2.7. Сопряженные пространства |
45 |
294.L = f(x; y) 2 R2 : y = 3xg; fL = 5x.
295.L = f(x; y) 2 R2 : x = 3yg; fL = 4x.
296.L = f(x; y; z) 2 R3 : x = y = zg; fL = x.
297.L = f(x; y; z) 2 R3 : x = 2y = 2zg; fL = 3z.
298.L = f(x; y; z) 2 R3 : 2x = y = zg; fL = x y.
299.L = f(x; y; z) 2 R3 : x y + z = 0g; fL = x.
300.L = f(x; y; z) 2 R3 : x + y z = 0g; fL = y + z.
301.L = f(x; y; z) 2 R3 : x + y 2z = 0g; fL = x y.
302.L = f(x; y; z) 2 R3 : x 3y = 0g; fL = x + y.
303.В пространстве C[0; 1] на подпространстве L, состоящем из функций вида x(t) = (1 2t); 2 R, рассмотрим функционал
f : x(t) ! . Найти норму функционала f и построить два различных продолжения f с L на все пространство C[0; 1] с
сохранением нормы.
304. Доказать, что если линейные функционалы f1 и f2
совпадают на некоторой гиперплоскости, не проходящей через ноль, то они совпадают всюду.
305. Доказать, что если X – бесконечномерное нормированное пространство, то на нем существует разрывный функционал.
2.7Сопряженные пространства
306. Доказать, что при p > 1; (`p) = `q; p1 + q1 = 1, т.е. что
всякий непрерывный линейный функционал в пространстве `p при
46 Глава 2. Нормированные пространства и функционалы
1 < p < 1 имеет вид
1
X
hx; fi = xnyn;
n=1
где x = (x1; x2; : : :) 2 `p; y = (y1; y2; : : :) 2 `q; p1 + q1 = 1 и k f k=k y k`q .
307. Доказать, что (M0) = `1, т.е. что всякий непрерывный линейный функционал в пространстве M0 имеет вид
1
X
hx; fi = xnyn;
n=1
где x = (x1; x2; : : :) 2 c0; y = (y1; y2; : : :) 2 `1 и
k f k=k y k`1 .
308. Доказать, что (`1) = M, т.е. что всякий непрерывный линейный функционал в пространстве `1 имеет вид
1
X
hx; fi = xnyn;
n=1
где x = (x1; x2; : : :) 2 `1; y = (y1; y2; : : :) 2 m и k f k=k y kM.
2.8Слабая сходимость
309. Пусть X – линейное нормированное пространство, fn; f 2 X (n 2 N) и fn ! f (n ! 1): Доказать, что fn ! f (n ! 1) – слабо.
310. Пусть H – гильбертово пространство,
xn; x 2 H (n 2 N); xn ! x (n ! 1) слабо и k xn k!k x k. Доказать, что xn ! x (n ! 1).
2.8. Слабая сходимость |
47 |
311. В пространстве `2 для x = ( x1 ; x2 ; |
: : : ) 2 `2 положим |
< x; f >= xn: |
|
Доказать, что fn ! 0 (n ! 1) – слабо. Верно ли, что fn ! 0?
312. Для x(t) 2 L2[ 1; 1] положим
1
Z
< x; fn >= x(t) cos nt dt:
1
а) Доказать, что f(n) – ограниченный функционал, и найти ||f(n)||.
б) Доказать, что f(n) ! 0 (n ! 1) - слабо. в) Верно ли, что f(n) ! 0 (n ! 1)?
313.Для x(t) 2 C1[ 1; 1] положим
<x; f" > = 21" x(") x( ") ;
<x; f0 > = x0(0);
где " 2 Rnf0g, j"j < 1.
а) Доказать, что f" и f0 – непрерывные линейные функционалы, и найти jjf"jj, jjf0jj.
б) Доказать, что f" ! f0 (" ! 0) - слабо. в) Верно ли, что f" ! f0 (" ! 0)?
314. Пусть X – линейное нормированное пространство, f 2 X , f 6= 0. Рассмотрим в X гиперплоскость
L = fx 2 X : < x; f >= 1g:
48 Глава 2. Нормированные пространства и функционалы
Доказать,что |
|
|
|
|
|
|
kfk = |
|
|
1 |
|
|
: |
|
|
|
||||
inf |
X |
|
||||
|
x |
2 |
L k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
315. Пусть X – линейное нормированное пространство, f 2 X ,
L = N(f). Доказать, что для любого x 2 X
j < x; f > j
(x; L) = : kfk
2.9Обобщенные функции
316. Пусть ' 2 D. Выяснить, есть ли среди последовательностей
а) f'(x)=kg; б) f'(kx)=kg; в) f'(x=k)=kg; где k = 1; 2; : : :
сходящиеся в D?
