В. А. Жилкин

Итак, расчетная длина шва Lp 150 мм, проектная длина шва L 160 мм.

Расчетная длина фланговых швов с прорезанным швом Lp 89 мм.

9.2.Кручение50

9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один

50 Впервые кручение рассмотрел, по-видимому, Ш. Кулон (1736–1806) в связи с известными исследованиями по статическому электричеству. В весах, с помощью которых Кулон измерял силы взаимодействия электрических зарядов, в качестве чувствительного элемента использовалась работающая на кручение проволока, жесткость которой определялась по крутильным колебаниям подвешенного на ней металлического цилиндра. Результаты этих исследований были опубликованы в 1784 г.

Распределение касательных напряжений в сечении круглого бруса получил Т. Юнг (1807 г.).

Б. Сен-Венан на основе подхода теории упругости рассмотрел кручение брусьев некруглого сечения и дал метод определения для них моментов сопротивления и геометрических факторов жесткости (1853 г.). Теория кручения брусьев замкнутого тонкостенного сечения была создана немецким инженером Р. Бредтом в 1896 г.

384

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

внутренний силовой фактор – крутящий момент Мкр, а его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса (рис. 9.12, а)

Прямой брус, работающий на кручение, называют валом. Вызывается кручение парами сосредоточенных и распределенных вдоль оси вала сил, действующих в плоскостях,

перпендикулярных этой оси.

а

б

Рис. 9.12

Всоответствии с формулой (3.42) крутящий момент

внекотором сечении вала является равнодействующим

моментом касательных напряжений xy и xz , действующих в элементарных площадках dF (рис. 9.12, б), расположенных на расстоянии от центра сечения:

Mx xz y xy z dF .

F

Касательное напряжение xy направлено в отрицательном направлении оси y и в сумме с касательным на-

пряжением xz		образует полное касательное напряжение
в точке сечения бруса:
	x		2	2 .
			xy	xz
Величины составляющих этого касательного напряже-
ния равны: xy		x sin , xz x cos . Полное касательное

385

В. А. Жилкин

напряжение		x	перпендикулярно радиусу . Учитывая, что
y cos ,
	z sin , формулу (3.42)			можно переписать
в виде
	Mx cos2 sin2 x dF x dF .
			F	F

Обычно индекс x у полного касательного напряжения x опускают, и уравнение равновесия системы сил относительно оси x принимает вид

Mx Mкр dF	.	(9.14)
F

Уравнение (9.14) позволяет определить напряжения , если известен закон их распределения по сечению.

Кручение возникает во многих деталях машин и механизмов; валах двигателей и станков, приводных осях транспортных средств, винтовых пружинах и других элементах конструкций.

С точки зрения теории кручения все брусья делятся на три группы:

брусья круглого сечения; некруглого (прямоугольного, эллиптического, треугольного и т. д.) сечения; тонкостенного сечения.

Такая классификация вызвана различным характером деформации брусьев при кручении. Так, гипотеза плоских сечений, как показали опыты, применима лишь для брусьев круглого и кольцевого сечения. При кручении брусьев некруглых сечений поперечные сечения не остаются плоскими (говорят, что эти сечения депланируют), вследствие чего решение задачи весьма усложняется. Эти задачи рассматриваются в теории упругости, а в сопротивлении материалов приводятся лишь некоторые конечные результаты полученных решений. Тонкостенные брусья изучаются отдельно потому, что вне зависимости от очертания тонкостенность замкнутого сечения дает возможность ввести ряд упрощений, позволяющих решить задачу кручения таких брусьев методами сопротивления материалов.

386

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Если прямой брус находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, равна нулю.

При расчете валов в ряде случаев величины внешних скручивающих моментов определяются по величине потребляемой мощности и по скорости вращения вала. Если вал делает в минуту n оборотов, то угол поворота вала за один оборот, выраженный в радианах, равен 2 , за n оборотов – 2 n , и, следовательно, угловая скорость вала:

2 n n рад/с.

60 30

По определению, работа A пары сил Mкр:

A Mкрd ,

0

где – угол поворота вала. Если Mкр const , то

AMкр ,

атак как мощность N равна первой производной от работы A по времени t, то

NdAdt Mкр .

Откуда крутящий момент:
	M	кр		N	30N	.			(9.15)
					n
Если мощность N задана в киловаттах, то
	Mкр			30 103 N			9550 N	Н.м.	(9.16)
					n		n

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений. Величина крутящего момента находится из условия равновесия любой из отсеченных

387

В. А. Жилкин

частей бруса. Для этого необходимо приравнять нулю сумму моментов относительно продольной оси бруса.

Для удобства изображения крутящих моментов на плоском чертеже сосредоточенные пары представляют в виде двух кружков: кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком – силу, направленную от него (рис. 9.13, а).

При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эпюр Мкр необходимо приписывать определённый знак внешним моментам одного направления. Обычно момент от внешней пары, вращающей по ходу часовой стрелки (если смотреть на эту пару со стороны текущего сечения), считается положительным, а момент пары, вращающей против хода часовой стрелки, – отрицательным. При составлении уравнений равновесия для отсеченной части бруса крутящие моменты Мкр в рассматриваемом сечении всегда будем считать положительными.ЕсливрезультатерешенияуравненийравновесияМкр >0, то наше предположение о знаке момента было правильным, если же Мкр < 0, то это означает, что направление момента Мкр надо изменить на обратное. Положительные моменты на эпюре обычно откладывают вверх, а отрицательные – вниз.

б

в

а

г

Рис. 9.13

388