- •Кафедра высшей математики
- •Операции над матрицами
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.Что такое матрица?
- •Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное следующей сумме:
- •Минором элементаквадратной матрицыn-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы а вычеркиванием I-й строки и j-го столбца.
- •Алгебраическим дополнением элементаквадратной матрицыn-го порядка называется его минор, взятый со знаком :
- •Свойства определителей
- •Лекция № 5 - 7
- •Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
- •Метод Гаусса
- •Лекция № 8 - 9 Векторная алгебра
- •Векторы и операции над ними
- •Разность векторов и- это сумма вектораи вектора
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство Скалярным произведением двух векторов иназывается число:
- •Линейные операторы
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Лекция № 10 - 12 Аналитическая геометрия
- •Уравнение прямой
- •Примерные тесты
- •VII. Учебно - методическое обеспечение дисциплины
Обратная матрица
Матрица называетсяобратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении матрицы на А как слева, так и справа получается единичная матрица:
(5)
Только квадратная матрица может иметь обратную, и обратная матрица имеет тот же размер, что и исходная. Для существования обратной матрицы необходимо, чтобы . В этом случае матрица А будетневырожденной. В противном случае матрица А называетсявырожденной.
Теорема. Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
Вычисляется обратная матрица по формуле:
, (6)
где - т.н. присоединенная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы, транспонированной к матрице А.
Пример: Найти обратную матрицу к матрице :
2 2 3
А= 1 -1 0
-1 2 1
Решение. Получим присоединенную матрицу. Для этого транспортируем А и найдем для нее алгебраические дополнения:
2 1 -1
-1 2 2 2
2 -1 2 ; 0 1 = -1;3 1 =4;
3 0 1
2 -1 1 -1
3 0 =3; 0 1 = -1;
2 -1 2 1
3 1 =5; 3 0 =3;
1 -1 2 -1
-1 2 =1; 2 2 = -6;
2 2
1 -1 = -4.
Отсюда
-1 4 3
-1 5 3
1 -6 -4
Находим определитель матрицы А:
Отсюда обратная матрица:
-1 4 3 1 -4 -3
1 1 -5 -3
-1 5 3 = -1 6 4
-1 1 -6 -4
Ранг матрицы
В матрице вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно получить различные квадратные подматрицы порядка. Определители таких подматриц называютсяминорами -го порядка матрицы А. Например, из матрицы можно получить миноры 1, 2 и 3 порядков.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается ранг или. При этом очевидно, чтокроме того,тогда и только тогда, когда матрица А нулевая ( нуль-матрица).
Следующие преобразования матрицы называются элементарными. :
Отбрасывание нулевой строки ( столбца).
Умножение всех элементов строки ( столбца) матрицы на число, не равное нулю.
Изменение порядка строк ( столбцов) матрицы.
Прибавление к каждому элементу одной строки ( столбца) соответствующих элементов другой строки ( столбца) , умноженных на любое число.
Транспонирование матрицы.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.
Для рангов матриц справедливы соотношения:
1)
2)
3) ;
4) ;
5) если А и В – квадратные матрицы и
Обозначим строки матрицы как векторы:
….
Строка называетсялинейной комбинацией строк , если она равна выражению:, где-числа.
Строки матрицы называютсялинейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
где 0=(0,0,…,0).
Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.
Если линейная комбинация строк равна нулевой строке тогда и только тогда , когда все коэффициенты равны нулю, то строкиназываютсялинейно независимыми.
Например, в матрице строки линейно зависимы, поскольку, т.е., где. В этом случае,
В качестве примера линейно независимой системы векторов можно привести строки матрицы где нуль-строку можно получить только для нулевых коэффициентов, т.е..
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).
Вопросы для самоконтроля: