книги / Механика грунтов

откуда

Р = \ ъ А В .	(и)
Из выражения (и) определяем произведение	коэффициен­
тов АВ
А В = \ Л .	(к)

Подставляя полученное значение величины АВ в формулу

(д) для радиальных напряжений, окончательно получим

С08р- (л)

Отнесем величину радиального напряжения к горизонталь­ ной площадке, т. е. к площадке, параллельной ограничивающей

плоскости. Из рис. 68		находим
а так как
		Ц г =	СОЗР,
то величина	радиального напряжения					отнесенная к гори­
зонтальной	площадке,	будет	равна
		а^ :==а/? соз(^				(м)
Выражая соз (3 через отношение гЩ и учитывая формулу (л),
получим			Р_	?2
						(н)
			ТС	Я1'
Проектируя величину			на три		взаимно-перпендикуляр­

ных направления (рис. 69), получим составляющие напряжения для той же площадки, т. е. для площадки, параллельной плос­ кости, ограничивающей массив.

Обозначая нормальное напряжение для рассматриваемой площадки через аг, а касательные напряжения — через тг>

И Хгх (РИС. 69), ПОЛуЧИМ

а* = в* С08(0*’		2);	■
х г у = =	СОЗ (а^,	у);	(о)
х г х	СОЗ	X ),

где

с о з(а^, г) = - ^ ;

соз(о^,			у) =		- ^		;
соз(а^,
Окончательно получим	3_
	2	'	п	' я* ;
	3		Р		у г2		(59)
%г у =	1 Г	•	тс	•'7 7 '		;
*	2				к 0
_ _ з _			_Р_
	2 ’		тс	’	Я*	'	I

Формулы (59) могут служить для определения составляю­ щих напряжений от действия сосредоточенной силы для любых площадок, параллельных ограничивающей плоскости. Отметим, что полученные выражения не содержат характеристик (мо­ дулей) деформируемости грунта, а следовательно, справедливы для любых однородных грунтов. Составляющие же напряжения для вертикальных площадок будут зависеть от коэффициента бокового расширения. Всего в пространственной задаче девять составляющих напряжений: три нормальных и шесть касатель­ ных, причем касательные напряжения, как легко можно дока­ зать, попарно равны между собой.

Приведем выражения составляющих напряжений для трех взаимно-перпендикулярных площадок, а также для суммы глав­

ных напряжений 0

и выражения для перемещений, параллель­

ных

осям координат.

будут равны:

Составляющие

напряжения

нормальные

2

'

к

'

Я* ’

,

3

Я Г

у3г .

1 — 2{х /

1

(2 Я + г)у*

г \1

у

2

и 1 Я3 ~Г

3

\Я(Я-М)

(Я+гуЯ3

Я3Ц ’

_ З Я _

Г Л

,

1 —

2р. /

1

_

(2я + г )х 3 _

_г_\ 1

2к [

Я3

3

\я(Я + г)

(Я±гу-Я3

Я3/| ’

касательные

:*у

3Р

уг3

2тс ■1?

гх —

ЗР

хг3

2тс

'

Я3

1— 2^ (2ЯУг)ху~\

:ху=

ЗР

‘хуг

(60)

2тс .Я3 '

~ 3

'(Я-Ьг)5# 8]

сумма главных

напряжений

®— °1 +

°2

°з —

— (1 ~I-

Ь*-)

;

перемещения

параллельно

осям координат

и =

Р

—

- ( 1

- 2 ц ) ---- - ----

4ТсО

Я3

г ,Я(Я + 2)

V =

р

_ 2 ц ) - _ 2 _ ,

4тгО

Я3

V

Я(Я + 2)]'

У/ ^

р

4тт.0

В

приведенных формулах приняты следующие обозначения:

ал> V

°* — нормальные

составляющие

напряжения,

тглг‘'

параллельные осям X, У, 2;

напряжения;

— касательные

составляющие

И,

V,

V/ — перемещения точки параллельно осям X,

О—

Е

У ' г

’

сдвига, причем Е — модуль нор-

0~ _ г

— модуль

^

“г N

мальной

упругости,

а [а— коэффициент

________

бокового расширения;

х 2-{-у2-\-г2,

где,

х,

у, г — координаты

рассматриваемой

точки.

