книги / Механика грунтов

После простейших тригонометрических преобразований ус­ ловие предельного равновесия для сыпучих грунтов можнс представить так:

	1 — 81П ср	(44>)
	1 -(- 31П ср
	или
	- ^ = *§2^45°+ -|-).	(44й)
	Отношение главных напряжений — носит также	название
	а1

коэффициента бокового давления, при этом знак минус соот­ ветствует а к т и в н о му , а знак плюс — п а с с и в н о м у давле­ нию грунта, что подробно будет рассмотрено в § 4 настоящей главы. При рассмотрении условий прочности сыпучих грунтов из двух знаков, стоящих перед ср/2, следует выбрать знак ми­ нус, так как этому случаю будет соответствовать наименьшее значение отношения главных напряжений, определяющее ве­

личину	максимального	угла отклонения		вмакс *
	аз=	а! *82 (45° — ср/2);		(44ш)
	оз =	^ 1§2 (45° + <р/2).
Если	ввести обозначение
которое в статике сыпучей среды			обычно называют х а р а к т е ­
р и с т и к о й н а п р я ж е н и я , то,			используя	формулу (44), лег­

ко получить следующие уравнения для определения главных напряжений грунта, находящегося в предельно напряженном состоянии:

	<*1=	а (1 + з!п ср);	(441у)
	а3 =	а(1 — з1п ср).

Необходимо отметить, что угол наибольшего отклонения и условие предельного равновесия можно выразить через состав­

ляющие напряжений	и т. Поставив в формулу (84)
известные выражения для главных напряжений			И т,
будем иметь
81П е“4кс— (а, + аг)»		'	04*)
Приведенные выражения	(44) —(44у )	имеют	первостепен­

ное значение для установления условий прочности, устойчивости и давления грунтов на ограждения.

Для	г р у н т о в с в я з ных,	согласно рис.		128,6 и форму­
ле (45),	будем иметь следующее у с л о в и е			п р е д е л ь н о г о
р а в н о в е с и я
	а1 Ь °31- '2Рь		■81П <р.	(45)
Откуда			аГ+ а3
	:2з1п 9			(451)
			+ Л .
а так как давление связности [формула (43')]
	Р =		с
		------- ,

е

где с — сцепление связного грунта, или начальный параметр прямолинейной огибающей кругов предельных напряжений, то условие предельного равновесия для связных грунтов может быть представлено так:

т (°‘У ‘ +	(45")
\ 2	/

или	а1—а3
1
соз ср	(45ш )
	2
Из уравнения (45й ) получаем выражение
а1 — ^з=	21^ 9 соз 9 а1+°3 •2ссоз9,

тождественное с уравнением (45ш )

В отдельных случаях представляется удобным выразить ус­ ловие предельного равновесия через составляющие напряже­

	ний, которое для связных грунтов принимает			следующий вид:
	К ~ °гУ +- ^ уг		:31п29.	(451У)
	(ау + аг Т	ср)2

В практических приложениях, например при графическом решении задач теории предельного равновесия, иногда удобнее пользоваться кругом предельных напряжений. Напомним неко­ торые его свойства, известные из курса сопротивления мате­ риалов.

Как известно, координаты точек круга напряжений изобра­ жают нормальные и касательные напряжения, действующие по всем площадкам, которые могут быть проведены через задан­ ную точку. Так, например, для определения напряжений, дейст­ вующих на некоторую площадку, составляющую угол а с на­ правлением главной площадки (рис. 128,6), необходимо про­ вести радиус СМ, составляющий угол 2а с осью а. Тогда ор­ дината точки М будет равна касательному напряжению та ,

действующему на рассматриваемую площадку, а абсцисса — нормальному напряжению ав, действующему на ту же пло­ щадку, что можно легко доказать и чисто геометрическим путем.

В условиях предельного равновесия, как указывалось ранее, угол максимального отклонения будет равен углу внутреннего трения грунта, т. е. 0макс = <р.

Таким образом, предельная прямая ОЕ будет наклонена под углом внутреннего трения <р к оси нормальных напряжений.

