- •Кафедра высшей математики
- •Операции над матрицами
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.Что такое матрица?
- •Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное следующей сумме:
- •Минором элементаквадратной матрицыn-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы а вычеркиванием I-й строки и j-го столбца.
- •Алгебраическим дополнением элементаквадратной матрицыn-го порядка называется его минор, взятый со знаком :
- •Свойства определителей
- •Лекция № 5 - 7
- •Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
- •Метод Гаусса
- •Лекция № 8 - 9 Векторная алгебра
- •Векторы и операции над ними
- •Разность векторов и- это сумма вектораи вектора
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство Скалярным произведением двух векторов иназывается число:
- •Линейные операторы
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Лекция № 10 - 12 Аналитическая геометрия
- •Уравнение прямой
- •Примерные тесты
- •VII. Учебно - методическое обеспечение дисциплины
1.Что такое матрица?
2.Какие операции можно производить с матрицами?
3.Как найти обратную матрицу?
Лекция № 3-4
Определители квадратных матриц (детерминанты) и их свойства
План:
Основные понятия и определения
Способы вычисления определителей
Свойства определителей
Для квадратной матрицы А ее определитель обозначается или
Определителем матрицы 1-го порядка А=() называется элемент.
Определителем 2-го порядка :
Например,
Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка. Определитель 3-го порядка вычисляется по следующей схеме:
Другими словами, берутся следующие произведения:
со знаком «плюс» и
со знаком «минус».
Другой способ вычисления определителя 3-го порядка задается правилом Сарруса. Здесь к трем столбцам определителя дописываются первые два столбца, а в полученной конструкции произведения элементов берутся по диагоналям, наклон которых определяет знак того или иного произведения:
со знаком”+”и
со знаком “-“.
Пример: вычислим определитель
-1 -1
4 -2
3 -2 4
По правилу Сарруса
-1 -1 2 -1
4 -2 3 4 =
3 -2 4 3 -2
-1 -1 2 -1
4 -2 3 4
3 -2 4 3 -2
Отсюда значение определителя:
.
Введем понятие определителя более высокого порядка. Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка:
…
А= …
………………
…
Общее число ее элементов равно . Из них выберем набор, содержащийn элементов, таким образом , чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.
Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-ой строки, затем из 2-ой и т.д.:
(1)
Номера столбцов при этом образуютперестановку J из n чисел 1,2,…,n. Из комбинаторики известно, что существует всего n! Различных перестановок из n натуральных чисел.
Инверсия в перестановке J – это наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему.
Например, в перестановке J=(3,2.1) 3 инверсии:(3,2),(3,1),(2,1). Обозначим r(J) –количество инверсий в перестановке J. Каждому набору (1) можно поставить в соответствие произведение его элементов и число r(J).
Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное следующей сумме:
(2)
где сумма берется по всем перестановкам J. Число слагаемых в этой сумме резко увеличивается с ростом n ( оно равно n!), поэтому формула(2) неудобна для практических расчетов. При n=4 надо считать значения 24 произведений, при n=5- уже 120. Для вычисления определителей используют другие формулы.
Минором элементаквадратной матрицыn-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы а вычеркиванием I-й строки и j-го столбца.
Например, минор элемента матрицы 3-го порядка равен:
= =
Каждая матрица n-го порядка имеет миноров (n-1) –го порядка.
Алгебраическим дополнением элементаквадратной матрицыn-го порядка называется его минор, взятый со знаком :
Пример: Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
2 -1 1
2 1 1
А= 1 1 2 .
2 1
1 1
Решение: 1 2 =1;1 2 = -3;
2 1
1 1 =1и т.д.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(3)
(разложение по элементам I-строки);
(4)
(разложение по элементам j-го столбца)
Эта теорема сводит вычисление определителей n-го порядка к вычислению определителей (n-1)-го порядка.
Пример: Вычислим определитель матрицы:
5 3 0 7
0 -1 2 3
0 0 3 1
0 0 0 1
Решение: При использовании формул (3)-(4) удобнее выбрать строку или столбец с большим числом нулей; это дает экономию в вычислениях, поскольку алгебраические дополнения для нулевых элементов считать не нужно. Здесь разложим определитель по 1-му столбцу, где только один элемент не равен нулю:
-1 2 3 -1 2 3
0 3 1 =5 0 3 1
0 0 1 0 0 1
Далее вычислим определитель 3-го порядка. По аналогии разложим его по 1-му столбцу:
3 1
0 1 =-3
Общий результат