Для многих вопросов механики грунтов особо важное зна­ чение имеют вертикальные составляющие напряжения и перемещения. В настоящем параграфе мы остановимся несколько подробнее на распределении вертикальных напряжений ог.

Отметим, что в формулу для вертикальных сжимающих на­ пряжений (впервые было предложено проф. Н. Н. Ивановым1 и впоследствии широко применено О. К. Фрелихом2) для луч­ шего соответствия расчетных величин экспериментальным дан­ ным, полученным для небольших площадок, вводят так назы­ ваемый к о э ф ф и ц и е н т к о н ц е н т р а ц и и н а п р я ж е н и й V. В этом случае формула для вертикальных сжимающих напря­ жений принимает следующий вид:

V	Р
2	(59')
	к#2

При у~3 получаем формулу теории упругости или теории линейно-деформируемых тел, при V=2, 4, 6 и т. д. будут иные кривые распределения давления. Мы считаем, что для больших площадей загружения (во всяком случае больших 1 м2) при величине нагрузки, не вызывающей выдавливания грунта из-под штампа, нет оснований вводить изменения в теоретическую фор­ мулу для аг , т. е. следует принимать коэффициент концентра­ ции напряжений V=3.

Таким образом, для вертикального составляющего напряже­ ния следует пользоваться приведенным выше выражением, т. е.

_ 3 Р

(59")

г ~ 2п > 5 * Положение точки М на рис. 69 вполне определяется двумя ее

координатами -г и г,				где 2 — глубина от		ограничивающей плос­
кости,		а г — расстояние от оси X.				Подставляя		значение
# = - 1/ 2:2+ г2,			получим		3Р
					2пг2
или,	обозначив				1
					5/2	'
получим
								(61)
1	Н.	Н. И в а н о в .		К постановке	технических		испытаний	грунтов. Об.
ЦУМТ.		Трансиздат,	1926.
2 О.		К. Ф р е л и х.		Распределение	давления	в	грунте. Изд-во Нарком-
хоза	РСФСР, М.,		1938.

Формула (61), выражающая величину сжимающих напря­ жений в массиве грунта для площадок, параллельных ограни­ чивающей плоскости, имеет наибольшее число практических приложений.

Вблизи точки приложения сосредоточенной силы сжимаю­ щие напряжения, как и следовало ожидать, достигают чрезвы­ чайно большой величины, и материал массива претерпевает пластические деформации. Это обстоятельство заставляет ис­ ключать из рассмотрения некоторую область вокруг точки приложения сосредоточенной силы (полушар радиуса р) и вы­ числять сжимающие напряжения по формуле (61) только на некотором расстоянии от точки приложения сосредоточенной силы.

Для упрощения расчетов по формуле (61) в табл. 9 приве­ дены значения коэффициента К.

Т а б л и ц а 9

Значения коэффициента К

Отношение	Коэ Ьфи-	Этношение	Коэффи­	Отношение	Коэффи­	Отношение		Коэффи­
Ф	циент	Г1г	циент	Ф	циент	г}г		циент
	К		К		К			К
0	0,4775	0,1В	0,4409	0,36	0,3521	0,54		0,2518
0,01	0,4773	0,-19	0,4370	0,37	0,3465	0,55		0,2466
0,02	0,4770	0,2	0,4329	0,38	0,3408	0,56		0,2414
0,03	0,4764	0,21	0,4286	0,39	0,3351	0,57		0,2363
0,04	0,4756	0,22	0,4242	0,4	0,3294	0,58		0,2313
0,05	0,4745	0,23	0,4197	0,41	0,3238	0,59		0,2263
0,06	0,4732	0,24	0,4151	0,42	0,3181	0,6		0,2214
0,07	0,4717	0,25	0,4103	0,43	0,3124	0,61		0,2165
0,08	0,4699	0,26	0,4054	0,44	0,3068	0,62		0,2117
0,09	0,4679	0,27	0,4004	0,45	0,3011	0,63		0,2070
0,1	0,4657	0,28	0,3954	0,46	0,2955	0,64		0,2024
0,11	0,4633	0,29	0,3902	0,47	0,2899	0,65		0,1978
0,12	0,4607	0,3	0,3849	0,48	0,2843	0,66		0,1934
0,13	0,4579	0,31	0,3796	0,49	0,2788	0,67		0,1389
0,14	0,4548	0,32	0,3742	0,5	0,2733	0,68		0,1846
0,15	0,4516	0,33	0,3687	0,51	0,2679	0,69		0,1804
0,16	0,4482	0,34	0,3632	0,52	0,2625	0,7	'	0,1762
0,17	0,4446	0,35	0,3577	0,53	0,2571	0,71		0,1721

