3. Гидростатика

В гидростатике рассматривается жидкость, находящаяся в общем случае в состоянии относительного покоя, т.е. при отсутствии взаимного перемещения отдельных ее частиц. При этом жидкость перемещается как твердое тело.

Частным случаем относительного покоя является «абсолютный» покой, под которым подразумевается покой относительно земли. Приведем несколько примеров.

1. Абсолютный покой – жидкость находится в покое в резервуаре, неподвижном относительно земли (рис. 3.1).

2. Относительный покой: а) жидкость находится в покое относительно железнодорожной цистерны, которая вместе с жидкостью движется прямолинейно с некоторым ускорением J (рис.3.2); б) жидкость находится в покое относительно резервуара, который вместе с жидкостью вращается с постоянной угловой скоростью  (рис.3.3).

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

На жидкость, находящуюся в относительном покое, действуют массовые силы (сила тяжести и сила инерции переносного движения), а из поверхностных сил - только силы давления.

3.1. Свойства гидростатического давления

Гидростатическое давление направлено всегда по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует (рис.3.4).

Доказательство ведется от обратного утверждения.

Рис.3.4

Рис.3.5

Рис. 3.6

Допустим, гидростатическое давление направлено не по нормали к площадке (рис.3.5). В этом случае его можно разложить на нормальную р_n и касательную составляющие . Появление касательной составляющей станет нарушением условия относительного покоя, т.е. частицы жидкости якобы будут перемещаться друг относительно друга.

Допустим, гидростатическое давление направлено по внешней нормали к площадке (рис.3.6). Это значило бы, что жидкость сопротивляется растягивающим усилиями, что нарушило бы принятую ранее аксиому.

Гидростатическое давление в любой точке покоящейся жидкости не зависит от направления площадки, для которой оно вычислено.

Рис. 3.7 Рис. 3.8

Проиллюстрируем это свойство. В жидкости на глубине h мысленно возьмем точку А (рис.3.7). Можно предположить, что давление в этой точке будет совершенно одинаковым для направления площадок 1-1, 2-2, 3-3 и т.д., проходящих через эту точку. Докажем это очевидное свойство.

Для этого в жидкости, находящейся в покое, разместим оси координат и выделим в этих осях элементарный объем в виде прямоугольного клина (рис.3.8), стороны граней которого по осям равны δх, δу, δz. Применим принцип отвердевания, т.е. мысленно представим, что бесконечно малый объем превратился в твердое тело. В этом случае при рассмотрении тела в покое можно применить законы механики твердого тела, т.е. если тело находится в равновесии (покое), то сумма проекций всех сил на соответствующие оси равна нулю, т.е. ΣP_x = 0, ΣP_y = 0, ΣP_z = 0.

На выделенный объем действуют массовая сила, вызванная ускорением J, проекции которого на соответствующие оси будут равны X, Y, Z, и поверхностные силы на соответствующие грани δP_х, δP_у, δP_z, δP_п. Направление грани с индексом «n» в системе координат взято произвольно.

Составим уравнение проекции сил на ось Х:

ΣР_х = δР_х - δР_п·cosα + ХδМ = 0. (3.1)

Ввиду малости размеров граней клина будем считать, что давление на каждую из них будет одинаковым и каким-то средним, тогда

.

Сократив на δу·δz, получим:

.

В пределе, когда размеры клина будут приближаться к нулю, р_{ср x} и р_{ср n} будут стремиться к значениям гидростатического давления в точке в направлениях оси Х-Р_х и наклонной грани n – P_n, и вследствие этого при переходе к пределу при δх = 0 получаем: р_х – р_n = 0 или р_х = р_n.

Составив уравнение проекции сил на оси y и z, найдем, что р_у = р_п; р_z = р_n, откуда

P_x = P_y = P_z = P_n.. (3.2)

Последнее равенствопоказывает, что гидростатическое давление в точке покоящейся жидкости имеет значение, не зависящее от направления площадки, для которой оно вычислено.

Но гидростатическое давление в различных точках не будет одинаковым. Для разных точек давление будет являться непрерывной функцией координат.