете плотность и скорость движения газов в дымовой трубе определяются по средней температуре по высоте трубы. Величина геометрического давления, входящего в уравнение (24), выражается уравнением (3). Динамические давления будут соответственно равны

и .

Потери давления на трение находят по уравнению

.

Подставив в уравнение (24) значения ,,,и выразив их через скорости и плотности при нормальных условиях (и) по указанным выше выражениям, окончательно получаем (Па)

, (25)

где - действительное разрежение трубы в основании дымовой трубы (сечение), Па;и- плотность соответственно воздуха и газов при нормальных условиях, кг/м³;- средний по высоте диаметр трубы, м;и- скорость газов в сечениях(в основании трубы) и(в устье трубы) при 0ºС, м/с;- средняя скорость газов по высоте трубы при 0ºС, м/с;- температура окружающего воздуха, ºС;- средняя температура газов по высоте трубы, ºС;и- температура газов в сеченияхи, ºС.

Если учесть, что

,

, где , то выражение (25) может быть переписано следующим образом:

.

Отсюда

м. (26)

В расчетах разряжение в основании дымовой трубы принимают обычно с запасом, равным . Величинапредставляет собой суммарные потери давления на пути движения газов от печи до основания дымовой трубы..

При расчете дымовой трубы внутренний диаметр в устье ее (на выходе) принимают, исходя из скорости газов, равной 3 – 10 м/с (при скорости выхода газов, меньшей 3 м/с, при ветре может происходить их задувание в трубу). Кирпичные и железобетонные дымовые трубы для большей устойчивости делают более широкими в основании. При расчетах внутренний диаметр в основании трубыпринимают в 1,5 раза больше внутреннего диаметра устья трубы, т.е..

По условиям выполнения кладки для кирпичных труб не должен быть меньше 0,8 м.

Падение температуры газов на 1 м высоты трубы принимается для кирпичных и железобетонных 1,0 – 1,5ºС, а для металлических 3 – 4 ºС. Ориентировочно высота трубы может быть определена по уравнению (26) без трёх последних его членов. Подсчитав сумму потерь всех видов на пути движения газов от печи до основания дымовой трубы, по уравнению (26) находят расчетную высоту трубы . Независимо от расчета высота дымовой трубы по санитарным нормам должна быть не менее 16 м и в 2 раза выше самого высокого здания, находящегося в радиусе 100 м вокруг трубы.