черняк
.pdf
Послідовність часткових сум |
s |
i ,s 0 |
визначає |
функції кумулятивної імпульсної |
|
||||
|
i 0 |
|
|
|
реакції, тобто реакції на перманентний шок, тобто |
t s,i 0, t,i 1, t s,i 1. Аналогічно |
|||
моделям із розподіленими лагами, перманентний шок слід інтерпретувати як перехід до нового стану рівноваги. Граничні значення функцій кумулятивної імпульсної реакції
визначають елементи матриці (I A1 Ap ) 1 (1) .
Функція імпульсноі реакції VAR-моделі деякою мірою неоднозначна. Почнемо з VAR- моделі, записаної в авторегресійній формі
|
A(B)y |
t |
ε |
,A(0) I,Mε εT |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.12) |
|
або у формі рухомого середнього |
|
|
t |
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
yt (B )εt , (0) I,Mεt εTt |
, |
|
|
|
|
|
|
(9.13) |
||||
де (B) A(B) 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розглянемо для простоти модель з двома змінними. Нехай |
y |
t |
[x |
,z |
]T , |
ε |
[ |
, ]T . Як |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
t |
tx |
tz |
|
ми з'ясували, (B ) характеризує реакцію yt на одиничні імпульси кожного з елементів εt , але ми можемо також обчислювати реакцію yt на нові шоки, які є лінійними комбінаціями вихідних шоків. Наприклад, можна знаходити реакцію yt на одиничну зміну tx 0,5 tz (чому ми зробили саме такий вибір, – це окреме запитання, до якого ми
повернемось пізніше). Здійснити це неважко. Позначимо нові шоки через t, таким чином, t1 tx , t2 tx 0,5 tz або
|
1 |
0 |
. |
ηt Qεt ,Q |
|
|
|
0,5 |
1 |
|
|
Ми можемо записати нашу VAR-модель у формі рухомого середнього в термінах цих
нових шоків як yt (B )Q 1Qεt або
yt C(B )ηt , |
(9.14) |
де C(B) (B)Q 1 . C(B) характеризує реакцію yt на нові шоки t. Інший, еквівалентний спосіб подивитися на цю процедуру, – переконатись, що C(B) є лінійною комбінацією
вихідних імпульсних реакцій (B).
Тепер постає питання, які саме лінійні комбінації ми повинні аналізувати? Зрозуміло, що дані тут не допоможуть: зображення (9.12) і (9.13) еквівалентні стосовно спостережень, тому що вони генерують той самий ряд yt. Ми маємо вирішити, які лінійні комбінації, на нашу думку, найцікавіші. З цією метою сформулюємо набір припущень, які називатимемо припущеннями ортогоналізації. Вони однозначно визначають лінійну комбінацію шоків (іншими словами, функцію імпульсної реакції), яку ми вважаємо найцікавішою.
Перше і майже універсальне припущення – те, що шоки мають бути ортогональними (некорельованими). Якщо два шоки tx і tz корельовані, то питання "про наслідки одиничного шоку tx за умови, що tz не зміниться", не має сенсу, тому що tx і tz закономірно змінюються одночасно. Більш точно, бажано аналізувати функції імпульсної реакції в термінах причинних зв'язків, наприклад, "ефект" грошей на ВВП. Проте якщо грошовий шок корельований з шоком ВВП, то неможливо чітко визначити, що саме ми спостерігаємо: реакцію ВВП на зміну грошової маси, чи реакцію ВВП на технологічний шок, що відбувся одночасно з шоком грошової маси (можливо, тому що уряд виявив шок ВВП і здійснив спробу згладити його наслідки). Окрім того, зручно шкалювати шоки таким чином, щоб вони мали одиничну дисперсію.
227
Отже, ми хочемо вибрати Q таким чином, щоб Mηt ηTt I . Щоб це зробити, ми маємо знайти таку Q, що
Q 1(Q 1)T .
Тоді
Mηt ηTt M(Qεt εTt QT ) Q QT I .
Можна побудувати таку Q за допомогою розкладу Холеського. Теорему про розклад Холеського формулюють таким чином: для будь-якої додатно визначеної матриці А існує єдина нижня трикутна матриця D з позитивними діагональними елементами, така, що
ADDT .
На жаль, існують багато різних Q, які діють, як "квадратний корінь" з матриці , тобто
мають властивість Q 1(Q 1)T (маючи одну таку Q, можна сформувати іншу матрицю
Q , – таку, що Q RQ , де R – ортогональна матриця RRT I . Тоді
Q Q T RQQT RT RRT I ). Який із багатьох варіантів Q ми повинні вибрати?