Продолжение табл. 9

Отноше­	Коэффи­	Отношение	Коэффи­	Отношение	Коэффи­	Отношение	Коэффи­
ние г/ г	циент	Г/2	циент	г(г	циент	г1г	циент
	К		К		К		К

0,72	0,1681	1,04	0,0764	1,36	0,0348		1,68	0,0 1 6 7
0,7 3	0,1641	1,05	0,0744	1,37	0 ,0340		1,69	0,0 1 6 3
0,74	0,1603	1,06	0,0727	1,38	0,0332		1,7	0 ,0 1 6 0
0 ,7 5	0,1565	1,07	0,0709	1,39	0,0324		1,72	0,0153
0,7 6	0,1527	1,08	0,0691	1,4	0 ,0317		1,74	0 ,0147
0 ,7 7	0,1491	1,09	0,0674	1,41	0,0309		1,76	0,0141
0,7 3	0,1455	М	0,0658	1,42	0,0302		1,78	0,0135
0 ,7 9	0,1420	1 , П	0,0641	1,43	0,0295		1,8	0,0129
0 ,8	0,1386	1,12	0,0626	1,44	0,0283		1,82	0,0124
0,81	0,1353	1,13	0,0610	1,45	0	,0282	1,84	0,0119
0,82	0,1320	1,14	0,0595	1,46	0,0275		1,86	0,0114
0,83	0,1288	1,15	0,0581	1,47	0,0269		1,88	0,0109
0 ,84	0,1257	1,16	0,0567	1,48	0,0263		1,9	0,0105
0,85	0,1226	1,17	0,0553	1,49	0,0257		1,92	0,0101
0 ,8 6	0,1196	1,18	0,0539	1,5	0,0251		1,94	0,0097
0 ,8 7	0,1166	1,19	0,0526	1,51	0,0245		1,96	0,0093
0,8 8	0,1138	1,2	0,0513	1,52	0,0240		1,98	0,0089
0,89	0, 1110	1,21	0,0501	1,53	0,0234		2	0,0035
0 ,9	0,1083	1,22	0,0489	1,54	0,0229		2,1	0,0070
0,91	0,1057	1,23	0,0477	1,55	0,0224		2 ,2	0,0058
0,92	0,1031	1,24	0,0466	1,56	0,0219		2 ,3	0,0048
0 ,9 3	0,1005	1,25	0,0454	1,57	0,0214		2 ,4	0,0040
0,94	0,0981	1,26	0,0443	1,58	0,0209		2 ,5	0,0034
0 ,9 5	0,0956	1,27	0,0433	1,59	0,0204		2 ,6	0,0029
0 ,9 6	0,0933	1,28	0,0422	1,6	0,0200		2 ,7	0,0024
0 ,9 7	0,0910	1,29	0,0412	1,61	0,0195		2 ,8	0,0021
0,9 8	0,0887	1,3	0,0402	1,62	0,0191		2 ,9	0,0017
0 ,9 9	0,0865	1,31	0,0393	1,63	0,0187		3	0,0015
1	0,0844	1,32	0,0384	1,64	0,0183		3 ,5	0,0007
1,01	0,0823	1,33	0,0374	1,65	0,0179		4	0,0004
1,02	0,0803	1,34	0,0365	1,66	0,0175		4 ,5	0,0002
1,03	0,0783	1,35	0,0357	1,67	0,0171		5	0,0001

