- •Кафедра высшей математики
- •Операции над матрицами
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.Что такое матрица?
- •Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное следующей сумме:
- •Минором элементаквадратной матрицыn-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы а вычеркиванием I-й строки и j-го столбца.
- •Алгебраическим дополнением элементаквадратной матрицыn-го порядка называется его минор, взятый со знаком :
- •Свойства определителей
- •Лекция № 5 - 7
- •Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
- •Метод Гаусса
- •Лекция № 8 - 9 Векторная алгебра
- •Векторы и операции над ними
- •Разность векторов и- это сумма вектораи вектора
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство Скалярным произведением двух векторов иназывается число:
- •Линейные операторы
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Лекция № 10 - 12 Аналитическая геометрия
- •Уравнение прямой
- •Примерные тесты
- •VII. Учебно - методическое обеспечение дисциплины
Лекция № 8 - 9 Векторная алгебра
План лекции:
Векторы и операции над ними.
Евклидово пространство
Линейные операторы. Собственные значения линейного оператора
Размерность и базис векторного пространства
Векторы и операции над ними
Вектор – направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.
B
A
Его можно обозначить по разному:,= АВ.
Длина ( модуль) вектора - это число, равное длине отрезка АВ.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Нулевой вектор ( нуль-вектор)- это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, направление произвольно, и он считается коллинеарным любому вектору.
Произведение вектора на число-это вектордлиной, направление которого совпадает с, если, и противоположно ему, если
Противоположный вектор -это произведениена (-1).
Сумма двух векторов иопределяется по правилу треугольника:
Сумма нескольких векторов – результат последовательного применения правила треугольника, т.е. правило многоугольника.
Разность векторов и- это сумма вектораи вектора
В параллелограмме, построенном на векторах и, одна диагональ представляет сумму, а другая – разность.
Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координатами вектораназываются координаты его конечной точки. Тогда вектор можно записать в координатной форме:
на плоскости
в пространстве
Можно показать, что
и т.д.
или
.
Скалярное произведение () двух векторови- это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
В координатной форме
т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Если тои получаем скалярный квадрат вектора:
который равен квадрату его длины.
Расстояние между двумя точками плоскости А(и В (можно рассматривать как длину вектора=
Угол между векторами иопределяется по формуле:
n-мерное векторное пространство
n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде где-I-ая компонента вектора
Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е.
Сумма двух векторов:
Произведение вектора на действительное число :
Свойства операций над векторами:
x+y= y+x;
( x+y)+z=x+(y+z);
Существует нулевой вектор 0=(0,…,0) такой, что х+0=х,
Для любого х существует (-х) такой, что х+(-х)=0;
Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющих приведенным выше свойствам, называются векторным пространством.
Пример: множество алгебраических многочленов степени не выше n