книги / Механика грунтов

числяются по формуле

— 1р,

(74)

где /=,

е

- т

)

функция

относительных

величин

(а1г

и

-

Ыг);

а — длина треугольной эпюры нагрузки;

Ь — длина прямоугольной эпюры нагрузки

Величина

/

г — глубина рассматриваемой точки.

опреде­

ляется приближенно по

графику

(рис.

89)

как

алгебраическая

сумма

коэффициентов,

'соот­

ветствующих

<нагрузке

с л е в а и с п р а в а от *

вертикали, проходящей

через рассматриваемую

точку.

Пример

7.

Определим

напряжение

для

точки

Мх (рис. 90, а). При нагруз­

ке, действующей

слева:

_а____2__ ]

Ь±___ 1__

=

0,5.

г

2

По

графику

(рис. 89)

/.,=0,397.

действу­

При

нагрузке,

ющей

справа:

а

1

и

г

М1 г Ь 6 8 0Ч1 2

4 6 81,0 г

Ь 6 810,0

=

0,478.

а/1

Таким

образом:

Рис. 89. График для определения сжимающих

°21 = (/Л+

1п)Р

напряжений от насыпной

нагрузки, меняющей­

или, подставляя

численные

ся

по закону

прямой

значения, получим

°21 = (0 ,3 9 7 +

0,478)^ =

0,875р.

Для

определения

сжимающего напряжения

а22

в, точке М2 (рис. 90,

б)

прикладываем фиктивную нагрузку Ытп. При полной нагрузке (включая фиктивную) имеем

а	2	V	8	- =4, / п= 0.499.
—	= — = 1	и —	= —

Х к м 3

Рис. 90. Схема нагрузок к примеру пользования графиком (см. рис.89).

	При фиктивной нагрузке	Ь"
	^ = 1и		- / „ = 0,455.
		---= 1;
		г

Подставляя численные значения и учитывая фиктивность нагрузки к\тп, по­ лучим

а22 =	(/п — / п) р = (0,499 — 0,455) р
И Л И		®22=	0,044 р .
Для случая прямоугольной нагрузки (рис. 90, б)
Определяя / л при а/г= 0		агз =	(/л +	?п) Р *
	и	6 /г = 0,5, / п		при	а /г= 0 и 6/2= 1, получим
а*, =		(0,278 +	0,41) р =		0,688/7.

Рис. 91. Схема действия неравномерной нагрузки

I - разбивка		криволинейной	эпюры давлений на ряд прямоугольных и треугольных
эпюр;	б —пример распределения			давлений	по горизонтальным сечениям грунтового
массива на		разной глубине	при	действии	нагрузки по трапецеидальной эпюре

4. П р о и з в о л ь н ы й вид н а г р у з к и . При определении напряжений в случае, когда на поверхность грунта произволь­ ного вида действует сплошная полосообразная нагрузка, посту­ пают таким образом. Разбивают эпюру внешних давлений на ряд элементов прямоугольной и треугольной форм, например, как указано на рис. 91, а, и, пользуясь выражением для состав­ ляющих напряжений от действия равномерной и треугольной нагрузок, путем суммирования определяют величину напряже­ ний в данной точке от действия заданной нагрузки.

Как пример на рис. 91, б приведены эпюры распределения сжимающих напряжений в массиве грунта для двух горизон тальных сечений, расположенных на различной глубине от за­ груженной по трапецеидальному закону поверхности, вычислен­ ные по изложенному способу.

§ 4. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

Распределение контактных давлений под жестким фундаментом

вслучае пространственной задачи

Врассмотренных выше случаях распределения напряжений

вмассиве грунта при действии нагрузки на части его поверхно­ сти предполагалось, что нагрузка следует деформациям поверх­

ности массива. Это наблюдается тогда, когда нагрузка пред­ ставляет собой насыпь несвязного материала или передается на грунт при посредстве гибкого фундамента. В этом случае сжимающие напряжения на поверхности массива в месте непо­ средственного приложения нагрузки равны интенсивности на­ грузки. Если же фундамент обладает жесткостью (жесткость фундамента значительно отличается от нуля), то по подошве фундамента должно происходить перераспределение напряже­ ний с отклонением от равномерного. Последнее обстоятельство может особенно сказаться на распределении напряжений в се­ чениях массива, находящихся на незначительном расстоянии от нагруженной поверхности.

