14 Глава 1. Метрические пространства

38. Найти расстояние между функциями x(t) = t2 и

y(t) = 2t + 3 в пространствах:

a) C[0; 7]; б) L1[0; 7]; в) C1[0; 7]:

2

2

2

39. Указать какой-eнибудь (отличный от константы) элемент,

находящийся на расстоянии 3 от x(t) 0 в пространствах:

a) C[ 1; 1]; б)

C2[0; 4]; в) L2[0; 1]; г) L1[ 1; 0]:

40. Найти расстояние между

последовательностями

e

e

x = (1; 1

; : : : ;

1

; : : :) и y = (1;

1; : : : ;

1

; : : :) в

2

n

1

n

2

2

4

2

пространствах:

a) `2;

б) `1;

в) M.

1.2Сходимость в метрических пространствах

Выяснить сходится ли последовательность функций xn(t) в указанном пространстве.

41. xn(t) = t2n				в		C[0; 1]
									2
42. xn(t) = t2n				в		C[0; 1].
43. xn(t) = tn tn+1								в	C[0; 1].
44. xn(t) = tn tn+1								в	C[1; 2].
45. xn(t) = tn t2n						в			C[0; 1].
46. xn(t) =				1					в	C[0; 1].
	t	2	+ nt + 1
47. xn(t) = sin2n t +						1			в	C[0; ].
						2
						n
			2n			1			в	C[ ; ], где 0 < < .
48. xn(t) = sin				t +
						n2
49. xn(t) =	sin nt				в C[ A; A].
			n

1.2. Сходимость в метрических пространствах

15

50. xn(t) =

1

в

C[0; 4].

2 (t2 1)n

51. xn(t) = 1 (1 t2)n

в C[ p

; p

2

2].

52. xn(t) = nt2e nt

в

C[0; 2].

53. xn(t) =

tn+1

tn+2

в

C[0; 1].

n + 1

n + 2

54. xn(t) =

tn+1

tn+2

в

1

[0; 1].

C

n + 1

n + 2

55. xn(t) = t

n

n

n+1

в

1

[0; 1].

t

C

n + 1

56. xn(t) =

sin nt

в

L2[0; ].

n

57. xn(t) =

cos nt

в

L

;

].

n

e

1[0

nt

t

58. xn(t) =

tg

e

в

L1[0;

4 ].

1 + n2t2

n

(t)

59. Доказать, что сходимость

последовательности функций x

e

n

в пространстве C[a; b] равносильна равномерной сходимости

последовательности xn(t) на отрезке [a; b].

60. Показать, что последовательность функций xn(t) = tn

сходится к функции x0(t) 0 в пространстве Le1[0; 1]. Сходится

ли xn(a) к x0(a) для любого a 2 [0; 1]?

61. Показать, что последовательность функций xn(t) = 2nte nt2

в каждой точке отрезка [0; 1] сходится к функции x0(t) 0:

Сходится ли xn(t) к x0(t) по метрике пространства Le1[0; 1]?

62. Показать, что последовательность функций

8

<

>nt; при 0 t 1 ;

xn(t) =

n

:

>1; при 1 t 1

n

сходится к функции x0(t) 1 в пространстве Le1[0; 1]. Однако

xn(t) не сходится к x0(t) в пространстве C[0; 1].

16

Глава 1. Метрические пространства

63. Дана последовательность числовых последовательностей

x(1) = (1;

1

1

;

; : : :);

2

4

1

1

1

x(2) = (

;

;

; : : :);

2

4

8

1

1

1

x(n) = (

;

;

; : : :);

2n 1

2n

2n+1

Выяснить, сходится ли она

а) покоординатно, б) в `2,

в) в `1,

г) в M?

64. Найти предел последовательности

1

1

1

x(n) = (

;

;

; : : :)

n

n2

n3

в пространстве `1:

65. Доказать, что сходимость в пространствах Rnp (1 p 1)

эквивалента покоординатной сходимости.

66. Доказать, что из сходимости последовательности x(n) к точке x пространства `2 вытекает покоординатная сходимость x(n) к x.

67. В пространстве `2 задана последовательность

x(n) = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : :). Доказать, что x(n) не сходится в `2 и в

тоже	|		{z		}
			n
	время x(n) сходится покоординатно.

