Глава 3
Линейные операторы в пространствах Банаха
Мы переходим к более сложной и современной части нашего курса. Именно, этот и следующий раздел посвящены одному из основных вопросов анализа – разрешимости (операторных) уравнений. В данном разделе мы попробуем осветить все основные свойства линейных операторов, которые потребуются нам в разделе 4 при изучении уравнений в пространствах Гильберта.
Одно из совершенно новых понятий здесь – "замкнутый оператор", использование которого уже стало почти классикой анализа XX столетия.
54
3.1. Линейные операторы: основные определения |
55 |
3.1Линейные операторы: основные определения
Выяснить, является ли данный оператор A линейным.
369.A: R ! R, Ax = ax + b.
370.A: `2 ! `2, Ax = (x1 + 2x2; x2; x3; x4; : : : ).
b
R
371. A: C[a; b] ! C[a; b], Ax(t) = x(s) sin st ds + x(0).
a
372. A: C[a; b] ! C[a; b], Ax(t) = x2(t).
373.A: C[a; b] ! C[a; b], Ax(t) = x(t) + t2.
Выяснить, является ли данный оператор ограниченным.
374.A: R ! R, Ax = sin x.
8
>
>
>sin x; x 6= 0;
375. A: R ! R, Ax =
< x
>
>
> 1; x = 0:
:
376.A: `2 ! `1, Ax = x.
377.A: `21 ! R2, Ax = x.
378.A: L ! C1[0; 1], где L – подпространство
непрерывно-дифферцируемых функций в пространстве C[0; 1],
Ax = x.
3.2Линейные компактные операторы
В заданиях 379-383 выяснить является ли оператор
A : C[0; 1] ! C[0; 1] компактным.
379. Ax(t) = tx(t).
56 |
Глава 3. Линейные операторы в пространствах Банаха |
t
R
380. Ax(t) = x( ) d .
0
381. Ax(t) = x(0) + tx(t).
1
382. Ax(t) = R etsx(s) ds.
0
383.Ax(t) = x(t2).
384.Будет ли компактным оператор A : C[ 1; 1] ! C[ 1; 1]
1
Ax(t) = [x(t) + x( t)]? 2
385. При каком условии на функцию '(t) 2 C[0; 1] оператор
A : C[0; 1] ! C[0; 1];
Ax(t) = '(t)x(t);
будет компактным?
386. Оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1] определяется равенством
Z 1 n
X
Ax(t) = K(t; s)x(s) ds + 'k(t)x(tk);
0 k=1
где K(t; s) непрерывна при
0 s; t 1; 'k(t) 2 C[0; 1]; tk 2 C[0; 1] для
k = 1; 2; : : : ; n. Доказать, что A – компактный оператор.
В задачах 387-389 выяснить будет ли компактным оператор
Ax(t) = dx=dt, в рассматриваемых пространствах.
387.A : C1[0; 1] ! C[0; 1].
388.A : C2[0; 1] ! C1[0; 1].
389.A : C2[0; 1] ! C[0; 1].
3.2. Линейные компактные операторы |
57 |
390. Доказать, что оператор A : L2[a; b] ! L2[a; b];
Z t
Ax(t) = x( )d ;
0
компактный.
В задачах 391-393 выяснить какие из следующих операторов, определенных для x = (x1; x2; : : :) 2 `2 с областью значения в
`2, компактны.
391.Ax = (0; x1; x2; : : :).
392.Bx = (x1; x22 ; x33 ; : : :).
393.Cx = (0; x1; x22 ; x33 ; : : :).
В задачах 394-396 проверить будет ли компактным оператор вложения.
394. |
J : C1[a; b] ! C[a; b]; |
Jx = x. |
395. |
J : H1[a; b] ! C[a; b]; |
Jx = x. |
396.J : `1 ! `2; Jx = x.
397.Будет ли компактным оператор A : H1[a; b] ! L2[a; b]
dx Ax(t) = ?
dt
398. В пространстве L2[a; b] рассмотрим оператор
Ax(t) = d2t=dx2 с областью определения D(A), состоящей из дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям x(0) = x(1) = 0.
58 |
Глава 3. Линейные операторы в пространствах Банаха |
Доказать, что оператор A 1 существует, найти его и доказать, что он компактный.
399. Пусть en (n 2 N) – ортонормированный базис гильбертова пространства H; n 2 R (n 2 N); n ! 0 (n ! 1). Для
x 2 H положим
1
X
Ax = n(x; en)en:
n=1
Доказать, что оператор A определен на всем H, переводит его в себя и является компактным.
400. Пусть H – гильбертово пространство, A 2 L(H). Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:
а) если xn; x; yn; y 2 H (n 2 N) и xn ! x (n ! 1) слабо, yn ! y (n ! 1) слабо, то (Axn; yn) ! (Ax; y) (n ! 1); б) если xn; x 2 H (n 2 N); xn ! x (n ! 1) слабо, то
Axn ! Ax (n ! 1);
в) A 2 (H).
401.Пусть H – гильбертово пространство, A 2 (H). Доказать, что образ единичного замкнутого шара – компактное множество.
402.Может ли компактный оператор иметь:
а) ограниченный обратный; б) ограниченный правый обратный; в) правый обратный?
403. Может ли оператор A : C[0; 1] ! C[0; 1],
Z 1
Ax(t) = K(s; t)x(t) dt;
0