Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
.pdfЦентробежный момент инерции Ixсyс :
Ixcyc Ix1y1 a1 b1 F1 Ix2 y 2 a2 b2 F2 =
0 ( 1,28) ( 1,1) 36 ( 10,2) 2,34 2,02 19,6 133,1см4.
4. Определение положения главных осей и значений главных моментов инерции. Найдем положение главных осей, используя формулу (2.4):
tg(2α |
|
)= |
2 133,1 |
0,73. |
|
0 |
|
||||
127,7 590 |
|||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Отсюда угол наклона главных осей |
αo =18,10. Угол получен |
положительным, поэтому главные оси (u, v) покажем поворотом центральных осей (xс, yс) на угол 18,10 против часовой стрелки (причѐм ось u наклонена к оси x под углом αo). Нанесѐм главные оси (u, v) на сечение.
Главные моменты инерции по (2.5) равны
|
Iu |
|
Imax |
I |
xc |
I |
y c |
|
|
I |
xc |
I |
y c |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
I 2 xc y c |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
Iv |
|
Imin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
634 |
|
|
||||||||
|
127,7 590 |
|
|
127,7 590 |
2 |
133,1 |
2 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cм . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184,7 |
|
|
Моменты инерции Iu, Iv − это экстремальные моменты, т. е. один из них
– Imax, другой – Imin. Сумма моментов инерции относительно всех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, есть величина постоянная:
Iu + Iv=Imax + Imin=634+184,7= Ixc Iyс =227,7+590=817,7см4.
Получаем Imax =634см4, Imin =184,7см4≈185 см4.
Окончательным пунктом вычисления геометрических характеристик является назначение оси максимальных Imax и оси минимальных моментов Imin инерции, что очень важно для рационального расположения сечения по отношению к плоскости нагрузки. Установить назначение этих осей можно после получения значений Imax, Imin и угла αo. Применяем правило: ось максимальных моментов инерции Imax наклонена под меньшим углом к той
81
оси (оси xc, или оси yc), относительно которой момент инерции имел наибольшее значение (это Ixс или Iyс).
В нашем случае
Ixс=127,7см4 < Iyс=590см4, тогда
Imax=Iv=634см4, Imin=Iu=185см4,
поэтому подписываем ось u как ось максимальных моментов инерции I max – ось max, а ось v как ось минимальных Imin – ось min.
Раздел 3. РАСЧЁТЫ ПРИ КРУЧЕНИИ
Кручение возникает в элементах конструкций при таких воздействиях, которые можно схематизировать только скручивающими моментами. Такой брус в технике называют валом. Обычно эти элементы имеют вид прямого бруса как постоянного, так и переменного сечения. Например, испытывают кручение валы механических передач, несущие зубчатые колѐса и др. детали передач; коренные валы машин, которые несут рабочие органы машин (колѐса турбин, кривошипы и др.); валы двигателей и станков; оси автомобилей, моторных вагонов и локомотивов. Также подвергаются скручиванию и элементы пространственных конструкций (в частности, пространственных рам).
При составлении схем расчѐта вала необходимо учитывать вид внешнего воздействия и способ присоединения (или опирания). Чаще способ крепления валов такой, что препятствует как линейному перемещению, так и угловому (т. е. повороту) опорного сечения, поэтому на схеме вала изображается жѐсткая заделка (защемление). По количеству защемлений схемы валов могут быть статически определимыми (вал с одной заделкой) и статически неопределимыми (вал с двумя и более заделками).
В данном пособии приведены расчѐты круглых ступенчатых валов, имеющих одну или две жѐсткие заделки, при действии сосредоточенных и распределѐнных моментов; выполнены расчѐты как на прочность, так и на жѐсткость. Рассматривается решение следующих задач:
Задача 12. Проектный расчѐт ступенчатого вала.
Задача 13. Проектный расчѐт ступенчатого статически неопределимого
вала.
Задача 14. Проверочный расчѐт ступенчатого вала.
82
Задача 15. Проверочный расчѐт ступенчатого статически неопределимого
вала.