Привести пример последовательности x(n) = (x(1n); x(2n); : : :); которая принадлежала бы каждому из рассматриваемой пары пространств и:

1.3.	Открытые и замкнутые множества	17
68.	Сходилась в M, но не сходилась в `1.
69.	Сходилась в M, но не сходилась в `2.
70.	Сходилась в `2, но не сходилась в `1.
71.	Сходилась в M0, но не сходилась в `1.
72.	Сходилась в M0, но не сходилась в `2.

1.3 Открытые и замкнутые множества

73.	Принадлежит ли открытому шару радиуса 1 с центром в точке
O = (0; 0; : : :) точка x = ( 21; 41; 81;		1	; : : : ;	( 21)n n		; : : :) в
		16
пространстве:
a)	`1; б) `2?
74.	Указать какой-нибудь элемент пространства L1[ 1; 1];
принадлежащий открытому шару радиуса 1/4 с					центром
					e

x0(t) = t2:

В множестве X всевозможных последовательностей натуральных чисел для элементов x = (n1; n2; : : : ; nk; : : :) и

y = (m1; m2; : : : ; mk; : : :) обозначим через K0(x; y)

наименьший индекс, при котором nk 6= mk: Введем на X метрику по формуле:

(x; y) =	8K0		(x;y); при x 6= y;
	>		1
	<

>

:0; при x = y:

Проверить выполнение аксиом метрики в (X; ):

18	Глава 1. Метрические пространства

75.Доказать, что в (X; ) аксиома треугольника выполняется в усиленной форме: (x; y) maxf (x; z); (z; y)g:

76.Доказать, что в (X; ) любой открытый шар Br(x) является одновременно замкнутым множеством.

77.Доказать, что в (X; ) Br(y) = Br(x) для всех y 2 Br(x).

78.Доказать, что в (X; ) любой замкнутый шар является одновременно открытым множеством.

79.Доказать, что в (X; ) Br(y) = Br(x) для всех y 2 Br(x):

80.Доказать, что если в (X; ) два шара имеют общую точку, то один из них содержится в другом.

81.Доказать, что в (X; ) расстояние между двумя различными открытыми шарами радиуса R, содержащимися в замкнутом шаре радиуса R, равно R.

82.Доказать, что в произвольном метрическом пространстве открытый шар Br(x0) – открытое множество.

83.Доказать, что замкнутый шар Br(x0) – замкнутое множество.

84.Доказать, что замыкание открытого шара Br(x0) лежит в замкнутом шаре Br(x0). Возможно ли при этом, что

Br(x0) 6= Br(x0)?

85. В пространстве R2 привести пример двух замкнутых множеств

A и B таких, что (A; B) = 0 и A \ B = ?.

86. Пусть x – произвольная точка, A – произвольное множество в некотором метрическом пространстве. Доказать, что

(x; A) = (x; A):

1.3. Открытые и замкнутые множества

19

87. Доказать, что множество многочленов в пространстве C[a; b]

не является ни замкнутым, ни открытым.

Коротко поясним, например, что данное множество не является замкнутым. Пусть P – множество всех полиномов. Возьмем функцию '(x) из пространства C[a; b] такую, что '(x) 2= P . Найдется такая последовательность многочленов Pn(x), что

Pn ! '. Так как предел последовательности Pn не принадлежит пространству P получаем, что множество многочленов не замкнуто в пространстве C[a; b].

88. Является ли замкнутым множество непрерывных функций x(t) таких, что x(0) = 0 в пространстве C[ 1; 1]?

89. Гильбертовым кирпичом K называют множество точек

x = (x1; x2; : : : ; xk; : : :) 2 `2;

у которых jxkj 1=2k (k = 1; 2; : : :): Доказать, что K –

ограниченное, замкнутое множество.

90. Изобразить в пространстве R21 "отрезок", соединяющий точки

A( 1; 0) и B(1; 0). Отрезком с концами A и B назовем множество, состоящее из таких точек C, что

(A; C) + (C; B) = (A; B).

91. Изобразить в пространстве R21 отрезок, соединяющий точки

A( 1; 1) и B(1; 1).

92. Является ли замкнутым в пространстве `1 множество M,