Что же касается распределения напряжений в сечениях, ле­ жащих на достаточно большой глубине от подошвы фундамен­ та (примерно на глубине, большей полуторной ширины пло­ щади местной нагрузки), то, согласно принципу Сен-Венана распределение напряжений будет зависеть не от распределения нагрузок на поверхности, а лишь от величины и положения рав­ нодействующей внешней нагрузки.

Ограничим свою задачу рассмотрением распределения на пряжений в линейно-деформируемом массиве под подошвой на­

груженного фундамента, жесткость которого значительно пре­ восходит жесткость массива.

Распределение реактивных давлений по подошве фундамен­ тов имеет огромное практическое значение, особенно для фун­ даментов со значительными размерами в плане. Зная реактив­ ные давления и внешние силы, по уравнениям статики легко определяются изгибающие моменты и перерезывающие силы в любом сечении фундаментов, по величине которых и рассчи­ тываются фундаменты. От того или иного вида распределения давления по подошве фундаментов зависит и величина изги­ бающих моментов, и перерезывающих сил, действующих на фун­ даменты сооружений.

Ц е н т р а л ь н а я н а г р у з к а при к р у г л о й п л о щ а д и п о д о шв ы . Вертикальные перемещения всех точек абсолют­ но жесткого фундамента при центральной нагрузке будут оди­ наковыми. Таким образом, условием для определения напряже­ ний будет заданная деформация (в данном случае вертикаль­ ная осадка) части поверхности массива. Вертикальное переме­ щение точек на поверхности массива под действием сосредото­

ченной	силы	[см. последнюю			из формул (60)], учитывая, что
		О = -—-Е—- и ^ = 0,
будет равно:			2(1 +н*)
				.Р( 1—^ 2)
							(75)
где Е и	— модуль		деформации			и коэффициент	бокового
		расширения		грунта;		приложения сосредоточен­
	Я — расстояние			от	точки
		ной силы до рассматриваемой точки на поверх­
		ности массива.
Обозначив		упругую	постоянную			массива через
				С =
получим					Р
			IV				(75')
					кСР

Если при посредстве фундамента на часть поверхности мас­ сива передается давление р, непрерывно распределенное по загруженной площади, то вертикальные перемещения точек по­ верхности массива будут равны:

И?=

(75")

где $	и т] — координаты	центра
	элементарной нагру­
	женной площадки;
х	и у — координаты	рассмат­
	риваемой	точки
	(рис. 92).
Здесь интегрирование должно
быть	распространено на	всю за­

груженную площадь Р. Для аб­ солютно жесткого фундамента осадки всех его точек при верти­ кальной равномерной нагрузке будут одинаковы. В этом случае

для определения	распределения
напряжений по подошве		фунда­
мента имеем уравнение
Г	Г	/>-(6ц)^ат{.

у

Рис. 92. Схема площади загрузки (Произвольного вида

-- ТУУ-- РАПС+

*С Ц /(Х-5Г- + 0'-*■)’ Если обозначить среднее давление на подошву круглого

фундамента через рт , то можно показать, что давление в лю­ бой точке подошвы будет равно1:

где г — радиус подошвы круглого жесткого фундамента;

р— расстояние от центра круглой подошвы до любой точки на граничной плоскости (при р <г).

Согласно формуле (76) при р =0, т. е. в центре подошвы, р = 0,5рт ; при р = — давление р=0,58рт и при р= г давле­

ние р = ос.

