Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

касательные напряжения η1

,

относительный угол закручивания θ

и угол

max

1

закручивания участка θ1

принимают значения:

1

0,045 103 16

Mкр1 MС 0,045

кН·м;

η1max

Mкр

14,7МПа;

W 1

0,0253

ρ

M 1

0,045 32 10

3

180

θ

кр

0,8420 /м;

1

0,8 1011 0,025 4

G Iρ1

l

M 1

M 1

l

θ

кр

d z

кр

l 0,842 0,16 0,135

0,140.

1

G I

1

GI

1

1

ρ 1

ρ 1

0

2-й участок, 0 z2

12=0,18м. В текущем сечении участка (рис. 3.10, б),

удалѐнном от его начала на расстоянии z2,

крутящий

момент

Mкр 2 ,

касательные напряжения ηmax 2 ,

относительный угол закручивания θ2

и угол

закручивания участка θ2

получают значения:

Mкр 2 МС + M m2 z2 0,045- 0,42 +1,3 z2

0,375+1,3 z2 ,

при z

2

0

0,375 кН м; при z

0,18м

0,141кН м;

2

ηmax 2

M

кр 2

( 0,375 +1,3 z2 ) 16

при z2

0

ηmax 2 30МПа;

Wρ 2

0,043

(1

0,34 )

при z2

0,18м

ηmax 2 11,3МПа;

θ

Mêð 2

0,375 1,3 z2 32 103

180

( 1,08 3,74 z

) ,

2

G Iρ 2

0,8 1011 0,044 (1 0,34 )

2

при z2 0

θ 2 1,08°/м;

при z2

0,18м

θ 2 0,41°/м;

l2

Mкр 2

0,18

0,375 +1,3 z2 32 103

180

θ

d z

d z

0,14 .

2

G I

2

0,8 1011 0,044

(1 0,34 )

2

ρ 2

0

0

Определим углы поворота характерных сечений

A ,

B и

C .

Так как

точка A находится в заделке, то A 0 ;

111

θ B =Δθ 2 0,14 ; θ В =Δθ 1 +Δθ 2 0,140 ( 0,140 ) 0 ,

как следовало ожидать, угол поворота в заделке В равен нулю.

По полученным значениям построим эпюры изменения по длине вала крутящих моментов M êð , касательных напряжений ηmax, относительных углов закручивания θ и абсолютных углов поворота θ сечений (рис. 3.8, в, г, д, е).

2 и 3. Проверка прочности и жѐсткости вала

Укажем наибольшие по абсолютной величине значения напряжений и

углов закручивания: ηmax=30МПа, θmax=1,080/м, θmax=0,140.

Сделаем выводы о прочности и жѐсткости вала. Для нашего примера:

ηmax=30МПа < [η] =100MПa, θmax=1,080/м < [θ] =20/м, θmax=0,140 <

[θ]=0,50,

значит, прочность и жѐсткость вала обеспечены.

Раздел 4. РАСЧЁТЫ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Это наиболее распространѐнный вид деформации прямолинейных элементов машин, механизмов и строительных конструкций, и поэтому плоский изгиб является важнейшим разделом СМ, а при выполнении РГЗ и КР ему уделяется большое внимание.

Плоский изгиб элементов конструкций в виде прямого бруса происходит при действии нагрузки в плоскости, перпендикулярной его продольной оси и проходящей через главную ось инерции сечения. Например, брус, изображѐнный на рис. 4.1, а, нагружен сосредоточенной силой Р, моментом М и распределѐнной нагрузкой интенсивности q Деформация бруса выглядит как искривление (изгибание) бруса в плоскости нагрузки (рис. 4.1, б). При этом наблюдается следующая картина деформирования продольных волокон: имеем растяжение продольных волокон с одной стороны от продольной оси бруса и сжатие с другой, а продольная ось лишь искривилась, и поэтому она называется нейтральной осью. Такой вид деформации носит название плоский изгиб, а брус, получающий изгиб, называют балкой.

