ГЛАВА10 Прямой изгиб

Второе слагаемое в выражении потенциальной энергии, т. е. энергия сдвигов, для большинства типов балок значительно меньше первого слагаемого, т. е. энергии изгиба. На основании этого часто второе слагаемое отбрасывают и определяют потенциальную энергию поперечного изгиба без учета сдвигов.

10.10.Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования

Винженерной практике приходится проводить расчет брусьев при изгибе не только на прочность, но и на жесткость. Прочные брусья могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости.

Вэтом разделе будем рассматривать только такие брусья, у которых поперечное сечение имеет ось симметрии,

авнешние силы расположены в одной из главных плоскостей бруса. Ось бруса, не изменяя своей длины, т.к. нормальные напряжения вдоль оси бруса равны нулю, искривляется в той же

плоскости. Перемещения произвольной точки оси бруса обозначим в направлении оси z через w, а перемещения вдоль оси x бруса – через u (рис. 10.22). Предполагается, что при

плоском изгибе брусьев справедлива гипотеза плоских сечений: сечения плоские и перпендикулярные оси бруса до его деформации остаются плоскими и перпендикулярными оси бруса

и после его деформации. Таким образом, угол поворота сечения равен углу наклона касательной к изогнутой оси бруса.

Три величины – u, w и – являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения бруса при плоском изгибе.

Проверка жесткости брусьев, работающих на изгиб,

сводится к требованию, по которому наибольший прогиб wmax не должен превышать определённой доли пролёта:

wmax mL ,

где m устанавливается нормами проектирования в пределах

300 1000 .

481

0,1 0,15

В. А. Жилкин

Отсюда видно, что компонента линейного перемещения w точки оси бруса мала по сравнению с его пролётом. Углы поворота сечений бруса не превышают рад. Это позволяет ввести некоторые упрощения.

а

б

Рис. 10.22

Во-первых, при малых w угол наклона касательной к изогнутой оси бруса, согласно геометрической интерпретации производной ( w tg ):

tg	dw
	dx .	(10.32)

Во-вторых, горизонтальными перемещениями u можно пренебречь, так как по сравнению с w они будут величинами второго порядка малости.

482

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Изогнутая ось бруса называется упругой линией, а пере-

мещения точек оси бруса по нормали к его недеформированной оси называются прогибами бруса.

Прогибы w бруса положительны, если точки его оси смещаются вверх. Углы поворота положительны, если поперечные сечения при деформации поворачиваются против хода часовой стрелки.

Прогибы оси балки измеряются в мерах длины (см, мм и т. д.), а углы поворота поперечных сечений – в радианах.

Определим форму упругой линии.

При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе была получена связь между кривизной оси бруса и изгибающим моментом (формула 10.8):

My . (а)

EJy

Вто же время из курса высшей математики известна зависимость кривизны плоской кривой от координат z и x её точек:

d2 z

	1				dx2			.	(б)
			1		dz	2 3 2
					dx

Подставляя значение кривизны 1 в равенство (а) и заменяя в равенстве (б) z на w, получим дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса:

			d2w					My
			dx2
		dw			2	3 2		EJy .	(10.33)
1
			dx

483

В. А. Жилкин

Аналитическое интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения связано с большими трудностями, в то время как численное интегрирование в настоящее время даже в MathCAD проблем не вызывает.

При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе

мало по сравнению с единицей (при 0,1 рад w 2 0,01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное

дифференциальноеуравнениеупругойлиниибруса:

d2w		My		.	(10.34)
dx2		EJy

Два знака в уравнении (10.34) поставлены потому, что знак кривизны может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кривизны зависит от направления осей координат. Знак изгибающего момента был выбран в зависимости от того, где расположены растянутые волокна. Так, например, для случая, когда ось z направлена вверх, положительному моменту соответствует положительная кривизна, а отрицательному – отрицательная кривизна (рис. 10.23, а).

Таким образом, в случае, когда ось z направлена вверх, знаки кривизны и изгибающего момента совпадают, поэтому в дифференциальном уравнении (10.34) оставляют знак плюс:

EJyw My .

(10.35)

Если ось z направлена вниз, то знаки у кривизны и изгибающего момента различны, поэтому в правой части уравнения (10.34) берут знак минус (рис. 10.23, б).

Примечание. Уравнение (10.34)

справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента My содержит одну из главных центральных осей инерции сечения.

484

ГЛАВА10 Прямой изгиб

а

б

Рис. 10.23

Интегрируя (10.35), находим сначала углы поворота сечений:

EJyw EJy My dx C ,

а после второго интегрирования – прогибы бруса:

EJyw My dx dx Cx D .

Постоянные интегрирования определяют из граничных условий.

Например, для консольной балки с сосредоточенной парой сил на свободном конце (рис. 10.24)

EJyw M ;
EJyw EJy Mx C ;
Рис. 10.24
EJyw M	x2	Cx D .
2

Так как в заделке прогиб и угол поворота равны нулю, то для определения постоянных интегрирования C и D будем иметь следующие граничные условия:

485

В. А. Жилкин

при x 0 0 ; при x 0 w 0 .

Эти условия будут удовлетворены, если C = 0 и D = 0. Следовательно, балка изогнётся по дуге параболы:

EJyw x M x2 .

