Глава 4
Интегральные уравнения
Мы начинаем данный раздел с одной из основ современного математического анализа – интеграл Лебега. Мы стараемся быстрее использовать интеграл Лебега для более конструктивного описания пополнения пространства непрерывных функций с интегральной метрикой и введения пространства Лебега. На его основе строятся затем пространства Соболева, без которых в свою очередь не мыслима теория краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Поскольку основные модели современного естествознания строятся с помощью именно в рамках теории дифференциальных уравнений в частных производных, то освоение интегрирования по Лебегу принципиально важно для современного специалиста по математике.
Вторая часть раздела посвящена теории интегральных уравнений (в том числе и в пространстве Лебега).
71
72 |
Глава 4. Интегральные уравнения |
4.1Интеграл Лебега. Пространства Лебега и Соболева
Канторово совершенное множество D строится следующим образом: из отрезка [0; 1] исключается интервал (13; 23); затем из оставшихся двух отрезков ("отрезков первого ранга") исключаются интервалы длины 1=32 с центрами в серединах этих отрезков, затем из оставшихся четырех отрезков ("отрезки второго ранга") выбрасываются интервалы длины 1=33 с центрами в серединах этих отрезков и т.д. до бесконечности. Множество D, оставшееся после исключения всех этих интервалов называют канторовым совершенным множеством. Точки канторова множества разделяют на точки первого рода – концы выбрасываемых интервалов (счетное множество) и точки второго рода (все остальные точки D – множество мощности континуум).
506.Доказать, что D нигде не плотно.
507.Доказать, что D совершенное множество (т.е. замкнутое и не содержит излированных точек).
508.Доказать, что D состоит из тех и только тех точек отрезка
[0; 1]; которые могут быть записаны в виде троичной дроби, не
содержащей единицы в числе своих троичных знаков.
509.Найти в D какую-либо точку первого рода, заключенную между десятичными дробями 0,1 и 0,2.
510.Найти в D какую-либо точку второго рода, заключенную
4.1. Интеграл Лебега. Пространства Лебега и Соболева |
73 |
между десятичными дробями 0,05 и 0,1.
В задачах 511-519 найти меру Лебега указанных множеств.
511.Множество всех рациональных чисел отрезка [0,1].
512.Множество всех иррациональных чисел отрезка [0,1].
513.Канторово совершенное множество D.
514.Множество тех точек отрезка [0,1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 4.
515.Множество тех точек отрезка [0,1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 5.
516.Множество точек отрезка [0,1] в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры от 1 до 9.
517.Множество тех чисел из отрезка [0,1], в десятичной записи которых цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.
518.Подмножество единичного квадрата на плоскости, состоящего из точек (x; y) таких, что j sin xj < 12; а cos(x + y)
иррационально.
519. Подмножество единичного квадрата на плоскости, состоящего из точек, декартовы и полярные координаты которых иррациональны.
В задачах 520-533 вычислить интегралы Лебега.
1
R
520. f(x)dx; где f(x) равна x2 в точках канторова множества и
0
равна 2 n на тех смежных интервалах, длина которых равна 3 n:
Интегрируема ли по Риману эта функция?
74 |
Глава 4. Интегральные уравнения |
1
R
521. f(x)dx; где
0
8 |
для всех иррациоальных x, больших, чем 31; |
|
>x2; |
||
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
< |
для всех иррациоальных x, меньших, чем 1 |
|
f(x) = x3; |
; |
|
>0; |
3 |
|
в рациональных точках: |
|
|
>
>
>
>
:
1
R
522. f(x)dx; где
0
8
>x2; в иррациоальных точках;
<
f(x) =
>
:1; в рациоальных точках:
Интегрируема ли по Риману эта функция?
1
R
523. f(x)dx; где
|
0 |
|
|
8sin x; |
для x 2 [0; 2) \ CD; |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
> |
|
|
1 |
|
|
|
f(x) = |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
> |
2 |
2 |
|
\ |
|
|
|
|
> |
|
|
||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
>cos x; |
для x [ ; 1] |
CD; |
||
|
|
|
|
>x2; |
для x 2 D; |
|
||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
где |
D |
– канторово |
множество, CD – его дополнение до отрезка |
|||||
|
|
: |
|
|
|
|
||
[0; 1]:
1
R
524. f(x)dx; где f(x) = 1 в точках канторова множества, а на
0
смежных интервалах графиком функции служат верхние
полуокружности, опирающиеся на эти интервалы как на диаметры.