Ми вичерпали можливості маніпулювання з похибками моделі, отже, тепер визначимо бажані властивості полінома рухомого середнього C(B). Оскільки C(B ) (B)Q 1 ,
формулювання бажаної властивості C(B) може допомогти визначити Q. Дотепер найбільш популярним є використання "теорії" (у дуже вільному розумінні цього поняття) для формулювання певних вимог щодо C(0) і C(l). Можливо, вам вдасться визначити інші цікаві властивості C(B), які доцільно специфікувати.
9.5 Ортогоналізація Сімза: визначення C(0)
К. Сімз [66] запропонував визначати властивості C(0), які характеризують миттєву реакцію кожної змінної на кожний ортогоналізований шок . У вихідній системі (9.13)(0) I . Це означає, що кожний шок протягом одного періоду часу впливає лише на свою
власну змінну. Іншими словами, в авторегресійному зображенні (9.12) існує рівність: A(0) I тобто в регресійному рівнянні для конкретної змінної не фігурують поточні
значення інших змінних, навіть у вигляді шоків.
Якщо тільки не є діагональною (ортогональні шоки), то кожна матриця Q матиме недіагональні елементи. Таким чином, C(0) не може дорівнювати І. Це означає, що деякі шоки впливатимуть на більш ніж одну змінну. Наша мета – дослідити цей випадок.
К. Сімз запропонував вибирати нижню трикутну C(0):
x |
|
|
|
(0) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
c |
xx |
|
|
C η |
|
||||||
z |
|
|
|
(0) |
|
t1 |
|
|||||
|
c |
(0) |
c |
|
|
1 t 1 |
|
|||||
|
t |
zx |
zz |
|
t2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Як видно, такий вибір означає, що другий шок t2 не має миттєвого ефекту на першу змінну хt. Обидва шоки можуть діяти на zt миттєво. Таким чином, уся одночасна
кореляція між вихідними шоками t відтворюється за допомогою czx(0) .
Можна також проінтерпретувати припущення ортогоналізації в термінах відповідного авторегресійного зображення. У вихідній VAR-моделі A(0) I (було А(0) = E), отже,
одночасні значення кожної змінної не фігурують у рівнянні для іншої змінної. Нижня трикутна C(0) означає, що одночасний хt з'являється в рівнянні для zt, але zt не фігурує в рівнянні для хt. Щоб це показати, позначимо ортогоналізоване авторегресійне зображення
через D(B)yt ηt , де D(B) C(B) 1 . Оскільки матриця, обернена до нижньої трикутної матриці, також нижня трикутна, то D(0) нижня трикутна, тобто
228
|
|
(0) |
0 |
|
xt |
D y |
|
D |
|
y |
|
|
η |
. |
|
|
dxx |
|
t 1 |
p |
t p |
||||||||||
|
d(0) |
d(0) |
|
|
|
1 |
|
|
|
t |
|
||||
|
zt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
zx |
zz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки C(0) (0)Q 1 |
Q 1 , |
то |
|
розклад |
Холеського |
|
автоматично здійснює |
||||||||
ортогоналізацію Сімза, отже, зникає потреба робити щось додатково (слід лише визначити порядок змінних у процесі ортогоналізації VAR-моделі.) В ідеалі, під час вибирання порядку змінних у процесі ортогоналізації бажано використати економічну теорію.
Зазначимо, що форма моделі
D0yt D1yt 1 Dp yt p ηt
з ортогональними шоками ηt називається структурною.
Приклад 9.1.
Розглянемо структурну VAR-модель з такими чотирма змінними:
D0yt * D1yt 1 Dp yt p ηt ,
yt [pt ,yt ,mt ,it ]T ,
де pt – логарифм індексу цін; yt – логарифм реального ВВП; mt – логарифм номінальної готівкової грошової маси; it – номінальна ставка відсотка.
Інтерпретуємо: рівняння для mt як функцію попиту на гроші; рівняння для рівняння it – як (обернену) функцію пропозиції грошей; рівняння для yt – як рівняння сукупного попиту; рівняння для pt – як (обернену) функцію сукупної пропозиції.
