черняк

Використовуючи наведені вище формули, знаходимо оцінки коефіцієнтів у

структурному вигляді системи:												3,594 0,917 0,044 1,302
		0				10 21 11 20										3,53 ;
															0,917
						21							11
															0,044 0,05 ;
								1							0,917
											21
2			12 21 11 22					0,279 0,917 0,044 0,074										0,215 ;
						21									0,917
				20 32 22 30						1,302 0,329 0,074 8,488								3,21;
	0					32									0,329
											22				0,074 0,22 ;
								1							0,329
											32
				12 21 11 22				0,279 0,917 0,044 0,074										0,91.
2						12									0,279

Для оцінювання третього рівняння системи в структурній формі застосуємо двохетапний метод найменших квадратів. Замість змінної Rt підставимо її оцінку, що її

ми знайшли: Rˆ t 3,594 0,044Gt 0,279Mt і оцінимо регресію It 0 1Rˆt t :

Iˆt 9,33 2,61Rˆt , R2 0,59 .

Таким чином, остаточно оцінену систему можна записати у вигляді

Rˆ t 3,594 0,044Gt 0,279Mt , Yˆt 1,302 0,917Gt 0,074Mt , Iˆt 9,33 2,61Rˆt .

Задачі

Група А

Задача 6.1. Нехай маємо такий структурний вигляд системи одночасних рівнянь:

Y1t 10 12Y2t 13X1t u1t											,
Y			Y			23	X	2t	u	2t
2t	20			22 1t
з якої було отримано таку оцінену приведену форму:
	ˆ			3X1t		8X2t
	Y1t 4								.
	ˆ	2		6X1t 10X2t
	Y2t

Виходячи зі значень приведеної форми, розрахуйте параметри структурної форми.

Задача 6.2. Чому не обов'язково застосовувати двохетапний метод найменших квадратів до точно ототожнених (ідентифікованих) рівнянь? Поясніть на умовному прикладі.

		C		t	Y					,
Задача 6.3.					Ct It	t		1t
	Знайдіть зведений вигляд моделі	Yt				Gt ,				Визначте, чи є
		I	t		Y			2t	.
					t
модель ідентифікованою. Яким чином слід зробити оцінювання коефіцієнтів моделі?
Задача 6.4.	Розгляньте таку модифіковану кейнсіанську модель визначення доходу:

157

Ct 10 11Yt u1t ,

It 20 21Yt 22Yt 1 ut2,

Yt Ct It Gt ,

де C – споживання; I – витрати на інвестиції; Y – дохід; G – витрати уряду. Нехай Y та

Gє екзогенними змінними.

1.Запишіть рівняння в приведеній формі та визначте, які з них точно ідентифіковані, а які надідентифіковані.

2.Який із методів слід використати для оцінювання точно ідентифікованого та надідентифікованого рівняння?

Задача 6.5. Для моделі попиту й пропозиції грошей

MtD 0 1Y1 2Rt 3Pt u1t , MtS 0 1Yt u2t .

1.Визначте зведений вигляд моделі..

2.Визначте метод оцінки системи.

Задача 6.6. Для деякої моделі було обчислено коефіцієнти структурної форми y1 2 1y2 3x2 1t ,

y2 10,1 4y1 12x1 2t , y3 4,4 0,95y1 1,6y2 3t

і зведеної:

y1 7,1 3,8x1 4x2 v1, y2 4,8 2,3x1 1,7x2 v2,

y3 5,4 31x1 32x2 v3.

1.Якими методами отримано оцінки структурної та зведеної форм моделі?

2.Знайдіть невідомі коефіцієнти 1, 31, 32 .

Задача 6.7. Задано систему рівнянь попиту та пропозиції в зведеній формі. Зробіть перехід від оцінок параметрів зведеної форми до оцінок одночасних структурних рівнянь. Обчисліть еластичність попиту та пропозиції залежно від ціни та доходу для арифметичних середніх цих змінних.

Регресія y1 щодо x1 і	Регресія y2 щодо x1 і x2		Середні значення
x2				змінних
		y1		y2	x1		x
							2
y1 = 144 + 0,005x1 –	y2 = 522,2 + 0,012x1 + 0,18	48		17	22		3
0,32x2	9x2	2		4	3		9

Задача 6.8. Зробіть ідентифікацію такої моделі:

y1 0y3 1x1 2x3,y2 0y1 1y3 2x2,y3 0y2 1x1 2x3.

