Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
.pdfвыполняем из условия прочности по допускаемым напряжениям (4.4), которое принимает вид
|
|
|
|
|
M max |
|
|
|
0, 98ql2 |
|
||
|
ζmax |
|
x |
|
|
|
|
ζ . |
|
|||
|
|
Wx |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
Mmax |
|
|
0,98ql2 |
|
0,98 10 103 2, 22 |
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ζ |
200 106 |
|
200 106 |
237,16 10 6 м3 237,16 см3.
Для случая а) имеем сечение прямоугольное, причѐм h 2b , тогда выражение момента сопротивления
|
|
|
b 2b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Wx |
bh2 |
|
|
|
2b3 |
, тогда b 3 |
3 Wx |
|
3 |
3 237,16 |
|
7, 09 см3 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
Принимаем b 7,1 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для случая б) |
имеем коробчатое сечение с тем же значением момента |
||||||||||||||||||||||||||||
сопротивления |
W = 237,16 см3 . Запишем выражение момента сопротивления |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коробчатого сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
BH |
3 |
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
W |
|
|
|
b h |
|
b 2b 0,6b 1,2b |
0,5803b3 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
6H |
|
|
|
|
|
6 2b |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где B b , b 0,6b , |
H 2b , h 1,2b . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b |
3 |
|
|
Wx |
|
237,16 |
|
|
7,42 см . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,5803 |
0,5803 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимаем b 7,5 см .
Сравним расход материала по площади поперечного сечения: для случая а)
FП b 2b 2b2 2 7,12 100,82 см2 ;
для случая б)
FК b 2b 0,6 1,2b 2b2 0,72b2 1,28b2 1,28 7,52 72 см2 .
141
Эпюра ζ, МПа Эпюра η,МПа
Рис. 4.11
Коробчатое сечение, как сечение с меньшей площадью, принимаем за более экономичное.
4. Эпюра нормальных напряжений
Для экономного варианта сечения балки (т. е. коробчатого) вычислим значения нормальных напряжений max в опасном сечении (сечении K):
|
|
M |
max |
|
0,98ql2 |
0,98 10 103 2,22 |
|
|||
ζmax |
|
|
|
|
|
|
|
193,8 103 Па=193,8 МПа , |
||
|
|
|
244,8 10 |
-6 |
|
|||||
|
|
W |
W |
|
|
|
||||
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||
где |
W 0,5803b3 0,5803 7,53 244,8 см3 . |
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра распределения нормальных напряжений по высоте сечения (эпюра ) изображена на рис. 4.11.
5. Определение перемещений
Определим перемещение в балках, воспользовавшись методом начальных параметров. Согласно с (4.6)
y i |
|
y0 0 zi |
1 |
M z a 2 |
|
P z b 3 |
|
q z c 4 |
q z d 4 |
|||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
i |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
zi |
|
EJ x |
2! |
|
3! |
|
4! |
|
|
|
4! |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Начало координат расположим на опоре А (см. рис. 4.6). Поскольку в |
||||||||||||||||
начале координат опора, то y0 0, 0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для того, чтобы |
определить |
начальный угол |
поворота |
0 , |
составим |
выражение прогиба в точке В, где расположена вторая опора, и приравняем его нулю: yB 0 .