____

у / / / /

/

Рис. 70. Схема действия нескольких сосредоточеных сил

Если на поверхности при­ ложено несколько сосредо­ точенных сил, то напряжение в любой точке массива "| может быть вычислено как I сумма напряжений от дей- * ствия отдельных сил, для чего мы имеем полное осно­ вание, поскольку при выво­ де формулы (61) принята прямая пропорциональность между напряжениями и де­ формациями.

Приняв обозначения по рис. 70, находим

						(61')
Пример 3.	На	поверхности		массива действует	сосредоточенная	сила
Р —60 т. Определим		вертикальное напряжение, возникающее в точке а, рас­
положенной на	глубине 2		м от	поверхности и на 1	ж в сторону от линии
действия силы	без	учета	напряжений, возникающих от собственного			веса

грунта	(рис. 71). Дано: г=200 см\ г= 100 см\	г	100
		— = —- =0,5. По табл. 9
^	^	-г	200

г

отношению — =0,5 соответствует К =0,2733. Сжимающее напряжение в рас­

сматриваемой точке будет равно

=0,2733 60000 = 0,41 кг/см*.

200-200

Рис. 71. К примеру определения сжимающих напряжений в грунте при действии сосредоточенной силы

а - на глубине г— 2 м; б — линии одинаковых давлений (изобары)

Точно таким же путем определяем сжимающие напряжения и в других точках, расположенных на той же глубине от поверхности.

Результаты вычислений приведены на рис. 71,а в виде эпю­ ры вертикальных давлений. Если начертить эпюры распреде­ ления сжимающих напряжений ог для различных горизонталь­ ных и вертикальных сечений, то по ним легко можно построить

линии одинаковых давлений, или		так называемые					из о б а р ы.
		На	рис.		71,6		изображены
		изобары			для		рассматри­
		ваемого			примера,			причем
		интенсивность					штриховки
		соответствует					интенсивно­
		сти напряжений.
		2. С и л а					п р и л о ж е ­
		на	на			п о в е р х н о с т и ,
		п а р а л л е л ь н о						о г р а ­
		н и ч и в а ю щ е й					полупро­
		странство				п л о с к о с т и
		(рис. 72). Этот случай, т. е.
		действие горизонтальной на­
		грузки			на	полупростран­
		ство, имеет				большое		значе­
Рис. 72. Схема действия	горизонтальной	ние	при		гидротехническом
		строительстве,					где	соору­
сосредоточенной	силы	жения		подвергаются				дей­
		ствию		горизонтальных сил.

Решение для данного случая получено в Китайской Народной Республике (Хуанг Вен-хси и др.) \

В соответствии с обозначениями на рис. 72 имеем: вертикальное сжимающее напряжение

		аг	щ	х г 2.		(62)
			'2пЯ5
сумма	главных	напряжений
			(1 + и)3		х,	(63)
			пЯ*
где		К2 = х 2-\-у* + г*.
Если сила		приложена	не в начале координат, а в точках
у),	то координаты х и у		должны		быть заменены	на х— ? и

У— И1

1 Цитирую	по В.	А.	Ф л о р и н у . Основы механики грунтов, т. I
Госстройиздат,	1959,	стр.	137 и 327.

3. С и л а п р и л о ж е н а в н у т р и л и н е й н о - д е ф о р м и -

р у е м о г о	п о л у п р о с т р а н с т в а . Наряду с получившими
широкое распространение в расчетах естественных		оснований
формулами	(60), в последнее время в ряде случаев	(например,

при анализе глубинного испытания грунтов пробными нагруз­ ками, при исследовании работы свай и пр.) применяются фор­ мулы для определения напряжений от действия сосредоточенной

силы, приложенной

внутри

линейно-деформируемого по­

лупространства.