Припустимо (як більшість кейнсіанців), що ціни реагують на інші змінні лише з лагом. Отже, коефіцієнти при поточних змінних у рівнянні сукупної пропозиції дорівнюють нулям. Якщо грошова маса та відсоткова ставка впливають на сукупний попит лише з лагом, то поточні значення цих змінних слід вилучити з рівняння сукупного попиту. Далі вважатимемо, що відсоткова ставка впливає на бажаний рівень готівки також лише з лагом. Отже, поточні значення it слід вилучити з рівняння для mt. Оскільки більша частина центральних банків здійснюють ретельний моніторинг поточної економічної ситуації, то логічно включити всі поточні значення до рівняння для it. Таким чином, у нашій структурній моделі матриця D0 буде нижньої трикутною. Тепер ми можемо
оцінити необмежену векторну авторегресію (саме з визначеним вище порядком змінних)
yt μ A1yt 1 Ap yt p εt
і, застосувавши розклад Холеського, одержувати змістовні імпульсні реакції.
9.6. Ортогоналізація Бланшара – Куа: обмеження на C(1)
Замість того, щоб накладати обмеження на миттєву реакцію однієї змінної на шок іншої, Ж. Бланшар та Д. Куа [29] запропонували досліджувати шоки, визначені з умови, що довгострокова реакція однієї змінної на шок іншої дорівнює нулю. Якщо система визначена в різницях yt C(B)ηt , то C(l) визначає довгострокову реакцію рівнів уt на
шоки ηt . Ж. Бланшар та Д. Куа стверджують, що шоки "попиту" не мають жодного
віддаленого ефекту на ВНП. Таким чином, вони вимагають, щоб C(l) була нижньою діагональною у VAR-моделі з першим рівнянням для ВНП. У цьому разі необхідну
ортогоналізуючу матрицю Q знаходимо, спираючись на співвідношення C(1) (1)Q 1 .
9.7Розклад дисперсії
Вортогоналізованій системі можна проаналізувати джерела дисперсії похибки прогнозу: який відсоток дисперсії похибки прогнозу на k кроків уперед визначає кожна
229
змінна. Почнемо із зображення ортогоналізованої VAR-моделі у вигляді рухомого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
середнього: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
t |
|
C(B)η , |
Mη ηT I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де C(B ) C |
0 |
C B C |
2 |
B2 , a елементи C(B) визначено як c |
xx,0 |
c |
B c |
xx,2 |
B2 і так |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx,1 |
|
|
|
|
|||||||
далі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогнозу на один крок уперед становить |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Дисперсія |
|
Похибка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
x,t 1 |
y |
t 1 |
M (y |
t 1 |
) C |
η |
|
cxx,0 |
cxz,0 x,t 1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
0 t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z,t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
czx,0 |
czz,0 z,t 1 |
|
|
|
|
||||||
|
Таким чином, |
оскільки компоненти некорельовані й мають одиничні |
дисперсії |
, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дисперсія похибки прогнозу дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D (x |
t 1 |
) M( |
x,t |
1 |
)2 |
|
c |
2 |
|
2( ) c2 |
,0 |
2( ) c |
2 |
c2 |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
xx,0 |
|
x |
xz |
|
z |
xx,0 |
xz,0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
і подібно – для z. |
Отже |
, cxx2 ,0 і cxz2 ,0 |
|
|
– це частини дисперсії похибки прогнозу х на один |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
крок уперед, які є наслідком шоків х і |
z, |
відповідно (на практиці частіше |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
використовують частки cxx2 ,0 /(cxx2 ,0 cxz2 ,0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Більш формально можна записати: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
D (y |
t 1 |
) M(εT ε |
|
) C CT . |
||||
Визначимо |
t |
|
|
t 1 |
t 1 |
|
0 0 |
||
I1 |
1 |
0 |
,I2 |
0 |
0 |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
||
тощо. Тоді частина дисперсії похибки прогнозу на один крок уперед, яка є наслідком шоків першої змінної (х) становить C0I1C0T , а частина, що відповідає шокам другої (z) – C0I2C0T тощо. Неважко показати, що ці частини сумісні стосовно додавання, тобто
C0C0T C0I1C0T C0I2C0T
Можна вважати І новою коваріаційною матрицею, у якій усі шоки, окрім -го виключені. Тоді загальна дисперсія похибок прогнозу має дорівнювати лише тій частини,
яка є наслідком -го шоку і, очевидно, становить C0I C0T .
Узагальнення на випадок прогнозу на кроків h уперед здійснити неважко:
yt h Mt (yt h ) C0ηt h C1ηt h 1 Ch 1ηt 1 ,
Dt (yt h ) C0C0 C1C1 Ch 1Ch 1 .
Тоді
v |
|
|
h 1 |
I CT |
h, |
C |
|||
|
|
j |
j |
|
|
|
|
j 0 |
|
є дисперсією похибки прогнозу на k кроків уперед, яка є наслідком -го шоку, а загальна дисперсія – сума відповідних компонентів
Dt (yt h ) vh, .