Виходячи зі зведеної форми системи

y1 2x1 4x2 10x3,

y2 3x1 6x2 2x3,y3 5x1 8x2 5x3,

знайдіть структурні коефіцієнти моделі.

158

Задача 6.9. При оцінюванні системи рівнянь попиту та пропозиції

q 0 1p 2y 1 ,q 0 1p 2z 2

де p – ціна; q – обсяг продажів; y – дохід; z – вартість ресурсів, на першому етапі двохетапного МНК оцінюють регресію p щодо y і z . Доведіть, що в регресіях q стосовно:

pˆ і y

pˆ і z

збігаються залишки.

Група Б

Задача 6.10. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Rt 0 1Mt 2Yt 1t , Yt 0 1Rt 2It 2t .

Задача 6.11. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Ct 0 1Yt 2Yt 1 1t , It 0 1Yt 2Yt 1 2t ,

Yt Ct It Gt .

Задача 6.12. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Ct 0 1Yt 2Ct 1 1t , It 0 1Rt 2It 1 2t , Rt 0 1Yt 2Mt 3t ,

Yt Ct It Gt .

Задача 6.13. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Ct 0 1Yt 2Ct 1 1t , It 0 1 Yt Yt 1 2t ,

Yt Ct It .

Задача 6.14. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Ct 0 1Yt 2Ct 1 1t , It 0 1Yt 2Rt 2t ,

Rt 0 1Yt 2Mt 3Rt 1 3t ,

Yt Ct It Gt .

Задача 6.15. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Ct 0 1Yt 2Mt 1t ,

Yt 0 1Rt 2It 3Gt 2t , It 0 1Rt 3t .

Задача 6.16. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Ct 0 1Yt 2Gt 1t , It 0 1Yt 2It 1 2t ,

Yt Ct It .

159

Задача 6.17. Користуючись даними табл. 1, оцініть систему одночасних рівнянь

Ct 0 1Yt 2It 1t , It 0 1Yt 1 2t ,

Gt 0 1Yt 3t ,

Yt Ct It Gt .

160

ЧАСТИНА 2. ЕКОНОМЕТРИКА ТА ЧАСОВІ РЯДИ

181

Розділ 7. Вступ до теорії часових рядів

7.1. Поняття часового ряду

Вивчення часових рядів має кілька цілей. По-перше, статистичний аналіз часових рядів широко застосовують в економічному прогнозуванні. По-друге, властивості часових рядів визначають, яку економетричну модель буде обрано для дослідження залежності між різними змінними. Окрім того, деякі моделі часових рядів використовують для описання автокорельованих збурень у рівняннях регресії.

Під часовим рядом (time series) розуміють набір значень деякої змінної, здійснених за послідовні й зазвичай рівні проміжки часу. Часовий ряд (time series) розуміють як набір значень, що їх мала деяка змінна за послідовні і зазвичай рівні проміжки часу. Якщо прийняти довжину такого проміжку часу за одиницю часу (рік, квартал, день, тощо), то можна вважати, що послідовні спостереження y1,y2, yn здійснено в моменти

t 1,2, ,n .

Характерною особливістю статистичного аналізу часових рядів є те, що послідовність спостережень y1,y2, yn розглядають як траєкторію випадкового процесу з дискретним

часом, тобто як реалізацію послідовності загалом статистично залежних випадкових величин Y1,Y2, Yn , що мають певний спільний розподіл (оскільки в конкретних ситуаціях

із контексту зрозуміло, про який саме об'єкт ідеться, то надалі ми використовуватимемо маленькі літери для позначання як випадкових величин, так і їхніх реалізацій. Так само інколи ми будемо вживати термін "часовий ряд" для позначання процесу, що генерує спостережувані значення).

Щоб зробити завдання статистичного аналізу часових рядів доступним для практичного розв'язання, доводиться обмежувати клас моделей, що їх розглядають, роблячи певні припущення щодо структури ряду та його ймовірнісних характеристик.