142
yB |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 θ0 4l |
1 |
|
|
|
|
M 4l 2l 2 |
|
|
|
R 4l 0 3 |
|
|
|
P 4l 3l 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zB 4l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
q 4l 0 4 |
|
|
|
|
q 4l 2l 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0,6ql 2 4l 2l |
2 |
|
1,4ql 4l 0 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ0 4l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ql 4l |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3l |
|
q 4l 0 |
|
|
q 4l 2l |
|
|
|
|
θ0 4l |
3,9ql |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Из этого выражения θ |
|
|
|
|
3,9ql 4 |
|
|
0,975ql 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
4l EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
yC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 θ0 |
2l |
1 |
|
|
|
R |
A |
2l 0 3 |
|
|
|
q 2l 0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 2l |
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0,975ql 3 |
2l |
1 |
|
|
1,4ql 2l 0 3 |
|
|
|
|
q 2l 0 4 |
|
|
|
0,75ql 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
EJx |
|
|
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
yD |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 θ0 3l |
1 |
|
|
|
|
M 3l 2l 2 |
|
|
|
R 3l 0 3 |
|
|
|
q 3l 0 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zD 3l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
q 3l |
|
2l |
4 |
|
|
|
|
0,975ql |
3 |
3l |
|
|
1 |
|
|
|
|
0,6ql |
2 |
3l 2l |
2 |
|
1,4ql 3l 0 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q 3l |
0 |
4 |
|
|
|
q 3l 2l |
4 |
|
|
|
( 2,925 2,6667)ql |
4 |
|
|
0,2583ql |
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим прогибы для подобранного выше прямоугольного сечения:
y |
|
|
0,75 10 103 |
2,2 |
4 |
0,05186 м 51,86 мм , |
|||
C |
2 |
1011 |
1694 |
10 8 |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
143
|
|
|
y |
|
|
0,2583 10 103 2,24 |
|
0,01786 м 17,86 мм , |
||||||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
2 1011 1694 10 8 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где момент инерции прямоугольного сечения равен |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
J x |
|
bh3 |
|
|
b 2b 3 |
|
|
2b4 |
|
|
2 7,14 |
1694 см4 =1694 10-8 м4 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|||||||
Подсчитаем прогибы для коробчатого сечения. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
yC |
0, 75 10 103 |
2, 24 |
|
=-0,0479 м = -47,9 мм , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1011 |
1836 |
10 8 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
0,2583 10 103 |
2, 24 |
|
=-0,01648 м = -16,5 мм, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
2 1011 1836 10 8 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где момент инерции коробчатого сечения |
||||||||||||||||||||||||||
|
BH |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
J x |
|
b h |
|
|
|
b 2b 0,6b 1,2b |
|
0,5803b4 0,5803 7,54 |
||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1836 см4 |
1836 10 8 м4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Эпюра прогибов |
|
y |
|
построена на |
|
рис. 4.10, ж. Проверим условие |
жѐсткости (4.7), которое принимает вид
|
|
|
ymax yС f , |
|
||
где допускаемый прогиб f |
при длине нашей балки lб = 4 2, 2 м равен |
|||||
f |
lб |
|
|
4 2, 2 1000 |
22 мм. |
|
400 |
400 |
|||||
|
|
|
Для балки прямоугольного сечения ymax 51,86 мм f 22 мм.
Для балки коробчатого сечения ymax 47,9 мм f 22 мм.
Видно, что условие жѐсткости не выполняется, необходимо увеличить размеры поперечного сечения, используя требуемое условие жѐсткости нашей балки
144
ymax yС 0,75ql4 f . EJ x
Подставляя в это условие моменты инерции через неизвестный параметр b (см. выше), получаем для прямоугольного сечения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 4 |
0,75ql4 3 |
|
4 |
0,75 10 103 2, 24 3 |
8,797 10-2 |
м=8,797 см . |
||||||||||
E 2 |
f |
|
|
2 1011 2 22 10 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для коробчатого сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b 4 |
0,75ql4 |
|
4 |
|
0, 75 10 103 2, 24 |
9,108 10-2 |
м=9,108 см |
|||||||||
E 0, 5803 |
f |
|
|
2 1011 0, 5803 22 10 3 |
||||||||||||
Принимаем для |
прямоугольного сечения b 8,8 см , |
для |
коробчатого |
сечения b 9,2 см .
6. Эпюра касательных напряжений.
Для сечения с Qymax вычислим значения касательных напряжений в характерных точках коробчатого сечения и построим эпюру распределения касательных напряжений по высоте (эпюру ). Для этого на поперечном сечении (рис. 4.11) наметим характерные точки сечения − точки G, H, J. Значения касательных напряжений в характерных точках сечения вычислим по формуле Д.И. Журавского (4.10) как
|
Qmax |
|
S отс |
|
|
ymax |
|
y |
x |
, |
|
by |
I x |
||||
|
|
для которой из эпюры Qy выбираем
Qymax 1,4ql 1,4 10 103 2,2 30,8 103 Н 30,8 кН ;
и момент инерции сечения относительно оси x возьмѐм для b= 7,5см.
J x Wx H / 2 0, 5803b3 b 0, 5803 7, 54 =1836 см4 =1836 10-8 м4 .
Подсчитаем значения η, которые запишем со знаком соответственно направлению поперечной силы.