Також корисно знаходити розклад фактичної дисперсії ряду: або безпосередньо на базі MA-зображення, або зауваживши, що ця дисперсія є границею дисперсій прогнозів на h кроків уперед, ми одержимо, що внесок -го шоку до дисперсії уt становить
|
|
|
|
I CT |
|
C |
|||
|
|
j |
j |
|
|
|
|
j 0 |
|
і
230
D(yt ) v .
Практичне використання розкладу дисперсії ми розглянемо у підрозд. 9.8
9.8 Каузальність за К. Грейнджером
Можлива ситуація, коли певна змінна не реагує на шоки іншої змінної. Така специфічна поведінка функції імпульсної реакції привернула широку увагу. У цьому випадку ми говоримо, що змінна, яка зазнала шоку, не впливає в розумінні К. Грейнджера [46,47] (не є каузальною за К. Грейнджером) на змінну, яка не реагує на шок.
Вивчення економетрики починається, зокрема, із такого застереження: розташування x у правій частині рівняння y x не означає, що x "є причиною для" y. (існує
правило, згідно з яким причинні фактори розташовують праворуч – це означає сподівання на те, що певний набір причинних факторів x може бути ортогональним до інших чинників ). Подальшим рухом у цьому напряму є положення про те, що "причинний зв'язок (каузальність)" не можна сформулювати у вигляді гіпотези, що допускає статистичну перевірку; такий зв'язок має бути відомим апріорно.
Поняття каузальності за К. Грейнджером стало предметом широкої уваги, оскільки, як виявилось, існує певний, хоча й обмежений контекст, у якому можна перевіряти, чи одна змінна "є причиною для" іншої й навпаки.
Найбільш проста ознака "причини" – те, що причини мають передувати ефектам. Однак ця властивість не обов'язково виконується в контексті часових рядів.
Розглянемо економіста, який займається віндсерфінгом10 Віндсерфінг забирає багато енергії, яку серфінгіст поповнює пивом. На верхній панелі рис. 9.1 зображено графік розподілу його діяльності в часі, де W – віндсерфінг і B – пиво.
Рис. 9.1
У цьому випадку ми не маємо жодних труднощів, вирішуючи, що віндсерфінг спричиняє споживання пива.
10 Ідею цього приклада запропонував Джордж Акерлоф. Викладення ґрунтується на роботі Дж. Кочрена [37].
231
Тепер припустимо, що нашому економісту для того, щоб відновити здатність просто відкрити пиво, потрібні 23 години. Окрім того, зробимо подальше припущення, що йому пощастило мешкати в такому місці, де він може займатися віндсерфінгом щодня. Тепер його графік проводження часу має вигляд, подібний до зображеного на середній панелі рис. 9.1. Той факт, що w є причиною для b, як і раніше, буде істинним, але b передує w щодня. Правило "причина передує ефекту" може призвести до хибного уявлення, що питво вживання пива є причиною зайняття віндсерфінгом!
Який вихід з цієї ситуації? Проблема полягає в тому, що і b, і w – регулярні події. Якщо було б можливим виявляти неочікуваний w і перевіряти, чи це супроводжується неочікуваним b, то можна було б зробити висновок, що w спричиняє b, як показано на нижній панелі рис. 9.1. Таким чином, доцільне таке означення: якщо неочікуваний w прогнозує b, тоді ми вважаємо, що w "спричиняє" b. Це формулювання є одним з кількох еквівалентних визначень каузальності за К. Грейнджером.
Визначення: wt є каузальним за К. Грейнджером стосовно yt, якщо wt дає змогу
поліпшити прогноз yt, знайдений на основі минулих yt. |
|
Розглянемо векторну авторегресію |
|
yt a(B)yt 1 b(B)wt 1 t , |
|
wt c(B)yt 1 d(B)wt 1 t . |
(9.15) |
Із нашого визначення випливає: wt не є каузальним за К. Грейнджером щодо yt, якщо b(B) = 0, тобто якщо ця векторна авторегресія еквівалентна такій моделі:
yt a(B)yt 1 t ,
wt c(B )yt 1 d(B)wt 1 t .
Можемо сформулювати визначення іншим способом, використовуючи авторегресійне зображення
y |
|
|
a(B) |
b(B ) y |
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
t 1 |
|
|
t |
, |
||||
wt |
|
c(B ) |
d(B) wt 1 |
|
|
t |
|
||||||
I Ba(B) |
Bb(B) y |
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|||
Bc(B) |
I Bd(B ) wt |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
a (B) |
b (B) |
yt |
t |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
. |
|
|
|
|
|
c |
|
(B) |
d (B) |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, w не є каузальним за К. Грейнджером щодо y тоді і лише тоді, коли b*(B) = 0, або, іншими словами, коли матричний авторегресійний поліном від лага є нижнім трикутним.