Здебільшого достатньо обмежитись трьома типами процесів: стаціонарними, тренд-

стаціонарними й інтегрованими.

7.2. Класичний розклад часового ряду

Традиційно вважають, що часовий ряд yt складається із чотирьох компонентів: трендового (trt ), сезонного ( st ), циклічного (ct ) і випадкового ( t ). Найчастіше використовують дві форми розкладання: мультиплікативну

yt	trt st ct t ,	t	1,		T			(7.1)
і адитивну
yt	trt st ct t ,	t					.	(7.2)
				1,	T

Неважко побачити, що мультиплікативному розкладу для рівнів ряду відповідає

адитивний розклад для логарифмів:
lnyt lntrt lnst lnct ln t ,	t 1, T.

Опишемо кожний компонент часового ряду окремо.

Тренд характеризує довготривалу закономірну тенденцію ряду до зростання або спадання. Його наявність неважко помітити, проаналізувавши графік часового ряду. Наявність тренда в економічних часових рядах можна пояснити демографічними або технологічними змінами, а також змінами в структурі виробництва, попиту тощо.

Сезонний компонент показує коливання навколо трендового компонента. Його наявність можна пояснити сезонним характером виробництва, споживання. Наприклад, у четвертому кварталі кожного року перед Новим роком значно зростає споживання товарів.

Циклічний компонент характеризує коливання навколо тренда, пов'язані з фазами бізнес-циклів1.

1 Зрозуміло, що представники тих економічних течій, які заперечують існування закономірної циклічності (наприклад пропоненти теорії реальних бізнес-циклів), не вважатимуть необхідним виокремлювати цей компонент.

182

Випадковий компонент – це те, що залишилось від часового ряду після вилучення тренда, циклічного та сезонного компонентів. Частину таких ефектів можна зарахувати до непередбачених природних катаклізмів (землетруси, пожежі, тощо), частину – до випадкових дій людей. За наявності випадкового компонента неможливо прогнозувати значення часового ряду без похибки.

7.3. Числові характеристики часових рядів

Для аналізу часових рядів найважливішими числовими характеристиками є

математичне сподівання, дисперсія, автоковаріація, автокореляція.
Нехай y t , t 1,2, , або t 0, 1, 2,....			– часовий ряд. Його математичне сподівання
становить
		t Myt		xdFt (x)
						,				(7.3)
де Ft x P yt x – функція розподілу yt , t 0, 1,						2,.....
Дисперсію слід визначати за формулою
		Dy M(y My )2			.					(7.4)
		t	t	t
Як ми бачимо, загалом математичне сподівання та дисперсія є функціями від часу t .
Автоковаріаційна функція дорівнює
	В(t,t j) cov(yt ,yt j ) M yt Myt						yt j Myt j ,			(7.5).
	t 0, 1, 2,...., j 1,2,3,...
Часовий ряд (процес) називається стаціонарним2 якщо:
1) математичне сподівання скінченне й постійне:						Myt		для всіх t 0, 1, 2,....,
2) дисперсія скінченна й постійна: Dyt			0	для всіх t 0, 1, 2,....,
3) значення автоковаріаційної функції залежать лише від різниці аргументів:
автоковаріація j -го порядку cov yt , yt j			j	для всіх t 0, 1, 2,...., j 1, 2,						3, .

Важливою характеристикою стаціонарних випадкових процесів є автокореляційна функція. Автокореляцію j -го порядку визначають за допомогою рівності

j	cov(yt ,yt j			)		j	.			(7.6)
Зауважимо, що 0 1, j j . Отже,		Dyt				0
		достатньо розглядати послідовність j лише для
натуральних j . Ця послідовність називається автокореляційною функцією.
Нехай yt – стаціонарний процес.		Позначимо						через yˆt лінійний прогноз yt ,
побудований на базі k попередніх значень, тобто
yˆt 1yt 1 2yt 2 kyt k .
Прогноз називається незміщеним, якщо			Myˆt	Myt					. Стандартною мірою точності
незміщених прогнозів є середній квадрат похибки (MSE): MSE M(yˆ										y )2 .
									t	t

Покажемо, що незміщений лінійний прогноз, який має мінімальний середній квадрат похибки, однозначно слід виражати через автокореляційну функцію й математичне сподівання процесу. Запишемо

MSE M(y y

t 1

y

t 2

y

)2

t

1

2

k t k

M (y ) (y

) (y

k

) (1 ) 2

t

1 t 1

k t

1

k

M (y

) (y

) (y

) (y

t k

) 2 ,

(7.7)

t

1 t 1

2

t 2

k

2 У теорії випадкових процесів розрізняють два поняття стаціонарності: стаціонарність у вузькому та широкому розумінні. Ми розглядатимемо лише стаціонарність у широкому розумінні.