При расчѐте рассматриваемый элемент (балка) изображается в виде прямого бруса (рис. 4.2 и 4.3), который может быть нагружен распределѐнной

112

нагрузкой, сосредоточенными силами и моментами, действующими перпендикулярно его продольной оси, причѐм вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости. В этой же плоскости реальный элемент имеет опоры (это опирание или соединение с другими элементами). Если опора препятствует линейным и угловым перемещениям, то на расчѐтной схеме изображаются заделка. Шарнирно-подвижная опора ставится на схеме, если реальная опора препятствует только одному перемещению, перпендикулярному продольной оси балки; в случае опоры, препятствующей перемещению перпендикулярно и вдоль оси балки, на расчѐтной схеме изображают шарнирно-неподвижную опору (см. рис. 4.3).

а

б

Рис. 4.1

В опорах возникают опорные реакции: в заделке − вертикальная и горизонтальная силы и изгибающий момент; в шарнирно-подвижной − вертикальная сила; в шарнирно-неподвижной − вертикальная и горизонтальная силы. Заметим, что в случае плоского изгиба число опорных реакций не должно быть менее трѐх, иначе балка станет геометрически изменяемой, т. е. получит смещение и не будет уравновешенной системой. Так как при плоском изгибе имеем плоскую систему сил (опорные реакции являются также внешним воздействием и входят в эту систему сил), то для балки имеем три уравнения равновесия, в которые входят и опорные реакции. Эти уравнения (уравнения равновесия всей балки) и используют для определения опорных реакций.

Для расчѐта балок на прочность и жѐсткость необходимо знать внутренние усилия, вычисление которых весьма трудоѐмкий пункт расчѐтов при изгибе. Рассмотрим вычисление внутренних усилий в балках на примере консольной балки (консоли), которую нагрузим нагрузкой общего вида (рис.

113

4.2): сосредоточенной силой Р и моментом М на свободном краю консоли, и распределѐнной нагрузкой интенсивности q по всей длине. Направление нагрузок считаем положительным, если она отгибает балку к верху и вызывает растяжение нижних волокон.

Внутренние усилия определяем методом сечений, выполняя правило РОЗУ (рис 4.2):

1)Разрезать балку на 2 части;

2)Отбросить одну из частей;

3)Заменить воздействие отброшенной части на оставленную внутренними усилиями. Так как отсечѐнная часть должна находится в равновесии, то, чтобы не было вертикального смещения этой части, в сечении

балки должна быть поперечная сила Qy и, чтобы не было вращения, ─ изгибающий момент Mx. При изображении Qy и Mx нужно пользоваться общепринятым правилом знаков: сила Qy положительна, если вектор силы вращает оставленную часть по часовой стрелке; момент Mx положителен, если растягивает нижние волокна.

Таким образом, при плоском изгибе в поперечных сечениях балки возникают поперечная сила и изгибающий момент.

4)Уравновесить внешнюю нагрузку и внутренние усилия Qy и Mx. Остановимся на составлении уравнений равновесия для оставленной части балки (как левой, так и правой). Эта часть балки нагружена внешней

нагрузкой и внутренними усилиями Qy и Mx, расположенными в одной плоскости.

Имеем плоскую систему сил, для которой существуют три уравнения равновесия; в плоской системе координат (у, z) они имеют вид:

∑ пр z = 0; ∑ пр y= 0; ∑ мом O = 0.

Заметим, что здесь точка О ─ центр тяжести текущего сечения, т. е. составляется уравнение моментов относительно этой точки от всех воздействий, действующих на оставленную часть балки.

При плоском изгибе отсутствуют продольные воздействия вдоль оси балки (оси z), и первое уравнение превращается в тождество 0=0, поэтому при расчѐте балок оставляют лишь два уравнения:

			∑ пр y= 0;	∑ мом О = 0.			(4.1)
	Запишем уравнения (4.1) для отсечѐнной части рассматриваемой
	консоли:
							q z2
	Q	y	Р q z 0,	M	x	M P z		0 ,
							2

114

а

б

в

Д

Рис. 4.2

из которых получим выражения для поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мx в текущем сечении, удалѐнном от края консоли на расстоянии z:

	Q		Р q z ,	M		M P z	q z2	.	(4.2)
		y			x		2

Выражения (4.2) представляют по сути формулы для сил Qy и моментов Мx, так как в них входят все виды нагрузок, и при подстановке в эти формулы значений нагрузок реальной балки получаем значения Qy и Мx для рассматриваемой балки.