Gy 0 ,
145
yH |
Qmax y Sxотс |
|
30,8 103 102,25 10 6 |
0, 229 107 Па 2, 3 МПа , |
|||
b |
I |
x |
7,5 10 2 1836 10 8 |
||||
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
yJ |
Q max S |
отс |
|
30,8 103 132,6 10 6 |
0,74 107 Па 7, 4 МПа . |
|
||||||||
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
I |
|
|
2 1,5 |
10 |
2 |
1836 |
10 |
8 |
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для точки |
H |
ширину |
слоя b |
y |
и |
статический момент Sотс F y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
C |
вычисляем как для верхнего отсекаемого прямоугольника размером 7,5×3,0: by = 7,5 см и Sxотс = 7,5 3,0 4,5= 102,25 см3.
Для точки J имеем by =2 0,2 7,5=2 1,5 как ширину двух боковых стенок коробчатого сечения, статический момент
Sxотс =102,25 +2 0,2 7,5 4,5 2,25=132,6 см3.
Эпюра распределения касательных напряжений по высоте сечения представлена на рис. 4.11.
Проверим условие прочности балки по касательным напряжениям: ηmax=7,4 МПа η 100 МПа, значит, условие прочности выполняется.
Также можно вычислить соответствующие напряжения для b= 9,2см, найденного из условия жѐсткости.
7. Исследуем напряжѐнное состояние в опасном сечении балки.
Здесь нужно выполнять расчѐты аналогично пункту 5 задач 20 и 21. Причѐм в коробчатом сечении имеется особая точка ─ точка H, в
которой одновременно возникают нормальные и касательные напряжения существенной величины, поэтому для этой точки необходимо использовать теории прочности (4.8).
Задача 18. Определение несущей способности балки
Для стальной балки (рис. 4.12, а) внешняя нагрузка задана через интенсивность распределенной нагрузки q, величина которой неизвестна. Даны размеры поперечного сечения и длина балки.
Требуется:
1. Из уравнений равновесия балки получить выражения для реакций
опор.
2. Составить выражения поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx по участкам балки через неизвестную величину q, вычислить их значения
146
а
б
в
г
д
е
ж
Рис. 4.12
(через q) в характерных сечениях и построить эпюры Qy, Mx . Указать опасное сечение и значение Mxmax (также через q).
3. Из условия прочности по допускаемым напряжениям определить возможное значение интенсивности нагрузки q при допускаемом напряжении200МПа. Принять допускаемое значение интенсивности q .
147
4. Вычислить прогибы характерных сечений балки, изобразить изогнутую ось балки и проверить на жѐсткость при допускаемом прогибе f , равном 1/400 длины пролѐта балки. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, то назначить новое значение интенсивности q .
5.Для опасного сечения балки вычислить значения нормальных
напряжений max и изобразить эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения (эпюру ).
6.Для сечения с Qymax вычислить значения касательных напряжений в характерных точках и построить эпюру распределения касательных напря-
жений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по касательным напряжениям при 100 МПа.
7. Исследовать напряжѐнное состояние в опасном сечении балки. Сечение балки можно принять в виде двутавра или состоящим из двух
швеллеров.
Исходные значения: l 1 м; P 2ql ; M ql 2 ; E 2 1011 Па, сечение в виде двух швеллеров № 10.
Решение:
1. Вычисление сил реакции опор
Силы реакций опор найдѐм из уравнений равновесия балки при плоском изгибе по (4.1) мом А 0, мом B 0, которые для данной балки принимают вид
RB 2l P l M q 2l l 0;RA 2l P 3l M q 2l l 0.
|
|
|
Pl M 2ql2 |
2ql2 ql2 2ql2 |
|||
Из (4.13) |
R |
|
|
|
|
|
2,5ql . |
|
|
|
|||||
|
B |
|
2l |
2l |
|||
|
|
|
|||||
|
|
3Pl M 2ql2 |
3 2ql2 ql2 2ql2 |
||||
Из (4.14) |
RA |
|
|
|
|
|
2,5ql . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2l |
2l |
|||
Для проверки правильности найденных реакций составим |
|||||||
равновесия пр y 0 : |
RA 2ql P RB 0. |
2,5ql 2ql 2ql 2,5ql 0 , 0 0.