Приведенное решение показывает, что к краям жесткого фундамента давления увеличиваются и по периметру достигают беспредельно большой величины. Последнее обстоятельство не может быть в действительности, так как величина напряже­ ний ограничена пределом текучести материала массива. По периметру жесткого фундамента возникнут остаточные пласти­ ческие деформации, и давления будут значительно меньше теоретических.

На рис.	93 приведены теоретическая кривая (пунктир) рас­
пределения	давлений	под жестким круглым фундаментом и
1 И. Я.	Ш т а е р м а н .	Контактная задача теории упругости. Гостехиз-

дат, 1949, стр. 192.

					кривая (сплошная),	ограниченная		пределом
					текучести грунта для того же		фундамента.
					Как видно из рис. 93, по подошве жесткого
					фундамента на упругом связном массиве на­
					блюдается седлообразное распределение дав­
					лений.
					Напряжения в самом массиве также будут
					отличаться от напряжений для гибкого фун­
			-У.		дамента. Однако резкая разница в величине
					сжимающих напряжений наблюдается лишь
					в зоне, непосредственно примыкающей к по­
		тх			дошве фундамента	до глубины,		приблизи­
	г г -				тельно равной полуширине фундамента; для
Рис.	93.	Распреде­			большей же глубины разница будет незначи­
					тельна. Для недопущения значительных пере­
ление	контактных				напряжений грунта под краями жестких фун­
давлений			под аб­
солютно			жестким		даментов, по предложению проф. И. Я. Шта-
круглым			фунда­		ермана, целесообразно края фундаментов в
ментом		на	идеаль­		месте контакта их	с грунтом	устраивать за­
но-однородном ос­					кругленными, хотя	бы и с малым		радиусом
	новании
					закругления.
вых давлении					На рис. 94,а изображены линии одинако-
				рп (изобары) в массиве грунта под ж е с т к и м
фундаментом				с	круглой подошвой К Цифры у		кривых указы-

вают на величину сжимающего напряжения в долях от сред­ него давления по подошве фундамента. На рис. 94,6 для срав­ нения приведены изобары в грунте под г и б к и м фундаментом с квадратной подошвой12. Эти кривые будут весьма мало отли­

чаться от таких же	кривых для фундамента с круглой по­
дошвой.
В н е ц е н т р е н н а я	н а г р у з к а . Если жесткий цилиндри

ческий фундамент нагружен силой Р, приложенной с эксцен трицитетом е, то, согласно решению, полученному К. Е. Егоро­ вым, величина сжимающих напряжений непосредственно пол подошвой фундамента определяется по формуле

Р{х,у) = 2т1Г У г2 — л:2—у2	Я,	(77)
1 К- Е. Е г о р о в . Распределение напряжений	и	перемещений в осно

вании круглого жесткого фундамента. Сб. Водгео, «Вопросы расчета основа

ний и фундаментов», №	9	(НИС	Фундамешстроя), 1938.
2 Д. Е. П о л ь ш и н,	Р.	А. Т о к а р ь . I дубинные испытания грунтов
«Строительная промышленность» №			11', 1935.

а)

б)

Рис. 94. Линии одинаковых вертикальных сжимающих напряжений

вгрунте под фундаментом

а— под абсолютно жестким; б — под гибким

причем угол наклона р фундамента к горизонту будет опреде литься выражением

3(1 — [х2) Ре

(78)

4Егъ

где Р — нагрузка на весь фундамент;

г— радиус подошвы фундамента;

Еи |а — модуль деформаций и коэффициент бокового

расширения грунта; х, у — координаты рассматриваемой точки.

Ц е н т р а л ь н а я н а г р у з к а			при	п р я м о у г	о л ь н о й
п л о щ а д и	подошвы.	Точное	решение	уравнения	(75"') в
этом случае	представляет	значительные трудностидля при­

ближенного же определения давлений можно применить сле­ дующий способ. Нагруженную площадь разбиваем на ряд эле­

ментов	и	интеграл уравнения (75'")			заменяем		суммой
		-1- ^	— Л	- =	^	0	(а)
		&	м * .	у)
1 М.	И.	Г о р б у н о в - П о с а д о в		получил		решение	задачи о распре­

делении давлений по подошве прямоугольной плиты абсолютно жесткой и за­ данной жесткости путем разложения интегрального уравнения осадок в двой­ ной степенной ряд (см. «Балки и плиты на упругом основании», ч. IV. Машстройиздат, 1949).