1
R
525. f(x)dx; где f(x) равна x2 во всех точках пересечения
0
канторова множества и некоторого (даже и неизмеримого) множества E и равна x3 в остальных точках отрезка [0; 1]:
4.1. Интеграл Лебега. Пространства Лебега и Соболева |
75 |
|||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
526. |
+R0 |
e [x]dx. |
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
||
527. |
+R0 |
|
|
|
dx. |
|
|
[x + 1][x + 2] |
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
528. |
R0 |
|
|
dx. |
|
|
|
[x]! |
|
||||
2
R
529. f(x)dx; где
0
8
>sin x; если x рационально;
<
f(x) =
>
:cos x; если x иррационально:
2
R
530. f(x)dx; где
0
8
>sin x; если cos x рационально;
<
f(x) =
>sin2 x; если cos x иррационально:
:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
531. |
R0 f(x)dx; где |
8x2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 2 A; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f(x) = > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
2 |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>sin x; |
при x |
|
[0; 1] |
|
CA; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
при x 2 [1; 2] \ CA: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
>cos x; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
– множество |
алгебраических чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
532. |
1 |
|
|
где |
|
при |
|
2 |
|
|
|
|
|
вan + bn |
|
||||
R0 |
f(x)dx; |
f(x) = 0 |
x |
D; f(x) = 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
серединах |
||||||||||
|
an |
+ bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
n |
|
2 |
i |
||
смежных интервалах, f(x) линейна на участках |
|
a ; |
|
и |
|||||||||||||||
h |
|
|
2 |
|
; bni ; где an; bn – n-ый смежный интервал канторова |
||||||||||||||
множества. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
76 |
Глава 4. Интегральные уравнения |
RR
533.f(x; y) dxdy, где M – квадрат 0 x 1; 0 y 1; а
M
функция
8
>1; если xy иррационально;
<
f(x; y) =
>
:0; если xy рационально:
534. Доказать, что функция f, определенная и ограниченная на множестве E нулевой меры, интегрируема по Лебегу на E и
R
f(x) dx = 0:
E
535.Доказать, что функция f, интегрируемая на отрезке по Риману, интегрируема по Лебегу на этом отрезке, причем оба интеграла равны.
536.Привести пример функции x(t) такой, что x(t) 2 L2[0; 1] и
x2(t) * L2[0; 1]:
537. Привести пример функции x(t) такой, что x(t) 2 L1[0; 1] и
x(t) * L2[0; 1]:
538.Доказать, что последовательность xn(t) = n2te nt сходится поточечно к функции x(t) 0 для любого t 0; но не сходится в пространстве L2[0; 1]:
539.Доказать, что всякая последовательность xn(t), сходящаяся в пространстве C[a; b]; будет сходящейся и в пространстве
Lp[a; b] (p 1):
540.Привести пример последовательности непрерывных на [0,1] функций xn(t); сходящейся в пространствах L1[0; 1] и L2[0; 1]; но не сходящейся в пространстве C[0; 1]:
541.В пространстве L2[0; 1] рассмотрим множество M функций,
4.1. Интеграл Лебега. Пространства Лебега и Соболева |
77 |
обращающихся в нуль на некотором интервале, содержащем точку t = 0; 5 (и зависящем, вообще говоря, от функции). Будет ли M
замкнутым множеством?
542. Доказать, что множество функций из пространства L2[0; 1]
таких, что почти все их значения лежат на [ 1; 1], выпукло. Является ли это множество замкнутым?
543. Пусть [c; d] [a; b]: Рассмотрим множество
M = fx(t) 2 L2[a; b] : x(t) = 0 почти всюду на [a; b]g:
Является ли M подпространством пространства L2[a; b]?
544.Какие из функций x(t) = sgn t; y(t) = jtj принадлежат пространству H1[ 1; 1]?
545.Обозначим через fn(x) функцию, значение в каждой точке
x 2 [0; 1] равно n-му знаку в разложении числа x в бесконечную двоичную дробь. Доказать, что fn(x) 2 L2[0; 1] при любом
n 2 N: Найти jjfnjj и (fi; fj):
546. Обозначим через 'n(x) функцию, определенную на отрезке [0,1] следующим образом: если на n-ом месте в двоичном разложении точки x в бесконечную двоичную дробь стоит 1, то
'n(x) = 1, а если на n-ом месте стоит 0, то 'n(x) = 1:
Доказать, что система функций f'1; '2; : : : ; 'n; : : :g
ортонормирована на отрезке [0,1].
547. Доказать, что система функций
|
2 n(t a) |
2 n(t a) |
||
1; sin |
|
; cos |
|
; n 2 N |
|
b a |
b a |
||
ортогональна в пространстве H1[a; b]:
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4. Интегральные уравнения |
548. Доказать, что система функций |
||||||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
cos nx; n 2 N |
|||||
|
p |
|
; |
|
p |
|
sin nx; |
p |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
ортонормирована в пространстве L2[ ; ]:
549. Доказать, что система функций
1; cos mx; sin mx; cos ny; sin ny; cos mx cos ny; sin mx cos ny;
cos mx sin ny; sin mx sin ny; (m; n 2 N)
образует ортогональную систему в пространстве
L2([ ; ] [ ; ]):
550. Разложить в двойной ряд Фурье функцию f(x; y) = xy
a) |
в пространстве L2([ ; ] [ ; ]), |
б) |
в пространстве L2([0; 2 ] [0; 2 ]): |
551. Что можно сказать о коэффициентах Фурье функции
f(x) 2 L2[0; 1]; если известно, что: a) f(x) = f(1 x),
б) f(x) = f(1 x)?
552. Выразить в терминах коэффициентов Фурье следующие
свойства функций f(x) 2 L2[0; 1] : a) f(x + 12) = f(x),
б) f(x + k1) = f(x):
При каких k 2 Z существуют ненулевые функции, обладающие этим свойством?
В задачах 553-555 найти суммы рядов