Ми можемо обернути авторегресійне зображення таким способом: |
|
|
|||||||||||||
yt |
|
1 |
|
d (B ) |
b (B) |
yt 1 |
|
|
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
w |
a (B )d (B) b (B)c (B) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c |
|
(B ) |
|
(B) |
w |
|
|
t |
||||
t |
|
|
|
|
a |
t 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, w не є каузальним за К. Грейнджером щодо y тоді і лише тоді, коли матричний поліном від лага для рухомого середнього є нижнім трикутним. Це твердження допускає іншу інтерпретацію: якщо w не є каузальним за К. Грейнджером щодо y, то y є функцією лише власних шоків й не реагує на шоки w, тоді як w – функція від шоків обох змінних – y та w.
Перевірку каузальності можна здійснити за допомогою звичайного F-критерію для сукупності лінійних обмежень. Н0: [wt не є каузальним за К. Грейнджером щодо yt, тобто якщо b(B) 0 ]. Гіпотезу можна перевірити за першим із рівнянь (9.15). Кількість ступенів
степенів свободи для F-статистики становить (p, T – 2p-1), де p – кількість лагів, T – кількість спостережень, доступних для оцінювання.
232
Зазначимо, що ситуація, коли одна зі змінних пари є каузальною за К. Грейнджером щодо іншої, але не навпаки, трапляється не завжди. Часто буває, що кожна змінна реагує на шок іншої (а також на свій власний), або іншими словами, між обома змінними існує зворотний зв'язок.
Першим і найбільш відомим прикладом застосуванням каузальності за К. Грейнджером було питання, "чи зростання грошової маси спричиняє зміни у ВНП". М. Фрідман і А. Шварц [43] виявили кореляцію між ростом грошової маси ВНП, а також той феномен, що найчастіше зміни у грошовій масі передують змінам ВНП. Однак Дж. Тобін зазначив, що, як і в нашому прикладі про віндсерфінг, передування в часі й кореляція не обов'язково означають причинний зв'язок. У відповідь на критику Дж. Тобіна К. Сімз [65] застосував критерій каузальності за К. Грейнджером. У своїй першій роботі К. Сімз виявив, що грошова маса є каузальною за К. Грейнджером щодо ВНП, але не навпаки, хоча і він, і інші згодом одержали різні результати (див. нижче).
К. Сімз також застосував останній результат про зображення, щоб проаналізувати регресії ВНП стосовно грошової маси:
yt bjmt j t . j 0
Ця модель відома як рівняння "відділення Федеральної резервної системи в Cент-Луисі". Коефіцієнти інтерпретували як реакцію y до змін у m, тобто якщо Федеральна резервна система визначає mj, то {bj} характеризує реакцію y. Оскільки коефіцієнти виявились "великими", із рівнянь випливає доцільність застосування правила постійного зростання грошової маси.
Очевидним запереченням цього твердження є те, що коефіцієнти можуть відбивати зворотну каузальність: можливо, Федеральна резервна система визначає рівень грошової маси, передбачаючи майбутнє економічне зростання, але не виключено, що Федеральна резервна система визначає рівень грошової маси, виходячи з минулих y. У кожному разі, член похибки корельований з поточним і лаговими значеннями m, тому МНК-оцінки виявляються неспроможними.
К. Сімз [65] перевірив каузальність за К. Грейнджером, проаналізувавши характер кореляції одновимірних шоків і оцінивши регресію y стосовно минулих і майбутніх значень m. Потім було перевірено гіпотезу про рівність нулю коефіцієнтів при майбутніх m. Він дійшов висновку, що рівняння "відділення Федеральної резервної системи в Cент- Луїсі" коректно специфіковано. Проте зараз, як ми побачимо далі, існують певні підстави сумніватися в цьому результаті. Окрім того, навіть якщо проекцію y на всі m оцінено правильно, вона не обов'язково відповідає на запитання, "які наслідки має зміна m Федеральною резервною системою".