Если соединить точку касания предельной прямой и круга напряжений с концом отрезка, изображающего главное напря­ жение а3 (точка А на рис. 128,6), то направление ЕА опреде­ лит направление площадки скольжения.

По рис. 128,6 находим

< ВСЕ = 2р = 90° + ?,

откуда

< Р = 45°Т

Таким образом, в условиях предельного равновесия площад­ ки скольжения будут наклонены под углом ±^45°-|--—^ к на­

правлению площадки, на которую действует наибольшее глав­ ное напряжение, или, что то же самое, под углом ± ^45°— к

направлению большего главного напряжения о1.

Площадки скольжения в массиве грунта, находящегося в состоянии предельного равновесия, образуют два семейства не­ прерывных поверхностей, которые называются п о в е р х н о с т я ­ ми с к о л ь ж е н и я .

Таким образом, круг предельных напряжений дает возмож­ ность определить площадки скольжения для любой заданной точки при любом направлении действующих усилий.

При увеличении напряжений состояние предельного равно­ весия распространяется на соседние точки массива, в резуль­

тате чего	образуется особая	о б л а с т ь п р е д е л ь н о г о р а в ­
н о в е с ия ,	характерная тем,	что во всех точках этой области

сдвигающие напряжения достигают предельного сопротивления сдвигу.

Дифференциальные уравнения предельного равновесия грунтов в общем случае напряженного состояния

П л о с к а я з а д а ч а . В общем случае дифференциальные уравнения равновесия при плоском напряженном состоянии в системе координат (у, г ), считая, что ось У наклонена к гори-

зснту	под	углом 8, могут	быть	представлены	в следующем
виде *:		дву	дт
					(А)
		+	^ = Т 8 Ш 8 ;
		~дг + ^ Г = Т С 0 5 § ,			(Б)
где	о	ау и туг — соответствующие компоненты напря­
		жения;		вес грунта.
		Т — объемный			выраженным
У с л о в и е м п р е д е л ь н о г о				р а в н о в е с и я ,

через составляющие напряжения, согласно формуле (45]/ ) бу­ дет

(ау — <*гУ+		(В)
К +	: 8 1 П 2 Ср.
	+ 2^ С1§ <Р)Э
Таким образом, для определения трех составляющих напря­
жения в данной точке	имеются три уравнения:	(А), (Б), (В),

т. е. задача и в общей постановке является статически опреде­

лимой.	н а п р я ж е н и й ,		принимая	во внима­
Х а р а к т е р и с т и к а
ние выражение (44), будет равна
__—°з				(Г)
	2	2бШ ср	'
Выразив составляющие напряжений ау, ог и ту<				через глав­
ные напряжения ах и е3	и подставив их в дифференциальные

уравнения равновесия плоской задачи для случая горизонталь­ ной границы полуплоскости, Ф. Кеттер после преобразований получил следующие выражения для уравнений предельного равновесия:

		С08 ср д$1 +		2а 8Ш ср	= г	81П (р + ср):
			да	о .	д?	(85)
						Т С08 р.
		С08 ср--------2а 81П ср — =
	Здесь	—	дз2		д$2
			— частная производная по направлению линий
		-22-
		дзх	скольжения		первого	семейства;
		да
			— то же, второго семейства;
		----

Р— угол, образуемый направлением линий сколь­ жения первого семейства с осью У (рис. 129);

5! и $2— элементы длины дуг линий скольжения.

1 Б. Н. Ж ем о ч к и н . Теория упругости. Краткий курс для инженеровстроителей. Госстройиздат, 1948.

		В дальнейшем				была		по­
	ставлена проблема					решения
	уравнений			Кеттера			совмест­
	но	с	условиями предельно­
	го	равновесия			для		некото­
	рых		задач	теории		предель­
	ного		напряженного				состоя­
	ния		грунтов.		составляющие
		Выразим
	напряжений для случая пло­
	ской задачи теории предель­
	ного равновесия грунтов че­
	рез		характеристику				напря­
	жений а и угол а, составля­
	емый направлением							наи­
	большего			главного			напря­		Рис. 129. Схема линий скольжения в
	жения а1 с горизонтальной
									случае плоской задачи
	осью У. На рис. 129 показа­
	ны		два	семейства			линий