183

оскільки						(1 1 k )											(7.8)
унаслідок незміщеності. Вираз (7.7) можна перетворити до такого вигляду:
							k	k
				MSE 0 i j |i j| ,													(7.9)
							i 0 j 0
де		, i – автокореляції, а			0	1. Задача мінімізації										(7.9) за умови 0	1 має
	0 Dyt
єдиний розв		'язок:
			β ( 1, , , ,						)T			1	β,				(7.10)
						1	2	k
де											1
						1 . .				1		1
							1		k			0
							1 . .		.
				β		1
						.	.	1 .	.			.			.
						.	.	. 1	.
												.
						. . .			1			0
						k
Як бачимо, коефіцієнти j					(7.10)		цілком		можна						визначити автокореляційною
функцією. У свою чергу, (7.8)					можемо виразити через										j	і математичне сподівання

процесу. Можна показати, що лінійні прогнози на будь-яку кількість періодів також однозначно піддаються вираженню через математичне сподівання й автокореляційну функцію.

За досить необмежувальних умов3 можливо знаходити спроможні оцінки розглянутих характеристик стаціонарних часових рядів.

Вибіркове середнє

ˆ		1	T		(7.11)
			y	t
		T t 1

є оцінкою математичного сподівання. Оцінками відповідних теоретичних моментів є вибіркова дисперсія

ˆ

1

T

y

ˆ

2

,

(7.12)

0

t

T

1t 1

вибіркова автоковаріація j -го порядку

ˆ j

1

T

yt

ˆ yt j ˆ ,

(7.13)

T j t j 1

вибіркова автокореляція j -го порядку

ˆ

j

ˆ j

.

(7.14)

ˆ 0

Графік вибіркової автокореляційної функції називається корелограмою. Вона показує, як змінюється взаємовплив між спостереженнями залежно від часу.

Інколи вибіркові характеристики обчислюють і для нестаціонарних процесів, однак, у цьому разі вони не є оцінками будь-яких теоретичних відповідників; це лише описові характеристики конкретної вибірки. Однак хоча вибіркові автокореляції нестаціонарних часових рядів "нічого не оцінюють", знайшовши останні, можна отримати корисну інформацію. Річ у тому, що вибіркові автокореляції більшої частини нестаціонарних рядів прямують до одиниці, і цей факт лежить в основі багатьох методів діагностики нестаціонарності.

Звичайно, на практиці економічні часові ряди не є ідеально стаціонарними. Проте якщо для деякого часового ряду з деяким наближенням виконуються умови

3 Точне формулювання виходить за межі цієї книги. Умови стосуються існування певних моментів розподілів процесу. Окрім того, автокореляційна функція має "достатньо швидко" прямувати до нуля.

184

стаціонарності, то для його аналізу можна використати широкий спектр методів аналізу та прогнозування стаціонарних часових рядів.

7.4. Оператор лага й оператор різниці

Аналізуючи часові ряди, зручно використовувати оператор лага. Зазвичай його позначають B (від англ. back–shift operator) або L (від англ. lag operator). За його допомогою можна отримувати значення часового ряду як функції від його інших значень. Застосувавши оператор лага для значення yt , отримаємо yt 1 , тобто

Byt yt 1 .

Оператор лага можна застосовувати рекурентно:

B Byt Byt 1 yt 2 .

Якщо оператор лага діє k 0 разів, то число k Записують, як показник степеня:

Bky B(Bk 1y ) y		t k	, k 0 .
t	t

Нарешті,

B0yt yt .