"Каузальність за К. Грейнджером" не означає причинний зв'язок у більш фундаментальному розумінні через можливість впливу інших змінних. Якщо x випереджає y на один лаг, а z – на два лаги, то y буде каузальним за К. Грейнджером стосовно z у двовимірній системі: у дозволятиме поліпшувати прогнози z, тому що у вноситиме інформацію про "справжню причину" x. Однак твердження "якщо буде змінено y (політичним рішенням), то потім відбудеться зміна в z" не зобов'язане бути правильним. Прогноз є каузальним за К. Грейнджером щодо погоди (наприклад рівня опадів у дюймах), тому що він здатний поліпшити прогноз кількості опадів, одержаний на основі часового ряду минулих рівнів опадів. Причина поліпшення полягає в тому, що прогнозисти використають набагато більше інформації, ніж часовий ряд минулих рівнів опадів (зрозумійте: вийшло, що ви порівнюєте прогнозистів із часовим рядом. Це – нісенітниця!!!). Причиною поліпшення буде те, що прогнозист використає набагато більший масив інформації, ніж, застосовуючи одновимірну модель часового ряду.
Це не було б такою проблемою, якби оцінений характер каузальності в макроекономічних часових рядах був стійким до введення кількох змінних. Утім, він нерідко є стійким. Яскравий приклад навів К. Сімз [66]. Він оцінив VAR-модель, до якої було введено гроші, промислове виробництво й індекс оптових цін і підсумував свої результати для дисперсії похибок прогнозів на 48 місяців. Ми наводимо їх в табл. 9.1
233
Таблиця 9.1
Розклад дисперсії в моделі Сімза
Диспер |
Частина, пояснена шоками |
||||
|
|
|
|||
сія |
Ml |
IP |
WPI |
||
змінної |
|
|
|
||
M |
1 |
|
97 |
2 |
1 |
IP |
|
37 |
44 |
18 |
|
WPI |
14 |
7 |
80 |
||
Перший рядок указує на те, що Ml – екзогенна: вона не реагує на шоки інших змінних. Другий рядок показує, що Ml "спричиняє" зміни в IP, оскільки 37 % від дисперсії похибки прогнозів IP на 48 місяців уперед пояснюється шоками Ml. Третій рядок змушує замислитись: WPI також має вигляд екзогенної, і вплив Ml на неї не дуже помітний.
Таблиця 9.2
Розклад дисперсії в моделі Сімза (ураховуючи відсоткову ставку)
Диспер |
Частина, пояснена шоками |
|||||
|
|
|
|
|||
сія |
Ml |
IP |
WPI |
R |
||
змінної |
|
|
|
|
||
R |
50 |
19 |
4 |
28 |
||
M |
1 |
|
56 |
42 |
1 |
1 |
WPI |
|
2 |
32 |
60 |
6 |
|
IP |
30` |
4 |
14 |
52 |
||
Табл. 9.2 показує, що відбувається, коли ми вводимо додаткову змінну, відсоткову ставку. Тепер другий рядок свідчить про істотну реакцію грошей на шоки відсоткової ставки. Отже, гроші, безсумнівно, не є екзогенними, і можна висувати різноманітні пояснення. Наприклад, "Федеральна резервна система намагається згладжувати відсоткову ставку". З третього рядка ми бачимо, що М1 впливає на WPI. І найнеприємніше те, що четвертий рядок показує, що М1 не впливає на IP, тоді як відсоткова ставка має вплив. Таким чином, з'являється враження, що зміни саме відсоткової ставки виступають як рушійна сила реальних коливань, а гроші лише визначають рівень цін! Однак автори пізніших публікацій інтерпретували ці результати по-іншому: насправді відсоткова ставка є найкращим індикатором монетарної політики Федеральної резервної системи.
Зауважимо, що К. Сімз навів економічний вимірник зворотного зв'язку (розклад дисперсії похибки прогнозу), а не результати F-критерію каузальності за К. Грейнджером. Після закінчення першої хвилі оптимізму економісти стали менше цікавитись гіпотезою про повну відсутність каузальності за К. Грейнджером у чистому вигляді; вони більше зацікавлені в кількісному визначенні сили зворотного зв'язку між змінними. І цей підхід має рацію.
Будь-яку дисперсію можна розкласти за частотами. Дж. Дживік [44] показав, яким чином дизагрегувати розклад дисперсії за частотою, щоб одержати вимірник зворотного зв'язку при кожній частоті. Цей вимірник може відповідати на різні запитання, наприклад, чи Федеральна резервна система реагує на низькочастотні або високочастотні зрушення у ВНП тощо.
Вище ми припускали (там, де це було необхідно), щоб шоки були ортогональними. Можна узагальнити означення каузальності за К. Грейнджером таким чином: поточне і минулі w не поліпшують прогноз y, знайдений на основі минулих y. Це означає, що ортогоналізована MA-модель нижня трикутна. Звичайно, ця версія визначення буде залежати від порядку ортогоналізації. Формулюючи каузальність за К. Грейнджером у термінах функції імпульсної реакції або розкладу дисперсії різниці, також треба робити те чи інше припущення стосовно ортогоналізації.