Вычислим значения Qy и Мx в начале участка (при z = 0) и в конце (при z

= l). Получим граничные значения Qy и Мx:

при z=0 Qy= Р , M x M ;

115

	при z=l Qy = Р q l ,	M x M P l	q l 2
				.
			2

Для определения расчѐтных значений Qy и Mx изображают графики их изменения вдоль балки, которые называют эпюрами поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx.Отложив эти значения от базисной линии (еѐ нужно провести непосредственно под балкой), проводим наклонную прямую для Qy и параболу для Мx.

Здесь отметим следующее. Во-1, согласно с (4.2), поперечная сила Qy равна сумме проекций на ось y всех внешних сил, действующих на рассматриваемую отсечѐнную часть, а изгибающий момент Mx равен сумме моментов от всей внешней нагрузки этой же части, и получаем строго определѐнные значения и направления Qy и Mx.

Во-2, можно рассматривать как левые отсечѐнные части балок, так и правые, − значения Qy и Mx будут равны. Только алгебраический знак силы Qy для левой и правой частей противоположен.

В-3, выражения (4.2) показывают соотношение между Qy и Mx, которое известно как теорема Д.И. Журавского: возьмѐм производную от функции Mx по z, получим

dM	x	Qy ,	dQy x		d 2 M	x	q .	(4.3)
dz			dz		dz2

Из теоремы Д.И. Журавского (4.3) следует, что разница между порядком функций для поперечной силы Qy и порядком функции изгибающего момента Mx равна единице. Например, при q 0 поперечная сила Qy постоянна (это нулевой порядок по переменной z), а изгибающий момент изменяется по линейному закону (1-й порядок по z); при q 0, поперечная сила Qy

изменяется по линейному закону (1-й порядок по z), а изгибающий момент Mx имеет квадратичную зависимость от z (2-й порядок по z).

В расчѐтах встречаются как консольные балки (балки с заделкой или защемлением), так и двухопорные балки. Построение эпюр Qy и Mx для консолей проще выполнять, начиная со свободного края, так как не нужно вычислять реакции в заделке. Но для двухопорных балок сначала необходимо вычислить опорные реакции, а далее методика нахождения Qy и Mx та же. При расчѐтах балочных элементов машин и механизмов положительные моменты откладываются вверх от базисной линии, с этой стороны расположены сжатые волокна, поэтому говорят, что эпюру изгибающих моментов строят со стороны сжатых волокон. Для строительных конструкций построение эпюр обычно выполняют на растянутых волокнах. Этот факт связан с использованием ранее графоаналитических методов расчѐта, т. е. исторически закрепилось построение на растянутых волокнах. Знак момента на эпюре

116

обычно не ставится, так как для описания прочности нужно значение момента, а не его направление.

Наличие распределѐнной нагрузки q вносит определѐнные трудности.

Для контроля нужно помнить следующие закономерности:

1) На участке, где имеется распределѐнная нагрузка q , согласно с (4.2)

поперечная сила Qy изменяется по линейному закону, и на эпюре Qy будет наклонная прямая; а изгибающий момент Mx имеет квадратичную зависимость от переменной абсциссы z, и на эпюре Mx будет кривая 2-го порядка − парабола.

2) Для параболической кривой на эпюре Mx форму изогнутости нужно определять по эпюре Qy: согласно теореме Д.И. Журавского (4.3) тангенс угла наклона параболы (это угол между касательной к параболе и базисной линией)

равен Qy, т. е.

tgα= dMdz x Qy ,

и выпуклость или вогнутость параболы можно определить по значениям

Qy.

3) Если на эпюре Qy наклонная прямая пресекла базисную линию, то в этом сечении угол наклона касательной к кривой на эпюре моментов Mx равен нулю, касательная параллельна базисной линии, и момент в данном сечении экстремален для рассматриваемого участка.

При построении эпюр Qy и Mx, используют как приведѐнные выше теоретические предпосылки, так и характер эпюр поперечных сил Qy и

изгибающих моментов Mx в 6-и простых балках (рис. 4.3), которые хорошо показывают зависимость линий эпюр от вида нагрузки.

В итоге укажем основные особенности эпюр Qy и Mx. Они, с одной стороны, отражают перечисленные теоретические закономерности и помогают при построении эпюр в любой балке, с другой стороны, знание особенностей позволяет контролировать правильность эпюр.