скольжения, возникающих в линейно-деформируемом массиве грунта, находящемся в условиях предельного напряженного со­ стояния, причем в условиях плоской задачи оба семейства ли­ ний скольжения наклонены под углом (45°—9/2) к направлению большего главного напряжения а

Для составляющих напряжении		имеем	следующие выра-
жения:	с(1 4- 31П9 соз 2«) —СС^ср;
=
аг =	а(1 — зШ 9 соз 2а) — с		9;	(Д)
ъуг =	— а з1п 9 З1п 2а .
Подставив в дифференциальные		уравнения равновесия (А)

и (Б) выражения составляющих напряжений (Д), тождествен­ но удовлетворяющие условию предельного равновесия [выраже­

ние	(В)],	получим о с н о в н у ю		с и с т е м у у р а в н е н и й пл о ­
с к о г о п р е д е л ь н о г о р а в н о в е с и я г р у н т о в 1:
		(1 51П 9 Соз 2а) -у- 4- з т 9 зШ 2а дг —
		— 2аз1п9 ^з1п2а	—соз 2а		=	у з1п 8;
						(86)
		з!п 9 зш 2а — +	(1	31П 9 соз 2а) — 4-
		ду				дг
		4- 2а 31П 9 (соз2а — 4- з т 2а —				— у соз 8.
1		\	ду	дх
	В. В.	С о к о л о в с к и й .	Статика сыпучей			среды, азд. 3, Физматгиз,

Дифференциальные уравнения (86) имеют два семейства характеристик и принадлежат к г и п е р б о л и ч е с к о м у типу, разработка решений которых на базе канонических уравнений акад. С. А. Христиановича позволила проф. В. В. Соколовскому получить общее решение плоской задачи теории предельного равновесия и обобщение на случай криволинейной зависимости между сопротивлением сдвигу и нормальным давлением 1. Кро­ ме того, В. В. Соколовским поставлена и разрешена новая за­ дача теории предельного равновесия — задача о предельно устойчивой форме откосов, получен ряд новых строгих решений о несущей способности оснований, устойчивости откосов, дав­ лении грунтов на подпорные стенки, равновесии весомого кли­ на и разработан общий метод численного интегрирования урав­ нений предельного равновесия, с успехом примененный в рабо­ те проф. В. А. Флорина2. Графическое решение ряда задач тео­ рии предельного равновесия на основе использования геомет­ рических зависимостей дано проф. С. С. Голушкевичем3. Не­ которые решения пространственной осесимметричной задачи теории предельного равновесия получены проф. В. Г. Березанцевым4.

П р о с т р а н с т в е н н а я з а д а ч а . Для пространственной задачи при наличии осевой симметрии необходимо воспользо­ ваться цилиндрической системой координат.

Положительные направления координатных осей и состав­ ляющих напряжений показаны на рис. 130. Вследствие осевой симметрии (ось симметрии 2) касательные напряжения по ме­ ридиональным плоскостям отсутствуют (тг&=т$г==0;, поэто­ му напряженное состояние в данной точке определяется че­

тырьмя составляющими напряжений		сг,	а, и %гг. Усло­
вие	тг$="#г=0 показывает, что	аъ является главным на­

пряжением. Сохраняя для главных напряжений в меридиональ­

ных плоскостях обозначения

<у и а3,

будем считать

а(/= а 2.

Кроме

того,

с1 > с2> д3.

Д л я случая пространственной з а ­

дачи,

помимо

условия предельного равновесия

(45),

имеется

условие того же вида, связывающее

и <з3 или а2 и а3, т. е*

1 В.

В. С о к о л о в с к и й .

Статика „сыпучей

среды. Изд-во АН СССР,

1942,

Е г о

ж е.

Плоское

предельное

равновесие горных

пород.

Известия

АН СССР.

ОТН, №

9,

1948.

Госстройиздат,

т. II,

2

В

А.

Ф л о р и н .

Основы механики грунтов.

1961.

3

С.

С. Г о л у ш к е в и ч .

Плоская задача

теории

предельного

равно­

весия

сыпучей

среды.

Гостехиздат,

1948.