234
Можливо, проблема полягає в тому, що одна змінна може діяти на іншу настільки швидко, що це відбувається в межах одного періоду, за який ми спостерігаємо дані. Таким чином, ми не можемо використати нашу статистичну процедуру, щоб побачити, чи причина одночасної кореляції полягає у впливі y на w чи у впливі w на y. Отже, припущення стосовно ортогоналізації еквівалентно припущенню щодо напряму миттєвого причинного зв'язку.
Задачі
Група А
Задача 9.1. Запишіть векторну авторегресію другого порядку у вигляді векторної авторегресії першого порядку.
Задача 9.2. Поясніть різницю між структурною (з ортогоналізованими збуреннями) і необмеженою (зведеною) формою векторної авторегресії. У чому полягає причина того, що розклад дисперсії ґрунтується на структурній, а не на необмеженій формі?
Задача 9.3. Проаналізуйте двовимірну модель VAR(l):
|
|
|
|
(x1t ,x2t ) (x1,t 1,x2,t 1)P νt |
, |
1/2 |
1 |
|
|||
де P |
0 |
1/4 |
. |
||
|
|
||||
1. Знайдіть корені характеристичного полінома для цієї моделі. Чи є процес стаціонарним?
2. Знайдіть власні числа матриці P. Як вони пов'язані з коренями характеристичного полінома, знайденими в п. а)?
Задача 9.4. Проаналізуйте двовимірну векторну авторегресію першого порядку:
(x |
,x |
2t |
) (x |
,x |
2,t 1 |
) |
11 |
12 |
|
( |
, |
2t |
), |
|
1t |
|
1,t 1 |
|
|
|
|
|
|
1t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
де похибки 1t , 2t є "білим шумом" і незалежні між собою.
1.За яких значень параметрів модель є рекурсивною? Поясніть.
2.За яких значень параметрів х1t и x2t являють собою два незалежні випадкові блукання? Поясніть.
3.Відомо, що х1t не є каузальним за К. Грейнджером щодо x2t. Які обмеження накладає цей факт на параметри?
Група В
Задача 9.5. У табл. 9.3 наведено дані про споживчі витрати С і доходи Y в США в мільярдах доларів, очищені від сезонності.
1.Побудуйте графік споживання та доходів. Що можна сказати про ці ряди, дивлячись на графіки?
2.Використовуючи операції логарифмування та переходу до різниць, а також відомі вам засоби діагностики стаціонарності, знайдіть перетворення, яке робить дані стаціонарними.
3.Використовуючи перетворені дані (за результатами попереднього пункту) виберіть порядок векторної авторегресії. Перевірте обрану модель на автокореляцію залишків. Здійсніть перевірку каузальності за К. Грейнджером (у всіх можливих напрямах). Що можна сказати про напрям каузальності за одержаними результатами. Які застереження слід зробити?
Таблиця 9.3
(???)
235
Квартал |
С |
Y |
Квартал |
С |
Y |
||||
|
1947/Q1 |
|
192,5 |
202,3 |
|
1954/Q1 |
|
233,4 |
254,4 |
|
1947/Q2 |
|
196,1 |
197,1 |
|
1954/Q2 |
|
236,4 |
254,8 |
|
1947/Q3 |
|
196,9 |
202,9 |
|
1954/Q3 |
|
239 |
257 |
|
1947/Q4 |
|
197 |
202,2 |
|
1954/Q4 |
|
243,2 |
260,9 |
|
1948/Q1 |
|
198,1 |
203,5 |
|
1955/Q1 |
|
248,7 |
263 |
|
1948/Q2 |
|
199 |
211,7 |
|
1955/Q2 |
|
253,7 |
271,5 |
|
1948/Q3 |
|
199,4 |
215,3 |
|
1955/Q3 |
|
259,9 |
276,5 |
|
1948/Q4 |
|
200,6 |
215,1 |
|
1955/Q4 |
|
261,8 |
281,4 |