1. Если q 0 , поперечная сила Qy всегда постоянна, вид эпюры Qy − «прямоугольник», а изгибающий момент изменяется по линейному закону и на эпюре Mx − наклонная прямая.

В частном случае при q 0 , когда Qy=0, изгибающий момент постоянен, вид эпюры Mx − «прямоугольник» (это случай чистого изгиба).

2. Если q 0, поперечная сила Qy изменяется по линейному закону, и

на эпюре Qy будет наклонная прямая; изгибающий момент Mx имеет квадратичную зависимость от z, и на эпюре Mx будет кривая 2-го порядка – парабола, выпуклость параболы определять по эпюре Qy.

117

Балка 1

В текущем сечении z

Qy=0,

Mx=M=const

Балка 2

В текущем сечении z

Qy=-P=const,

Mx= -P·z.

При z=0 Mx=0,

при z=l Mx=-

P·l.

Балка3

В текущем сечении z

Qy=-q·z, Mx=-q·z2/2.

При z=0 Qy=0,

Mx=0;

при z=l Qy=- q·l,

Mx=- q·l2/2.

Рис.4.3

118

Балка 4

Балка 5

Балка 6

В текущем сечении

z1

Qy= -M/l=const,

Mx=- M/l·z1.

При z1=0 Mx=0;

при z1=l/2 Mx= -M/2.

В текущем сечении

z2

Qy= -P/2=const,

Mx=P/2·z2.

При z2=0 Mx=0;

при z2=l/2 Mx=M/2.

В текущем сечении

z1

Qy= P/2=const,

Mx= P/2·z.

При z1=0 Mx=0;

при z1=l/2 Mx= P·l/4.

В текущем сечении

z2

Qy= -P/2=const,

Mx= P/2·z.

При z2=0 Mx=0;

при z2=l/2 Mx= P·l/4.

В текущем сечении z

Qy= q·l/2-q·z, Mx= q·l/2·z-q·z2/2.

При z=0 Qy= q·l/2,

Mx=0;

при z=l/2 Qy= 0, Mx= q·l2/8.

при z=l Qy= - q·l/2, Mx=0.

Рис.4.3 (окончание)

119

3.В сечении, где приложена сосредоточенная сила P на эпюре поперечной силы Qy будет скачок по направлению этой силы и на еѐ величину,

ана эпюре моментов Mx – перелом, направленный навстречу силе.

4.В сечении, где приложен сосредоточенный момент М, на эпюре

поперечной силы Qy нет изменений, а на эпюре моментов будет скачок на его величину по направлению М.

Целью построения эпюр является получение максимального значения

Mxmax. Сечение балки, в котором изгибающий момент Mx принимает максимальное значение по модулю Mxmax, называется опасным, а значение момента Mxmax ─ расчѐтным. Для опасного сечения составляют условие прочности, которое описывает прочность балок. Если балка выполнена из материала, который одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то для сечений балки используются симметричные по высоте фигуры: прямоугольник, двутавр, швеллеры и др. (рис. 4.4, а, б), и условие прочности в этом случае имеет вид:

ζmax =	M max	ζ ,	(4.4)
	Wx

Для этих сечений эпюра напряжений ζ линейна и симметрична по высоте. Такие материалы при нагружении получают пластичные

(остаточные) деформации поэтому их называют пластичными. Примером пластичного материала является сталь.

Если балка изготовлена из материала, который неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то составляют два условия прочности:

ζ

р

M xmax

y

,

ζ

с

M xmax

с

ζc .

(4.5)

max

max

J x

р ζp

J x

y

Здесь следует применять сечения (рис. 4.4, в), несимметричные относительно центральной оси: тавровое, П–образное и др., располагая сечение так, чтобы более протяжѐнная часть сечения находилась в сжатой зоне. Эпюра напряжений ζ здесь тоже линейна, но несимметрична по высоте. Линейные размеры сечений подбирают таким образом, чтобы сечение было

рациональным, при котором

					ζc .
ζ	р	max ζp , ζ		с
				max

Такие материалы по виду разрушения (разделением на части) называются хрупкими, например, чугун ─ хрупкий материал.

По условию прочности (4.4) и (4.5) выполняют требуемый вид расчѐта из возможных трѐх:

120