4

В. Г. Б е р е з а н ц е в . Предельное состояние среды

при напряженном

состоянии, симметричном относительно оси. Прикладная математика и ме­ ханика, т. XII, № 1, 1948.

Применение		этих	уравнений		од­
новременно с (45"') дает равенство
двух главных напряжений: в первом
случае о2= о 3 — деформация направ­
лена от оси 2, во втором случае с2=-
=<з1— деформация			направлена		к
оси 2.
Для решения задачи в данном
случае имеются		четыре		уравнения:
условие	предельного			равновесия
(45ш),	одно из	условий		(а) и два			'2
дифференциальных			уравнения рав­
новесия:					(б)
даг	+ —	+	'а			Рис.	130. Схема напряже­
				= 0;		ний	в случае осесимметрич­
дг	г)?.	'				ной	пространственной зада­
дг	дг	г = 7-			(в)		чи
дт,гг

В плоскости гг так же, как и в случае плоской задачи, будут два семейства линий скольжения, касательные к которым в

каждой точке составляют с направлением о2 угол	)•

Сохраняя в этой плоскости обозначения, принятые выше в пло­ скости 2У (см. рис. 129), получим для з и (3 следующие два дифференциальных, уравнения предельного равновесия:

да	о ,	да .		дР	л ,	дЗ	о	+
[--- С05 р-|--------81П			+ 2 а <р — соз рЧ-----з1п р
дг		дг		дг		дг
+ — [51п(Р + <р) (± ) сое Р				1		т —п^+ ,?).
	Г			СОЗ <р			СОЗ<р
	(Р +	О - ^	С05(р +	?) —2а	9	■^•81п (?+ ?)-
						дг
—	С 0 5 (Р + сР )|+ (± )-^-181п (Р+ ср)(±)С05 Р]							<рх
		X 1(+ )з1п у _		_ у со8 Р

СОЗ ср

СОЗ <р

Здесь (3представляет собой угол между касательной к линии скольжения первого семейства и осью Ог. Составляющие на­ пряжений определяются через а и (3 выражениями:

аг=	а [1 + з1п ср 8Ш (2(3 +	<р)1 — с	<р;'
о, =	с[1 — з!п <р81П(2 ? +	ср)] — С	<р;	, ,
тгг=	— а 81П ср ео з;(2 (3 + ср);
Ч =	а [1 ( +) 5*п<р] — с с!§ ср.

Знаки в скобках соответствуют уравнениям для случая на­ правления деформации грунта к оси 2. Приведенные уравнения для осесимметричной задачи получены В. Г. Березанцевым *.

§ 2. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ГРУНТОВ

Как было рассмотрено в предыдущем параграфе, характер­

ными	нагрузками при изучении	п р о ч н о с т и г р у н т о в	яв­
ляются:		н а ч а л у возникновения	пло­
1)	нагрузка, соответствующая

щадок сдвигов, т. е. площадок, для которых касательные и

нормальные		напряжения		связаны у с л о в и е м п р е д е л ь н о г о
равновесия,		или,	что то	же самое, соответствующая о к о н ч а ­
нию	фазы у п л о т н е н и я и началу фазы				развития значитель­
ных	сдвигов;		при которой возникают		значительные сдвиги
2)	нагрузка,

масс грунта, что, как указывалось ранее, соответствует п о л н о ­

му	р а з в и т и ю областей п р е д е л ь н о г о	р а в н о в е с и я и,
как	правило, о к о н ч а н и ю формирования	уплотненного ядра

и п о л н о м у и с п о л ь з о в а н и ю н е с у щ е й с п о с о б н о с т и

г рунт а .	п е р в о й нагрузки назовем н а ч а л ь н о й к ри ­
Величину
т и ч е с к о й	нагрузкой, которая еще совершенно безопасна для
сооружений,	так как до ее достижения грунт всегда будет на­

ходиться в ф а з е у п л о т н е н и я , хотя и могут быть некоторые внутриобъемные сдвиги между отдельными частицами грунта.