2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
(4.13)
(4.14)
уравнение
Определим значения Qy и М x методом сечений. Составляем по участкам балки уравнения равновесия отсеченных частей
148
пр y 0;момO 0.
I-й участок (рис. 4.12, б)
Q1 |
P 2ql; |
|
|
|
|
|
M 1 Pz |
2qlz |
|
z 0 |
M1 |
0; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
1 |
z l |
M1 |
2ql 2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
II-й участок (рис. 4.12, в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
0 |
|
Q2 |
2,5ql; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Q2 |
R |
|
|
qz |
|
2,5ql qz |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||
B |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2l |
|
Q2 |
2,5ql q 2l 0,5ql; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
M 2 R |
|
|
z |
|
qz |
|
z |
2 |
2,5qlz |
|
0,5qz 2 |
|
z2 0 |
Mx2 0; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
B |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
z2 2l |
Mx2 2,5ql 2l 0,5q(2l)2 3ql 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По полученным значениям построим эпюры Qy |
и M x (рис. 4.12, г, д). |
Из эпюры видно, что M xmax 3ql2 .
3. Определение интенсивности нагрузки
Возможное значение интенсивности нагрузки q определим из условия прочности по допускаемым напряжениям (4.4), которое принимает вид
|
|
|
|
|
|
M max |
|
3ql2 |
|
||
|
|
|
|
ζmax |
|
|
x |
|
|
ζ . |
|
|
|
|
|
Wx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
|
|||
Отсюда |
q |
ζ Wx |
|
200 106 |
2 34,8 10 6 |
4640 Н/м=4,64 кН/м. |
|||||
3l2 |
|
3 12 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимаем допускаемое значение интенсивности [q]=4,6 кН/м .
4. Определение перемещений
Перемещения в балках вычисляем методом начальных параметров. Данный пункт выполняется аналогично пункту 4 задачи 17 и пунктам 3
задач 20 и 21.
Для упрощения расчѐтов рекомендуется данную балку отобразить зеркально, как показано на рис. 4.12, е, чтобы в крайней левой точке оказалась опора. Вычисляются прогибы характерных сечений балки, изображается изогнутая ось балки и проводится проверка на жѐсткость. Если условие
149
жѐсткости не удовлетворяется, то назначается новое значение интенсивности
q .
5. Эпюра нормальных напряжений
Вычислим значения нормальных напряжений max в опасном сечении балки ─ сечении, где M xmax 3ql2 . Сечение балки состоит из двух швеллеров №10, поэтому момент сопротивления сечения равен удвоенному моменту сопротивления одного швеллера (см. табл. 5 Прил.):
|
|
|
|
|
W 2 34,8 69,6 см3 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
Тогда ζ |
|
|
M max |
|
3ql2 |
|
3 4, 6 103 12 |
198,3 103 |
Па=198,3 МПа . |
|
max |
W |
W |
69, 6 10-6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
Эпюра распределения нормальных напряжений по высоте сечения |
||||||||||
изображается так же как в задаче 21. |
|
|
||||||||
6. Эпюра касательных напряжений. |
|
|
||||||||
Из эпюры Qy |
выписываем |
|
|
|
|
Qymax 2,5ql 2,5 4,6 103 1 11,5 103 Н=11,5 кН .
Далее расчѐт выполняется как в соответствующих пунктах задач 17, 20
и 21.
7. Исследование напряжѐнного состояния в опасном сечении балки.
Этот пункт выполняется аналогично пункту 5 задач 20 и 21.
Задача 19. Проектный расчѐт составной балки
Для стальной составной балки (рис. 4.14, а и 4.15, а) известна внешняя
нагрузка. Исходные значения: l 2,2 м; |
q 10 кН/м; |
P ql ; |
M 0,6ql 2 ; |
E 2 1011 Па. |
|
|
|
Требуется: |
|
|
|
1.Из уравнений равновесия балки вычислить силы реакций опор.
2.Составить выражения для поперечных сил Qy и изгибающих мо-
ментов Mx, вычислить их значения в характерных сечениях и построить эпюры Qy, Mx . Указать опасное сечение и значение Mxmax.
3.Из условия прочности по допускаемым напряжениям подобрать размеры сечений для двух вариантов, изображенных на рис. 4.13. Принять
150