В. А. Жилкин

Подставляя в выражение для удельной потенциальной энергии зависимость нормальных напряжений от нормальной силы N (формула (8.1)), получим расчетную формулу для определения потенциальной энергии при

растяжении и сжатии при наличии n участков длиной Li

i 1,

2, ... ,n :

n

Li

2

n

Li

N2

U

i

dV

i

dx

.

(8.14)

2E

2E

F

i 1

i

i 1

0

0

i

i

Если в пределах участков жесткости поперечных сече-

	ний стержня EiFi		и нормальные силы Ni						постоянны, то фор-
	мула (8.14) принимает вид
			n	N2L
		U				i i		.	(8.15)
				2EiFi
			i 1
	Для стержня, состоящего из одного участка,
		U	N2L			.			(8.16)
			2EF

8.5. Статически неопределимые системы

8.5.1. Основные понятия

Стержневые и шарнирно-стержневые системы, уси-

лия в которых не могут быть определены только с помощью одних уравнений равновесия, называют статически неопре-

делимыми.

В частности, для систем, обладающих плоскостью материальной симметрии, совпадающей с плоскостью действия сил и реакций связей, можно составить только три уравнения равновесия, и потому если число n неизвестных реакций связей окажется больше 3 (т. е. n > 3), то задача определения этих реакций будет статически неопределимой. В этом случае говорят, что на систему наложено (n – 3) «лишних» связей. Термин «лишних» применяется здесь только в том смысле,

334

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

что связи не нужны для обеспечения геометрической неизменяемости системы и ее равновесия, в то время как они могут быть необходимы для реализации функционального назначения конструкции.

Алгоритм решения статически неопределимых задач сводится к следующему.

1. Выбирают основную статически определимую систему.

Под основной системой понимают расчетную схему заданного элемента конструкции, освобожденного от нагрузки и лишних связей.

Одна и та же конструкция может иметь несколько вариантов основной системы, т. к. выбор «лишних» связей определяется расчетчиком. При выборе основной системы надо следить за тем, чтобы при любой нагрузке система оставалась геометрически неизменяемой.

2. Изображают на чертеже эквивалентную систему. Эквивалентная система – основная система, загружен-

ная заданной нагрузкой и реакциями «лишних» связей. Необходимым условием эквивалентности заданной ста-

тически неопределимой и эквивалентной систем является идентичность всех перемещений в обеих системах.

Формально эквивалентная система представляет собой статически определимую конструкцию, несущую, помимо заданной нагрузки, неизвестные реакции Xi в «лишних» связях.

3.Дополнительно составляют (n – 3) уравнения к трем условиям равновесия системы сил, исходя из того, что перемещения точек приложения сил Xi в эквивалентной системе должны удовлетворять тем же условиям, что и в заданной системе. Точки приложения неизвестных сил Xi в эквивалентной системе – это точки приложения «лишних» связей в заданной системе, перемещения в которых по направлению этих связей либо равны нулю (жесткие «лишние» связи), либо равны

удлинению самих связей (упругие «лишние» связи). Обозначая эти перемещения i можно записать:

335

В. А. Жилкин

	для жестких связей:		i 0				;			(8.17)
	для упругих связей:			i		XiLi			.	(8.18)
						EiFi

Эти уравнения иногда называют уравнениями совмест-

ности деформаций.

Представляя левые части уравнений (8.17) и (8.18) в виде функций от заданных нагрузок и от реакций связи Xi , получим (n – 3) дополнительных уравнения. Изложенный ме-

тод решения статически неопределимых задач называется методом сил, т. к. мы в качестве основных неизвестных вы-

брали силы.

Если за основные неизвестные принять не силы, а пе-

ремещения, то метод решения статически неопределимых задач будет называться методом перемещений. Для ряда

систем метод перемещений позволяет существенно облегчить решение задачи.

8.5.2.Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами

Пусть брус, изготовленный из одного материала (модуль упругости E) и имеющий постоянную площадь F поперечных сечений, загружен одной силой P так, как показано на рис. 8.12 а.