Величину в т о р о й критической нагрузки, при которой в грунте возникают сплошные области предельного напряженного

состояния и и с ч е р п ы в а е т с я	н е с у щ а я	с п о с о б н о с т ь
грунта, назовем п р е д е л ь н о й	критической	нагрузкой.
Определение величины первой и второй		критических нагру­

зок будет рассмотрено ниже на основе применения теории пре­ дельного равновесия, причем при определении предельной на­ грузки будет обращено внимание как на задачи, относящиеся1

1 В. Г.	Б е р е з а н ц е в . Осесимметричная задача теории предельного
равновесия	сыпучей среды. Гостехиздат, 1953.

к действию нагрузки на	поверхности грунта в случае плос­
кой и пространственной	задач), так и на величину ее

при заглубленных фундаментах. В последнем случае не полу­ чено строгих решений вследствие чрезвычайной сложности за­ дачи, но предложены такие инженерные приближенные методы решения, которые дают величины предельной нагрузки, с доста­ точной для практических целей точностью близкие к получае­ мым экспериментально. Более же строгое решение подобных задач возможно лишь на базе решений смешанной задачи тео­ рии предельного равновесия и теории линейно-деформируемых гел 1.

Начальная критическая нагрузка на грунт

Пусть нагрузка, равномерно распределенная по полосе ши­ риной Ь, расположена на глубине к от поверхности грунта и имеет интенсивность р (рис. 131). Боковую пригрузку от веса

грунта		выше		плоскос­
ти	приложения				поло­
совой		нагрузки			заме­
няем		действием			спло­		“7777 ПИШИ!			пхнш п
шной		равномерно				рас­
пределенной				нагрузки
интенсивностью						д/г,
где у — объемный вес
грунта и к — глубина
приложения				полосовой
нагрузки			(глубина			за­
ложения			фундамента).
	Вертикальные					нап­
ряжения			от	действия
собственного веса грун­							Рис.	131.	Схема действия	полосообразной
та	при горизонтальной
ограничивающей						пло­			■нагрузки
скости равны:							в1гр =	Т(Л + 2),
где 2 — глубина
					расположения				рассматриваемой точки ниже
		плоскости				приложения			нагрузки.
	Горизонтальные напряжения от действия собственного веса
грунта		равны:
							а3гр	^а 1гр>
где	$ — коэффициент						бокового		давления.1

1	См. М. И.	Г о р б у н о в-П о с а д о .в. Устойчивость фундаментов на
песчаном	основании.	Госстройиздат, 1962.

Так как состояние предельного равновесия грунтов соответ­ ствует пластическому состоянию твердых тел, при котором из­ менения формы происходят без изменения объема тела (т. е. когда коэффициент бокового расширения р. =0,5, а следова­

тельно, 6= —^— =	1 ), то и для грунтов в состоянии их пре-
1 — ^	/

дельного равновесия с достаточной для практических целей точ­

ностью	можно допустить	6= 1, т. е.
	°8гр =	а1гр =	Т(А + 2),
где	и с*3 — наибольшее и		наименьшее главные напря­
	жения.

Величину главных напряжений в любой точке определим, используя формулу (71) с добавлением напряжений от собст­

венного веса	грунта:
	®1 =	(2? + 81п 2?) + у {к Л	г);
	ТС
	п-чь.		(а)
	о3 = -— — (2,3 — 51п 2?) 4- у (к +		г),
	%
где 2(3— угол	видимости	(рис. 131).

Интенсивность внешней полосообразной нагрузки р умень­ шена на величину 7к, так как на уровне подошвы фундамента собственный вес грунта учитывается как сплошная нагрузка.

Если в условие предельного равновесия (451 ) подставить значения выражений (а), то получим следующее уравнение:

-— — 81п 2р — з!п ф №—		2^ 7Л -{- -ргА =		с соз ф.
Решим это уравнение относительно г:
г = Р = т Ь ( * Ш 1	-	2 р )---- ^	-	к .	(б )
7С7 \ 51П	ср	/	7	«Р

Полученное выражение представляет собой уравнение гра­ ничной линии области предельного равновесия. Определим мак­ симальную ординату граничной линии, для чего возьмем пер­ вую производную от выражения (б) по (3 и приравняем ее нулю

й г __р — 7 /г С 0 5 2 3 тс7 . 81П<р

откуда

СОЗ 2(3= 81П ср или 2(3= — — <р.