Можна утворювати поліноми від оператора лага:

m (B) 0 1B 2B2 mBm ,m (B )yt 0yt 1yt 1 2yt 2 myt m .

Найчастіше ми розглядатимемо поліноми, у яких 0 1.

Нехай (B) 0 1B 2B2 mBm – поліном від оператора лага. Позначимо через

1(B)

обернений поліном, визначений із такої рівності:

(B) 1(B) 1. Припустимо, що

існує розклад у ряд Тейлора в околі нуля функції

1(z)

1

1

:

(z)

z

z2 zm

0

1

2

m

1

(z)

i

,

i z

i 0

де z

– комплекснозначна змінна, а

– коефіцієнти розкладу. Можна показати,

що

i

обернений поліном

1

(B) існує

тоді й

лише тоді, коли

радіус збіжності ряду

i

i z

i 0

1

i

більше ніж одиниця, причому

(B)

. У свою чергу, радіус збіжності більше ніж

iB

i 0

одиниця за умови, що всі корені рівняння (z) 0 більше ніж одиниця за модулем.

Розглянемо приклад. Нехай

(B) 1 1B .

Тоді

		(z) 1 z ,				1	1 z 2z2			.
		1			(z)			1	1
Корінь	полінома (z)	дорівнює	1	. Отже,				при | | 1 обернений			поліном існує й
			1						1
становить 1(B) 1 B 2B2
	1	1
Також	визначимо оператор різниці:					yt		yt yt 1 .		Його можна	виразити через

оператор лага yt (1 B )yt , який також можна застосовувати кілька разів, наприклад:

2yt yt yt 1 yt yt 1 yt 1 yt 2 yt 2yt 1 yt 2 .

7.5. Процес білого шуму

Процесом білого шуму називають послідовність випадкових величин t , яка має такі властивості:

185

1)нульове математичне сподівання, тобто M t 0;

2)постійну дисперсію, тобто 0 D t 2;

3) некорельованість елементів: j cov t , t j 0, j 0 .

Якщо t мають нормальний розподіл, то процес зветься гаусівським білим шумом

(назва походить із теорії спектрального аналізу часових рядів, яка виходить за межі цієї книги. Річ у тому, що "спектр" цього процесу має такий вигляд, як спектр білого світла). Його елементи незалежні і однаково розподілені.

Неважко побачити, що білий шум має такі самі властивості, що й збурення в класичній регресії. Білий шум є основним будівельним блоком для конструювання стаціонарних процесів.

7.6. Процес рухомого середнього МА(q)

Нехай t є процесом "білого шуму" , D t 2 , q – деяке натуральне число. Процесом рухомого середнього4 MA(q) (від англ. moving average) є послідовність випадкових величин yt , яка задовольняє таке рівняння:

yt t 1 t 1 2 t 2 q t q q (B) t , де q (B) 1 1B 2B2 qBq .

У контексті теорії часових рядів збурення t часто називають інноваціями ( t

характеризує нову інформацію, яка інкорпорується в значення процесу в період t ), або

шоками.

Розглянемо основні характеристики цього процесу. Математичне сподівання

Myt M M t M 1 t 1 M 2 t 2 M q t q

M t 1 M t 1 2 M t 2 q M t q .

(7.15)

Дисперсія

0 M yt 2 M t 1 t 1 2 t 2 q t q 2

M( t2

12 t2 1 22 t2 2 q2 t2 q 2 1 t t 1 2 2 t t 2

(7.16)

2 q t t q 2 1 2 t 1 t 2 2 1 q t 1 t q 2 q 1 q t q 1 t q )

2 12 2 22 2 q2 2 2 1 12 22 q2 .

Автоковаріація j -го порядку j 1, 2, 3,

j M yt yt j

M t 1 t 1 q t q t j 1 t 1 j q t q j

M j t2 j j 1 1 t2 j 1 j 2 2 t2 j 2 q q j t2 q

2

j j 1 1 j 2 2 q q j , j 1, 2, , q 1,

2 , j q,

(7.17)

q

0,

j q.

Звідси випливає, що якщо q – скінченне число, то MA(q) -процес буде стаціонарним. Відповідно, коефіцієнти автокореляції становлять:

4 У деяких джерелах вживають варіант "процес ковзного середнього"

186