1.Освободим брус от связей, а действие связей заменим реакциями связей, которые обозначим через X1 и X2 (рис. 8.12).

2.Составим уравнения равновесия системы сил, приложенной к брусу. Так как все силы лежат на одной прямой, то мы можем записать только одно условие равновесия системы сил:

X 0 :	X1 P X2 0
или
X1 X2 P .	(8.19)

336

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Одно уравнение равновесия системы сил (8.18) содержит две неизвестные реакции связей X1 и X2 , т. е. задача определения этих реакций один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо составить одно дополнительное уравнение.

3. Выбираем основное неизвестное и основную систему. За основное неизвестное можно принять либо X1 , либо X2 , в соответствии с чем для данной задачи возможны два вида основной системы (рис. 8.12 в, г). Выберем в качестве основной неизвестной реакцию X1 , тогда основная система будет иметь вид, изображенный на рис. 8.12 в.

а

б

в

г

д

е

ж

з

и

Рис. 8.12

4.Изображаем эквивалентную систему, т. е. основную систему загружаем заданной силой P и реакцией связи X1 (рис. 8.12, д).

5.Составим дополнительное к (8.19) уравнение совместности

деформаций. Эквивалентная система будет идентична задан-

ной, если в этой системе перемещение LA сечения A бруса по отношению к опорному сечению B так же, как и в задан-

ной системе, будет равно нулю, т. е.

337

В. А. Жилкин
LA 0 .	(8.20)

Для определения перемещения LA в эквивалентной статически определимой системе вначале определяем внутренние усилия вдоль оси бруса. В соответствии с характером нагрузки, приложенной к брусу, разбиваем его вдоль оси на два участка. Нумерацию участков начнем от заделки, т. к. ее перемещение равно нулю. Нормальные усилия в поперечных сечениях бруса в пределах первого и

	второго участков постоянны и равны N1 X1					P и N2 X1
	соответственно. Эпюра внутренних усилий N изображена
	на рис. 8.12, е.
	Учитывая зависимость (8.7**), распишем уравнение
	(8.20) более подробно:
	LA	P X1 b		X a	0 ;	(8.21)
				1
		EF		EF

Решая уравнение совместности деформаций (8.21)

относительно неизвестного усилия, найдем			X1 :
X Pb		,	(8.22)
1	L

а из уравнения равновесия (8.19) определим вторую реакцию связи X2 :

X	2	P X	1	P Pb	Pa .	(8.23)
				L	L

Знак (–) у реакции X1 указывает на то, что ее действительное направление обратно, изображенному на рисунке 8.12, д.

После определения опорных реакций X1 и X2 построим для заданной статически неопределимой системы уже известным нам способом эпюры N , и L (или u ) (рис. 8.12, ж, з, и).

338

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

8.5.3.Расчет статически неопределимых плоских шарнирно-стержневых систем

Абсолютно жесткий брус AD закреплен в плоскости действия сил с помощью шарнирно-неподвижной опоры A и двух стержней 1 и 2 постоянного поперечного сечения, имеющих следующие геометрические характеристики соответственно (рис. 8.13): F1 , F2 (площади), L1 , L2 (длины) и упругие E1 и E2 (модули упругости). Требуется определить усилия Ni ( i 1,2 )

в стержнях 1 и 2.

1.Отсоединяем брус от связей. Действие связей заменяем

реакциями XA , YA , N1 и N2 . На расчетной схеме направления реакций Ni указываем соответствующими растяжению стержней (рис. 8.13, б).

а

б

Рис. 8.13

2.Составляем условия равновесия плоской системы сил, приложенной к брусу:

X 0 : XA 0 ; Y 0 : YA N1 N2 P 0 ;

X 0 : N1 2a N2 3a P 4a 0 .

339

В. А. Жилкин

Откуда

YA N1 N2 P ; 2N1 3N2 4P .

