4.2. Интегральные уравнения

79

553.1 cos2!2x + cos4!4x : : :

554.sin1 2x sin2 32x + sin3 43x : : :

555.	2 cos 2x		3 cos 3x	+ : : : +	( 1)nn cos nx	+ : : :
	3		8		n2 1

4.2Интегральные уравнения

В пространстве C[a; b] найти решение интегрального уравнения

4

R

556. x(t) tgsx(s)ds = 1.

4

1

557. x(t) R t(1 + s)x(s)ds = t2.

0

1

R

558. x(t) (1 + ts)x(s)ds = sin t.

1
R1
559. x(t) cos(t + s)x(s)ds = 1.
0
R					2t
560. x(t) x(s) arccos sds =	p		1			.
		1			t2
0
R				.
561. x(t) (sin s + s cos t)ds = 1
0

R

562. x(t) sin(t 2s)x(s)ds = cos 2t.

0

1

563. x(t) R (st s2t2)x(s)ds = t2 + t4.

1

1

564. x(t) R (3t + st 5s2t2)x(s)ds = s.

1

1

565. x(t) R stx(s)ds = t2 + t + .

1

В пространстве C[a; b] найти характеристические числа n и собственные функции 'n для уравнений

2

R

566. x(t) sin(t + s)x(s)ds = 0.

0

80	Глава 4. Интегральные уравнения

R

567. x(t) cos(t + s)x(s)ds = 0.

0

1

568. x(t) R (2st 4t2)x(s)ds = 0.

0

1

569. x(t) R (st + s2t2)x(s)ds = 0.

1

1

570.x(t) R ( P 2 n sin nt sin ns)x(s)ds = 0.

0 n=1

1

R

571. x(t) K(t; s)x(s)ds = 0, где

0

8

>t; при 0 t s 1;

<

K(t; s) =

>s; при 0 s t 1:

:

2

R

572. x(t) K(t; s)x(s)ds = 0, где

0

8

<

>sin t cos s; при 0 t s ;

K(t; s) = 2

:

>sin s cos t; при 0 s t :

2

1

R

573. x(t) K(t; s)x(s)ds = 0, где

0

8

>s(t + 1); при 0 t s 1;

<

K(t; s) =

>t(s + 1); при 0 s t 1:

:

1

574. x(t) R ejt sjx(s)ds = 0.

0

1

R

575. x(t) K(t; s)x(s)ds = 0, где

0

8

> t 1; при 0 t s;

<

K(t; s) =

> s 1; при s t 1:

:

4.2. Интегральные уравнения

81

Решить интегральные уравнения, сведя их предварительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям

	t
576. x(t) = et +tR0 x(s)ds.
577. x(t) = 1 + R0 sx(st)ds.
1		+ R0 sin(t		t s)x(s)ds.
578. x(t) =
	1 + t2
579. x(t) = e t cos t R cos te (t s)x(s)ds.
			0
				t
580. x(t) = 4et + 3t 4 R (t s)x(s)ds.
				0
		t
581. x(t) = t 1 + R (t s)x(s)ds.
0
		1 t		2
582. x(t) = sin t +t2R0			(t s)		x(s)ds.
583. x(t) = cht R sh(t s)x(s)ds.
0
	t
584. x(t) = t + R (4 sin(t s) t + s)x(s)ds.
0
	t
585. x(t) = 1 + R ((t s)2 (t s))x(s)ds.
0

Метод последовательных приближений применительно к линейному интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода

	t
(4.2.1)	x(t) = f(t) + Za K(t; s)x(s)ds

заключается в следующем. Строится последовательность функций x0(t); x1(t); :::; xn(t); :::; где нулевое приближение x0(t) – произвольная функция, а последующие приближения определяются с по-

82 Глава 4. Интегральные уравнения

мощью рекуррентного соотношения

t

Z

xn(t) = f(t) + K(t; s)xn 1(s)ds; n = 1; 2; :::

a

Если ядро K(t; s) и свободный член f(t) непрерывны соответственно при a t b; a s t и на отрезке [a; b], то построенная таким образом последовательность приближений xn(t); n = 0; 1; 2; ::: при n ! 1 сходится к единственному непрерывному решению интегрального уравнения. Обычно полагают x0(t) = f(t).

В отличие от уравнения (4.2.1), существование и единственность решения уравнения Фредгольма 2-го рода

	b
(4.2.2)	x(t) Za K(t; s)x(s)ds = f(t)

существенно зависят от значения параметра . Можно показать, что если удовлетворяет условию

(4.2.3)	j j <	0 b b	jK(t; s)j2 dtds1 1=2	;
		Z Z	A
		@ a a

то уравнение (4.2.2) имеет единственное решение в пространстве

L2[a; b] (непрерывное, если непрерывна K(s; t) и f(t)), которое может быть найдено методом последовательных приближений подобно тому как это делается для уравнения (4.2.1).

Методом последовательных приближений найти решения следующих интегральных уравнений в L2[a; b] (в случае

cos2 sx(s)ds = 1.

4.2. Интегральные уравнения

83

уравнения Фредгольма 2-го рода, предварительно убедившись, что выполнено условие (4.2.3)

	t
586. x(t) = 12+ R0 x(s)tds;		x0(t) 0.
t	Rt		x0(t) 1.
587. x(t) = 2 + t x(s)ds;
	0
588. x(t) = 1	tt2 + R0 tx(s)ds;		x0(t) 1 t2.
589. x(t) = 1	Rt	x0(t) 1.
	+ tx(s)ds;
	0
590. x(t) = 1	+ R sx(s)ds;	x0(t) 1.
	0

1

R

591. x(t) tsx(s)ds = 2t.

0

592. x(t) + 1 R

0

1

593. x(t) = R (1 t) sin 2 sx(s)ds + 12(1 t).

0

594. x(t) 21 R sin tx(s)ds = 2 sin t.

0

595. x(t) + 21 R (cos(t + s) + cos(t s))x(s)ds = cos t.

0

596. Рассмотрим оператор A : L2[0; 1] ! L2[0; 1];

Z 1

Ax(s) = ejs tjx(t) dt;

	0
и уравнение
(4.2.4)	Au = f:
Доказать, что A = A и
	A Ax(s) = Z 1	K(s; t)x(t)dt;

0