при	дополнительном условии,				что
			ЪрхРх = Р ,					(б)
где	п	— число элементов площади;					по	площади
	Рх	-	неизвестное		среднее	давление
			каждого	элемента;
	Рх	-	площадь	элемента;
	Рх (х > У) —		расстояние		центра	тяжести	элемента от
			точки, для		которой	составляется		уравнение

(а);

р— равнодействующая внешней нагрузки, при­ ложенной центрально к жесткому штампу.

При суммировании осадок по формуле (а) следует учесть, что для точек, совпадающих с центром тяжести элементов, для которых одно из значений рх = 0, средняя осадка от нагрузки

соответствующего	элемента		может	быть		выражена		уравне­
нием			У К		С		{ \
				Ру				(в)
			кС
В формуле (в)	со — коэффициент, зависящий от формы пло­
щади и равный:	для	квадрата — 2,97,			для		прямоугольника
(с отношением сторон 1		: 1,5) — 2,95 и 2,89				(с отношением сто­
рон 1:2). Применяя уравнения (а) и (в)						к элементам		загру­
женной площади	и добавляя		уравнение		(б),		получим	систему

линейных уравнений. Решая полученную систему уравнений, найдем среднее давление для каждого элемента, соответствую­ щее одинаковой осадке всех элементов. Аналогичный прием, но более детальный (с использованием электронно-счетных машин) применен Е. Лусбергом, а также проф. Д. Крсмановичем, ко­ торым составлены графики для определения реактивных дав­ лений в более сложных случаях12.

Общее решение той же задачи в предположении, что распре­ деление давлений по подошве определяется алгебраическим многочленом, дано В. Г. Короткиным3.

Пример 8. Определим по изложенному приближенному способу давле­

ние под прямоугольной подошвой абсолютно жесткого фундамента

(рис. 95),

нагруженного центральной

силой Р = 43,2 т. Разбиваем

нагруженную

пло­

щадь

на

девять

элементов

размером Рх = 4 0 x 6 0

см и определяем

расстоя­

1

Подробнее

см.

главу

V.

Доклады

2 Е.

Л у е б е р г ,

Д. К р с м а н о в и ч .

За/20

и За/18

на

IV

Международном

конгрессе

по

механике

грунтов

и

фундаментостроению.

Ргос. оп

Ше IV

1п1егп. Соп!. о! 5оП МесЬ. а Рои-пс!. Еп^., Ьопбоп,

1957.

3 В.

Г. К о р о т к и й . Приближенное

решение

объемной задачи

о жест­

ком фундаменте. Труды Ленинградского индустриального института, № 3, 1938.

ние центра тяжести каждого элемента от

Я

остальных. Учитывая симметрию, получим сле­

дующие

уравнения

для определения неизвест- .

А / / / / / / / / / / / / / А

ных

давлений

ро,

Рь Р2 Ръ для точки

О:

"СНГ. =

, 2Р\

Щ

Л +

2.95 Г Л М - —

Рх + —

2^

*1

Г2

п

Подставляя геометрически

найденные

величи­

ны Т\ —40

сж,

Г2—72 см,

гз=60 еле и

х ~

= 2400

см2,

найдем

— 2,95-49р0 +

2•2400

+

—

,

4-2400

—

,

2-2400

+

,

Н-------Л +

= 145р0+ к О р ,

- } - 1 3 3 +

80 V,.

(А)

Точно так же

найдем:

для

точки

1

пС\У0=

175 р х+

60р 0 +

128 р2 + 67 р 3;

(Б)

для точки

2

т с о

212 р 2 “I- 64 р г

79 рз -{- 33 р%\

(В)

для

точки 3

тсСГ0 = 1 6 5 р 3 +

40 р 0 +

67 р, + 158р3.