317. Пусть непрерывная функция f(x) финитна: f(x) = 0, jxj > R. Показать, что функция
Z
f"(x) = !"(x y)dy; (" < R)
основная, причем f"(x) = 0, jxj > R + " и направленность ff"g
сходится к f в D. Здесь и далее !" – стандартная "шапочка":
8
>
>
>
<
0; jxj ";
!"(x) =
>1
>
>: e"2 x2 ; jxj < ":
318. Показать, что '1 2 D(R) есть производная от некоторой другой функции '2 2 D(R) тогда и только тогда, когда
Z 1
'1(x)dx = 0:
1
2.9. Обобщенные функции |
49 |
319. Доказать, что SR ! 0, R ! 1 в D0, где
Z
< SR; >= (x) ds(x);
SR
а SR – сфера с центром в нуле радиуса R.
В заданиях 320-321 вычислить пределы в D0(R) при " ! +0:
320.
8
>
>
> 1 ; jxj ";
< 2"
f"(x) =
>
>
> 0; jxj ":
:
321.
"
(x2 + "2):
322. Доказать, что следующий ряд
1
X
ak (x k)
k=1
сходится в D0 при любых ak.
В заданиях 323-325 доказать, что
323.(x) (x) = (0) (x), 2 C1(R).
324.xPx1 = 1.
1 |
1 |
; >= v:p: R |
(x) dx |
|
325. xmPx |
= xm 1, где < Px |
|
. |
|
x |
В заданиях 326-329 показать, что в D0(R) мы имеем:
50 |
Глава 2. Нормированные пространства и функционалы |
326.(x) 0(x) = 0(0) 0(x) + (0) 0(x).
327.x (m)(x) = m (m 1)(x) ; m 2 N.
328.xm (m)(x) = ( 1)mm! (x) ; m 2 N.
329.xk (m)(x) = 0 ; m = 0; : : : ; k 1.
330.Пусть – функция Хэвисайда. Показать, что 0 = .
331.Показать, что ( )0 = (0) + (x) (x), где 2 C1(R).
В заданиях 332-342 вычислить
332.0( x).
333.(m)(x x0); m 1 – целое.
334.(m)(x0 x); m 1.
335.(sign(x))(m); m 1.
336.(xsign(x))0.
337.(jxj)(m); m 2.
338.( (x)xm+k)(m); m 1; k = 0; 1; 2; : : :.
339.( (x)xm k)(m); m 1; k = 1; : : : ; m.
340.( (x) sin x)0.
341.( (x) cos x)0.
342.( (x)eax)(m); m 1.
В заданиях 343-344 вычислить производные функций до третьего порядка включительно
343.y = jxj cos x.
344.y = jxj sin x.
2.9. Обобщенные функции |
51 |
В заданиях 345-348 вычислить производные f(m) функций
345.(a jxj), a > 0.
346.[x].
347.sign sin x.
348.sign cos x.
В заданиях 349-356 вычислить производные функций.
349.
8
>
>
> sin x; x 0;
<
f(x) =
>
>
> 0; x < 0:
:
350.
8
>
>
> cos x; x 0;
<
f(x) =
>
>
> 0; x < 0:
:
351.
8
>
>> x2 1 x 1;
<
f(x) =
>
>
> 0;
:
352.
8
>
>> x2
<
f(x) =
jxj > 1:
1 x 1;
>
>
> 0; jxj > 1:
:
52 |
Глава 2. Нормированные пространства и функционалы |
353.
8
>
>
> 0;
>
>
>
>
>
<
f(x) = |
2 |
|
(x + 1) |
>
>
>
>
>
>
>
> x2 + 1;
:
354.
8
>
>
> x2;
>
>
>
>
>
<
x < 1;
1 x 0;
jxj 0:
x < 0;
f(x) = |
(x 2) |
2 |
1 |
x |
2; |
> |
|
||||
0; |
|
x > 2: |
|
||
>
>
>
>
>
>
>
:
355.
8
>
>
> sin x; x ;
<
f(x) =
>
>
> 0; jxj > :
:
356.
8
>
>
> j sin xj; x ;
<
f(x) =
>
>
> 0; jxj > :
:
В задачах 357-368 найти общие решения уравнения в D(R).
357.xy = 1:
358.(x 1)y = 0:
359.y0 = 0:
2.9. Обобщенные функции |
53 |
360.y(m) = 0:
361.xny = 1:
362.cos xy = 0:
363.xy0 = 1:
364.x2y0 = 0:
365.x2y0 = 1:
366.y00 = (x):
367.(x + 1)2y00 = 0: 368.(x + 1)y000 = 0: