В. А. Жилкин

Пример9.11. Пружина, свитая из проволоки диаметром d = 20 мм и имеющая количество рабочих витков n = 8, сжимается силой P = 8 кН. Средний диаметр пружины D = 12 мм. Определить осадку пружины и максимальные касательные напряженияmax . Модуль сдвига материала пружины G 8,5 104 МПа.

Максимальные касательные напряжения в проволоке пружины – 305,6 МПа, осадка – 6,5 см.

9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля

Брус считается тонкостенным, если толщина стенки существенно меньше его прочих линейных размеров (рис. 9.23).

Линия, делящая толщину сечения пополам, называется срединной (средней) линией. Часто тонкостенное сечение, изобража-

ется только его средней линией, а размеры сечения задаются

по этой линии. Если средняя линия замкнута, то профиль называется замкнутым, в противном случае – открытым.

При кручении тонкостенного бруса его поперечные сечения депланируют, т.е. различные точки одного поперечного сечения смещаются друг относительно друга параллельно оси стержня. Если ничто не препятствует свободной

депланации сечений, кручение называется чистым, или свободным, в противном случае – стесненным. При стес-

ненном кручении в отличие от свободного в поперечных сечениях кроме касательных напряжений возникают также и нормальные напряжения.

Рассмотрим случай свободного кручения тонкостенного бруса замкнутого контура (рис. 9.23), при котором попереч-

410

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

ные сечения могут свободно депланировать, но не искажаться в своей плоскости, т. е. не изменяется форма сечения в плане.

Рис. 9.23

Рис. 9.24

Последнее условие обеспечивается в тонкостенных конструкциях установкой достаточно жестких в своей плоскости диафрагм (в корпусе подводной лодки – шпангоутов, переборок, в крыле самолета – нервюр, в фюзеляже – шпангоутов).

Определим напряжения в поперечных сечениях рассматриваемого бруса.

Крутящий момент, определяемый из условий равновесия отсеченной части бруса, в его поперечных сечениях создаётся касательными напряжениями. Они связаны зависимостью (9.14), из которой касательные напряжения не могут быть определены, если неизвестен закон их распределения по сечению.

Установим направление и характер распределения напряжений по толщине сечения.

В крайних точках нормали n n к средней линии сечения (рис. 9.24) векторы напряжений, как это было показано выше, направлены по касательным к внешнему и внутренним контурам сечения. Вследствие малой толщины сечения эти векторы

411

В. А. Жилкин

почти параллельны, и поэтому с небольшой погрешностью можно считать, что во всех точках нормали n n векторы напряжений параллельны касательной к средней линии сечения. В то же время кручение пустотелого вала кольцевого сечения показывает, что при малой толщине стенки можно пренебречь изменением величины напряжений по толщине сечения.

Таким образом, можно считать, что при кручении тонкостенного бруса замкнутого контура касательные напряжения по толщине распределены равномерно и направлены по касательной к его средней линии.

Установим зависимость между напряжениями 1 и 2

вдвух его произвольных точках, если толщины сечений

вэтих точках 1 и 2 . Для этого двумя продольными сечениями, проходящими через рассматриваемые точки нормально

к контуру, и еще одним поперечным сечением выделим элемент бруса длиной dx. В силу свойства парности в проведен-

ных продольных сечениях будут действовать касательные

напряжения, равные 1 и 2 .

Условие равновесия X 0 системы сил, приложенных к элементу, приводит к уравнению

1 1dx 2 2dx 0 ,

из которого следует

1 1 2 2 .

Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то тем самым доказано, что произведение , называемое потоком касательных напряжений, является величиной постоянной для всего сечения:

const .

(9.46)

Так как

Mкр dF ,

F

где dF ds – элементарная касательная сила в сечении;

412

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

ds – момент этой силы относительно произвольно взятой точки O (рис. 9.25), то

		M						ds .
		KP
	Произведение ds								представляет
	собой удвоенную площадь треугольника
	с вершиной в точке O, основанием ds
	и высотой				(на рис. 9.25 треугольник
	заштрихован).							Интеграл	ds даёт
	удвоенную площадь фигуры, ограничен-
	ной средней линией сечения. Обозначим
Рис. 9.25	эту площадь через FКР. Тогда
		MKP 2FKP .
	Отсюда получаем расчетное уравнение для определе-
	ния при кручении тонкостенного бруса замкнутого контура:
				MKP			.		(9.47)
			2F
				KP

При постоянной толщине сечения во всех его точках одинаковы по величине. В сечении переменной толщины наибольшее действует там, где сечение тоньше:

		max	MK		.	(9.48)
			2FK min
	Угол закручивания					тонкостенно-
	го бруса в пределах упругих деформаций
	определим, приравняв работу внешних сил
	dA потенциальной энергии деформации dU.
	Выделим двумя поперечными сече-
	ниями элемент бруса длиной dx. Крутящие
	моменты в этих сечениях, являющиеся
	для выделенной части бруса внешними
Рис. 9.26	нагрузками, производят на угле закручи-
	вания d работу.

413

В. А. Жилкин

dA	2	(9.49)
	MKP d .

Так как удельная потенциальная энергия при деформации сдвига

u 2 ,

2G

то энергия, накопленная в элементарном объеме с площадью основания ds и высотой dx (рис. 9.26):

2 dsdx ,

2G

а энергия, накопленная во всей рассматриваемой части бруса:

dU 2 dsdx .

2G

Заменяя здесь его значением из выражения (9.47) и учитывая, что МКР, FКР, dx и G – величины постоянные при интегрировании по контуру сечения, получаем

dU	M2 dx			ds
	8FKP2	G		.	(9.50)
	KP

Приравнивая выражения (9.49) и (9.50), находим относительный угол закручивания тонкостенного бруса:

d MKP ds . dx 4FKP2 G

Введя обозначение

	JK	4F2		,
			KP
			ds

(9.51)

(9.52)

придадим выражению для такой же вид, как и при кручении бруса круглого сечения:

	MKP
	GJ .	(9.53)
	K

414