(Г)

Рис. 95. К примеру оп­

По уравнению (б) можем записать

ределения

давлений

под

абсолютно

жестким

фун­

2400 (р0 +

2Р1 + 4р 2 +

2р3) = 43 200,

даментом

с прямоуголь­

или

ной

площадью

подошвы

18 =

Ро +

2р, +

4/>а + 2рг.

(Д;

Решая

полученную

систему пяти уравнений (А)— (Д)

с пятью

неизвестными

Ро, Рь

Рг,

Рз и а=71С№ 0> получим

ро=0,86 кг/см2;

р4=1,91 кг/см2; р2= 2,57 кг/см2\

/73= 1 ,49 кг/см2 и а= 816,5

кг/см2.

Таким

образом:

816,5

^

сопз* —

^

или

До =

0 ,4 3 р от,

/>! =

0,95/>т ,

р 2 =

\,2%Рт, р » = 0 , П р т,

где

р т— среднее

давление,

равное

2

кг/см2.

Эпюра распределения давлений по прямоугольной подошве жесткого

фундамента

изображена

на

рис. 95.

Распределение контактных давлений под жесткими ленточными фундаментами (плоская задача)

Ц е н т р а л ь н а я н а г р у з к а , приложенная к абсолютно жесткому ленточному фундаменту и в условиях плоской задачи, вызывает неравномерное распределение реактивных давлений в по подошве. Задача распределения контактных давлений в

предположении	отсутствия сил трения по	подошве	решена
М. Садовским	(1928 г., дано точное решение)	и Л. С.	Гильма-

ном (1933 г., дано приближенное решение) Г Решение той же задачи, но при нагрузке парой сил и наличии боковой пригруз­ ки получено В. А. Флориным12 (1936 г.) и В. А. Гастевым3 (1937 г.). Причем В. А. Гастевым впервые дан вывод не только для распределения напряжений по подошве полосы, но и вы­ ражения для всех компонентов напряжений и перемещений в любой точке среды.

Распределение давлений по подошве ленточного абсолютно жесткого фундамента определяется выражением

2Рт	(79)

где рт — среднее давление на единицу площади подошвы фундамента;

у— расстояние по горизонтали от середины фундамента до рассматриваемой точки;

Ь1 — полуширина фундамента.

Выражение (79) показывает, что по подошве жесткого лен­ точного фундамента, так же как и в условиях пространствен­

ной задачи,	наблюдается с е д л о о б р а з н о е		распределение
давлений, при этом ордината давления под центром тяжести
поперечного	сечения фундамента	равна постоянной величине
Ро = 0,637 р т , т. е. будет несколько		больше, чем	в случае круг­

лой	площади подошвы, для которой р0 = 0,5 рт . Также отметим,
как	показали исследования напряжений в основании жесткого
фундамента на анизотропном упругом полупространстве, про­
веденные Г. Н. Савиным4, что распределение давлений по по­

1

В.

А. Ф л о р и н .

Расчеты

оснований

гидротехнических сооружений,

гл. I,

§

2.

Госстройиздат,

1948.

2 В.

А. Ф л о р и н .

К расчету сооружений на слабых грунтах. Сб. Гид-

ростройпроекта,

№

1,

1936.

3

В.

А. Г а с т е в .

О напряжениях в упругой среде, ограниченной пло­

скостью,

при

нагрузке

бесконечно

жесткой

стенкой. Сб.

ЛИИЖТ, № 127,

1937.

4

Доклад

Г.

Н.

С а в и н а

на Всесоюзном совещании по строительной

механике

при АН СССР, ноябрь, 1939. Е г о

ж е. Давление абсолютно

жест­

кого

штампа

на

упругую

анизотропную

среду. Доклады

АН УССР,

ОТН.

№ 6,

1939. Е г о

ж е . Доклады АН

СССР,

т. XXIII, № 3,

1939.