1*0

т - л )

Для

сосредоточенной си­

лы Р, приложенной на глу­

бине к и направленной пер-*

пендикулярно

плоскости,

с

•я

У

ограничивающей

линейно-

N

Ш

7ь )\

деформируемое

полупро­

странство (рис. 73),

состав­

±1

р

ляющие напряжений

и пе­

ремещений

определяются

по Р. Миндлину1 выраже­

1:

)

ниями,

значительно

более

\

сложными, чем для

случая

приложения

силы

на

по­

верхности

полупростран­

Рис. 73. Схема действия сосредоточен­

ства.

здесь

лишь

ной

силы

внутри

массива грунта

Приведем

формулы для

вертикальных

имею­

(параллельных оси 2)

напряжений ог и перемещений

щие наибольшее практическое приложение12:

(1 — 2р.)(г — к)

(1 — 2р)(г — к)

3 (г — А)»

8те(1 •

- Р-)

Л?

3(3-

• 4р.) г (г -р Ну1- гн (г +

к) (5з — к)

_

30Аг(г +

А)3*

(64)

4р

,

8(1

(3— 4р.)

. (г— к)г

,

\У = -

_

---------

"Г

1"

*1

16^0(1 — р)

Л?

(3 — 4 у .) ( г к ) ' - — 2Нг

6кг(г-\-Ну

(65)

+

«2

1 К-

М 1 п й П п,

О.

С Ь е п

Лоигп.

оГ. Арр1.

Р'Ьузшз,

21, N.

9, 1950.

2 Формулы для остальных составляющих напряжений и перемещений

можно найти в

работах: С. А. Р о з а .

Изучение уплотняемости и

несущих

свойств

грунтов. Ленгидэл,

1947.

В.

А.

Ф л о р и н .

Основы

механики грун­

тов. т.

I. Госстройиздат,

1959.

где

= [Г2+ ( * - / №

/?а = I'"2Ч - (* *+■

модуль сдвига;

Е и [х — модуль деформации и коэффициент бокового рас­

ширения (аналогичный коэффициенту Пуассона);

г— расстояние (по горизонтали) от линии действия сосредоточенной силы до рассматриваемой точки;

г— координата рассматриваемой точки;

А— глубина приложения сосредоточенной силы.

В табл. 10 даны значения коэффициентов Кн для определе-

ления нормальных напряжений в линейно-деформируемом по­ лупространстве от действия сосредоточенной силы, приложенной

внутри полупространства на глубине А*.

Т а б л и ц а 10

Значения коэффициента К н

				Значения г
	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
0	0	0	0	0	0	0
0,2	+0,0960	+0,0719	+0,0289	+0,0020	—0,0065	—0,0066
0,4	+0,3709	+0,2582	+0,0880	+0,0024	+0,0206	—0,0202
0,6	+ 1,1057	+0,5906	+ 0 ,И 7 0	—0,0184	—0,0400	—0,0344
0,8	+4,9217	+0,8510	+0,0152	—0,0590	—0,0568	—0,0440
1		—0,1018	-0 ,0 9 1 7	—0,0775	-0 ,0 6 1 9	—0,0475
1,2	—5,1378	—0,6390	—0,2012	—0,0968	—0,0666	—0,0495
1,4	—1,3360	-0,8108	—Ю,2518	-0,1391	—0,0813	—0,0550
1,6	—0,6234	-0 ,4 9 6 6	—0,2901	—0,1600	—0,0959	-0 ,0 6 3 5
1.8	—0,3689	—0,3251	—0,2344	—0,1548	—0,1014	-0 ,0 6 9 2
2	—0,2480	—0,2291	—0,1847	—0,1368	—0,0982	—0,0703

Напряжения определяются	по формуле	I
°*н =	К н -^ .	(66>

где Кн — безразмерный коэффициент, вычисляемый в зависимо­ сти от ординат г!Н и г/А рассматриваемой точки, вы­

раженных в долях от А.

* В. А. К о ф м а н. О распределении напряжений и деформаций от действия вертикальной силы внутри грунта. Сб. «Механика грунтов», № 3%

НИИОС, М., 1956.