2

На этом примере наглядно проявляется приближённый характер уравнения (10.34), так как при постоянном изгибающем моменте M согласно равенству (а) балка должна изгибаться по дуге окружности радиуса . При принятом допущении о малости перемещений указанные дуги окружности и параболы в пределах длины балки практически совпадают.

Максимальный прогиб (стрелка прогиба f) и угол поворота сечения будет на конце консоли при x = L:

	wmax f	ML2	;	(10.36)
		2EJy
	max ML	.		(10.37)
	EJy
Положительные		значения wmax и max		означают,

что прогиб направлен вверх, а угол поворота сечения – против хода часовой стрелки.

Для консольной балки с сосредоточенной силой на свободном конце (рис. 10.25)

EJyw P L x P x L ;

	EJyw EJy		P x L 2		C ;
			2
	Рис. 10.25
		P x L 3
	EJyw			Cx D .
		6

486

ГЛАВА10 Прямой изгиб

Так как в заделке прогиб и угол поворота равны нулю, то для определения постоянных интегрирования C и D будем

иметь следующие граничные условия: при x 0 0 ;

при x 0 w 0 .

Эти условия будут удовлетворены, если

	C PL2 ; D PL3 .
		2					6
Следовательно, балка изогнётся по дуге параболы:
	EJyw x				P x L 3				PL2 x PL3 .
							6		2	6
Максимальные значения w и имеют место на свобод-
ном конце балки:
	wmax			PL3				;		(10.38)
			3EJy
	max			PL2				.		(10.39)
			2EJy
Отрицательные значения wmax и max										означают, что про-

гиб направлен вниз, а угол поворота сечения – по ходу часовой стрелки.

Вслучае изгиба балки, шарнирно опёртой по концам

инесущей равномерно распределённую нагрузку q (10.26), выражение изгибающего момента будет

M x qL2 x qx22 ,

а дифференциальное уравнение упругой линии балки примет вид

Рис. 10.26	EJyw	qL x qx2		;
		2	2

487

В. А. Жилкин

EJyw EJy qLx2			qx3	C ;
	4		6
EJyw qLx3	qx4	Cx D .
12	24

Для определения постоянных интегрирования C и D будем иметь следующие граничные условия:

при x = 0 w = 0; при x = L w = 0.

Из первого условия находим D = 0, из второго –

C qL3 .

24

Подставив значения C и D в выражения для w и , получим уравнения угла поворота и упругой линии:

EJy x	qLx2				qx3			qL3
		4			6					24
qL3 1 6				x		2 4				x		3		;
24				L						L
EJyw x	qLx3				qx4			qL3					x
		12			24					24
qL3 x	1	2			x		2		x		3 .
24
					L			L

Максимальное значение прогиба будет посредине пролёта:

	wmax f	5qL4		.	(10.40)
		384EJy

Максимальные значения угла поворота будут на опорах:

	A	qL3
				;	B A	.	(10.41)
		24EJy

488

ГЛАВА10 Прямой изгиб

На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии балки также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках даёт 2n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Например, в случае двухопорной балки, нагруженной на расстоянии a от левой опоры сосредоточенной силой P (рис. 10.27), имеем два участка с различными уравнениями для моментов и упругой линии. На первом участке (при x a )

EJyw1

P b x ;

L

EJyw1 EJy 1

P b

x2

C1 ;

Рис. 10.27

P b

x

3

L 2

EJ

w

C x D ,

y

1

L 6

1

1

на втором участке (при a x a b L )

EJyw2 P b x P x a ;

L

EJyw2 EJy 2 P b

x2

P

x a 2 C2 ;

L 2

2

EJ

w

P b

x3

P x a 3

C x D .

2

y

L 6

6

2

2

Здесь использован приём интегрирования без раскрытия скобок, т.е. переменной интегрирования является (x–a), что сказывается лишь на величине произвольных постоян-

ных C2 и D2.

Граничные условия на опорах балки и условия плавного

сопряжения участков упругой линии друг с другом будут иметь

вид: w1 0 0 ; w1 a w2 a ; w1 a w2 a ; w2 L 0 .

489

В. А. Жилкин

Из первого граничного условия получим D1 = 0, из второго – C1 = C2, из третьего – D2 = D1 = 0. Из четвёртого уравнения получим

,

т. е.

C1		Pb b2 L2	.
		6L

Таким образом, прогибы на левом и правом участках балки определяются уравнениями

EJyw1		Pb x3	b2 L2 x ;
		6L
EJyw2		Pb x3	b2 L2 x		P x a 3	.
		6L		6

Если сила P приложена по середине пролета, то прогиб балки в этом месте будет максимальным. Величину прогиба

найдем, подставляя в уравнение на левом или правом участках b L2 и x L2 :

	wmax f	PL3		.	(10.42)
		48EJy

Знак минус означает, что балка прогибается в сторону, противоположную положительному направлению оси z.

При числе участков, большем двух, вычисления произвольных постоянных становятся громоздкими. Однако путем искусственных приемов составления и интегрирования дифференциальных уравнений упругой линии оказывается возможным добиться равенства произвольных постоянных C и D на всех участках и свести таким образом задачу к вычислению только двух постоянных при любом числе участков. С помощью этих приёмов получено так называемое универсальное уравнение упругой линии.

490