|
1949/Q1 |
|
199,9 |
212,9 |
|
1956/Q1 |
|
263,2 |
282 |
|
1949/Q2 |
|
203,6 |
213,9 |
|
1956/Q2 |
|
263,7 |
286,2 |
|
1949/Q3 |
|
204,8 |
214 |
|
1956/Q3 |
|
263,4 |
287,7 |
|
1949/Q4 |
|
209 |
214,9 |
|
1956/Q4 |
|
266,9 |
291 |
|
1950/Q1 |
|
210,7 |
228 |
|
1957/Q1 |
|
268,9 |
291,1 |
|
1950/Q2 |
|
214,2 |
227,3 |
|
1957/Q2 |
|
270,4 |
294,6 |
|
1950/Q3 |
|
225,6 |
232 |
|
1957/Q3 |
|
273,4 |
296,1 |
|
1950/Q4 |
|
217 |
236,1 |
|
1957/Q4 |
|
272,1 |
293,3 |
|
1951/Q1 |
|
223,3 |
230,9 |
|
1958/Q1 |
|
268,9 |
291,3 |
|
1951/Q2 |
|
214,5 |
236,3 |
|
1958/Q2 |
|
270,9 |
292,6 |
|
1951/Q3 |
|
217,5 |
239,1 |
|
1958/Q3 |
|
274,4 |
299,9 |
|
1951/Q4 |
|
219,8 |
240,8 |
|
1958/Q4 |
|
278,7 |
302,1 |
|
1952/Q1 |
|
220 |
231,1 |
|
1959/Q1 |
|
283,8 |
305,9 |
|
1952/Q2 |
|
227,7 |
240,9 |
|
1959/Q2 |
|
289,7 |
312,5 |
|
1952/Q3 |
|
223,8 |
245,8 |
|
1959/Q3 |
|
290,8 |
311,3 |
|
1952/Q4 |
|
230,2 |
248,8 |
|
1959/Q4 |
|
292,8 |
313,2 |
|
1953/Q1 |
|
234 |
253,3 |
|
1960/Q1 |
|
295,4 |
315,4 |
|
1953/Q2 |
|
236,2 |
256,1 |
|
1960/Q2 |
|
299,5 |
320,3 |
|
1953/Q3 |
|
236 |
255,9 |
|
1960/Q3 |
|
298,6 |
321 |
|
1953/Q4 |
|
234,1 |
255,9 |
|
1960/Q4 |
|
299,6 |
320,1 |
(Джерело: Temple University, Department of Economics. Econometrics II Multivariate Time Series; http://oil.temple.edu/economics/hwkdata/Vector_autoreg/Civar.htm)
Задача 9.6. У табл. 9.4: Infl – темп інфляції, розрахований за формулою 400(ln(CPIt - ln(CPIt-1 )), де CPI – індекс споживчих цін, тобто логарифмічний темп
приросту цін у відсотках у річному вимірі; UnRate – рівень безробіття (відсоток населення); FedFunds – ефективна відсоткова ставка за міжбанківськими
короткостроковими кредитами овернайт (у річному вимірі). (що це таке: цього у формулі немає??? У табл. 9.4 )
1.Виберіть довжину лага й оцініть параметри векторної авторегресії.
2.Знайдіть функції імпульсної реакції та розклад дисперсії, користуючись такою рекурсивною структурою: поточна інфляція впливає на поточне безробіття та відсоткову ставку, а поточне безробіття впливає на поточну відсоткову ставку.
3.Дайте економічну інтерпретацію одержаним результатам.
Таблиця 9.4
(???)
|
Квар |
Infl |
UnR |
FedFu |
|
Квар |
Inf |
UnR |
FedFu |
|||||||||||
|
1954/Q |
|
- |
5,96 |
1,027 |
|
1979/Q |
|
|
12,9 |
5,70 |
10,180 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1954/Q |
|
0,00 |
5,33 |
0,987 |
|
1979/Q |
|
|
12,0 |
5,86 |
10,947 |
||||||||
|
1955/Q |
|
0,00 |
4,73 |
1,343 |
|
1979/Q |
|
13,2 |
5,96 |
13,577 |
|||||||||
|
1955/Q |
|
- |
4,40 |
1,500 |
|
1980/Q |
|
16,3 |
6,30 |
15,047 |
|||||||||
|
1955/Q |
|
2,98 |
4,10 |
1,940 |
|
1980/Q |
|
11,8 |
7,33 |
12,687 |
|||||||||
|
1955/Q |
|
0,00 |
4,23 |
2,357 |
|
1980/Q |
|
6,73 |
7,66 |
9,837 |
|||||||||
|
1956/Q |
|
0,00 |
4,03 |
2,483 |
|
1980/Q |
|
11,7 |
7,40 |
15,853 |
|||||||||
|
1956/Q |
|
4,43 |
4,20 |
2,693 |
|
1981/Q |
|
10,0 |
7,43 |
16,570 |
|||||||||
|
1956/Q |
|
2,93 |
4,13 |
2,810 |
|
1981/Q |
|
8,4 |
7,40 |
17,780 |
|||||||||
236