(8.24)

Итак, уравнения равновесия (8.23) нам дают два уравнения с тремя неизвестными YA , N1 и N2 , т. е. задача определения реакций связи оказалась один раз статически неопределимой, в связи с чем необходимо составить одно дополнительное уравнение совместности деформации.

3.Составляем дополнительное уравнение. Изобразим одну из возможных деформированных форм системы. В нашем слу-

чае таких форм может быть две: абсолютно жесткий брус может повернуться относительно неподвижной точки А либо по

часовой стрелке, либо против часовой стрелки на некоторый угол . Какую же из этих возможных деформированных схем

системы выбрать за расчетную? Любую! При правильном выполнении всех последующих операций это не отразится на конечном результате. Мы выберем первую из указанных

форм (рис. 8.13, в).

Из рисунка рис. 8.13, в, следует, что ABB1 ACC1 , т. е.

BB1		CC1
AB		AC
или
L1		L2 .		(8.25)
2a		3a

На расчетной схеме, изображенной на рис. 8.13, б, которую мы использовали при составлении условий равновесия системы сил, приложенных к брусу AD, направления реакций связи Ni ( i 1,2 ) соответствовали растяжению стержней. На расчетной схеме рис. 8.13, б стержень 1 сжат, а стержень 2 – растянут. Для согласования знаков усилий Ni в зависимостях (8.24) и (8.25) мы должны в зависимости (8.25) перед L1 поставить знак минус. Таким образом, выражение (8.25) примет вид

340

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

N1L1 N2L2 . 2E1F1 3E2F2

Откуда

N1		2N2	E1F1L2			.	(8.26)
		3 E F L
		2		2	1

Уравнение (8.26) и есть искомое дополнительное уравнение.

Если ввести жесткости стержней 1 и 2:

c1 E1F1 ; c2 E2F2 , L1 L2

то зависимость (8.25) примет более компактный вид:

N1		2N2	c1	.	(8.27)
		3
			c
			2

4. Для нахождения искомых реакций связи решаем совместно уравнения (8.20) (уравнения равновесия) и (8.27) (уравнение совместности деформаций). Эту операцию можно выполнить в системе MathCAD, используя символьный процессор.

2 N1 3 N2

4 P

N1

8 P c

12 P c

4 P c 3 P c

Y N N

P

A 1

2

solve

N

1

2

1

2

4 c

9 c

4 c

9 c

4 c

9 c

2

2

N2

c1

Y

1

2

1

2

1

2

N1

3

c2

A

Откуда

N1

8Pc1

,

(8.28)

4c1 9c2

N2

12Pc2

,

(8.29)

4c1

9c2

341

В. А. Жилкин

YA	4Pc1	3Pc2	.	(8.30)
	4c1	9c2

Из зависимостей (8.28) и (8.29) следует, что чем больше жесткость стержня ci ( i 1, 2 ), тем большее усилие в нем возникает. Полученный результат отражает общее свойство статически неопределимых систем:

при прочих равных условиях в более жестких элементах статически неопределимых систем возникают большие усилия.

8.5.4.Расчет статически неопределимых плоских шарнирно-стержневых систем с помощью метода Кастильяно

Решим задачу, рассмотренную в предыдущем параграфе, с помощью энергетического метода – теоремы Кастильяно.

Выражение для потенциальной энергии деформации всей системы, состоящей только из двух деформируемых стержней 1 и 2:

U	N2L			N2L			N2		N2
	1	1		2	2		1		2	.	(8.31)
	2E F			2E F			2c		2c
	1	1		2	2		1		2

Из уравнений (8.24) следует

N2 4P 32N1 ,

что позволяет уравнение (8.31) переписать в виде

U	N2		N2		N2		4P 2N1 2
	2c		2c		2c		18c
	1		2		1		.
	1		2		1		2

В соответствии с теоремой Кастильяно

dU		d		2		4P 2N1	2
				N1
dN		dN		2c		18c
1		1		1		2

N1 2 4P 2N1 0. c1 9c2

342