В каждой из этих задач требуется выполнить расчѐт на прочность, в котором оценивается сопротивление вала внешним воздействиям. От воздействия внешних скручивающих моментов в сечениях вала возникает только крутящий момент, который вычисляется, как и любое внутреннее усилие, методом сечений (с помощью правила РОЗУ: Разрезать, Отбросить, Заменить, Уравновесить). Для вычисления крутящего момента составляют уравнение равновесия отсечѐнной части вала в виде суммы моментов всех внешних нагрузок и внутреннего крутящего момента относительно оси вала:
∑ мом z= 0. |
(3.1) |
Для моментов используем известные общепринятые правила знаков: при взгляде на сечение внешние моменты, приложенные к рассматриваемой отсечѐнной части, считаем положительными, если они направлены против хода часовой стрелки, и положительный внутренний крутящий момент Мкр ─
по часовой стрелке. Таким образом, внешние и внутренние моменты действует навстречу друг другу и компенсируют друг друга. Положительные направления моментов показаны на рис. 3.1, а, на котором изображена схема вала в общем виде. На схеме сосредоточенный момент М приложен в начале вала, а по всему валу действует распределѐнный момент интенсивности m.
Уравнение равновесия (3.1) для отсечѐнной части вала принимает вид
(см. рис. 3.1, б):
Mкр mz M 0 .
Отсюда получаем формулу крутящего момента Mкр M m z . |
(3.2). |
Как видно, крутящий момент Мкр в сечении равен алгебраической сумме моментов относительно оси z всех внешних моментов, действующих по одну стороны от рассматриваемого сечения. Подтверждается закономерность: положительные внешние моменты создают положительный внутренний
крутящий момент. Вычислим значения Mкр в начале участка (при z=0) и в
конце участка (при z=l). Получим Mкр (0) M и Mкр (l) M m l . Отложив полученные значения, построим эпюру Мкр (рис. 3.1, в), которая будет нарастающей от свободного края по линейному закону. Подставляя в (3.2) цифровые значения внешних моментов реального вала, можно получить для него соответствующие значения момента Мкр. При вычислении момента Мкр рекомендуем следующие методические приѐмы:
1.Крутящий момент в сечении лучше брать положительного направления (по часовой стрелке), тогда получаем его значение с истинным знаком.
2.Для вала с заделкой крутящий момент проще вычислять,
83
а
б
в
г
Рис. 3.1
рассматривая отсечѐнную часть со стороны свободного края, тогда не обязательно определение опорного момента в заделке.
По формуле крутящего момента (3.2) хорошо прослеживается влияние сосредоточенного и распределѐнного моментов на значение момента Мкр, поэтому при изображении эпюры Мкр необходимо помнить: во-1, на участке, где нет распределѐнного момента ( m 0 ), крутящий момент Mкр const , и на
эпюре Mкр будет прямая, параллельная оси; во-2, на участке с распределѐнным моментом (m≠0) крутящий момент Mкр изменяется линейно, и на эпюре Mкр – наклонная прямая, причѐм при m>0 крутящий момент растѐт, при m < 0 крутящий момент уменьшается. Значения моментов Mкр
необходимы для выполнения дальнейших расчѐтов вала на прочность и на жѐсткость.
Так как работа элементов деталей машин и механизмов на кручение допускается в пределах упругих деформаций, то для расчѐта вала на прочность используют условие прочности по допускаемым напряжениям, которое при
кручении имеет вид |
|
ηmax η , |
(3.3) |
84
где max модуль наибольшего касательного напряжения в сечении вала, для вала круглого сечения max возникает в точках сечения у поверхности вала (рис. 3.2, а) и определяется формулой
|
|
|
η |
|
|
М кр |
, |
|
|
(3.4) |
|
|
|
|
max |
Wρ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в которой Мкр |
|
крутящий |
момент |
в рассматриваемом |
сечении, |
||||||
W |
d 3 |
– |
полярный момент |
сопротивления |
круглого |
сечения |
с |
||||
(1 c4 ) |
|||||||||||
ρ |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с; η |
|
|
соотношением внутреннего диаметра |
к |
наружному, |
равным |
|
допускаемое напряжение для материала вала. Согласно условию прочности напряжения max не должны превышать допускаемого напряжения η .
а |
Б |
Рис. 3.2
В задачах КР и РГЗ рассматриваются ступенчатые круглые валы, имеющие несколько грузовых участков разного диаметра и различного характера нагрузки, поэтому условие прочности (3.3) записываем в виде
|
|
Mкр |
|
|
|
|
ηmax |
|
|
[η] . |
(3.5) |
||
W |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
ρ |
max |
|
|
Сечение вала, в котором касательные напряжения max принимает наибольшее по модулю значение, является опасным. Условие прочности (3.5) позволяет выполнять три вида расчѐтов:
проектный(назначение диаметра вала);
проверочный (проверка прочности вала);
определение несущей способности (вычисление допускаемого значения внешних моментов).
85
В рассмотренных ниже задачах выполняются первые два вида расчѐтов. При работе машин и сооружений сечения валов получают угловую
деформацию (рис. 3.2, б) − угол поворота сечения θ (или угол закручивания вала), который не должен превышать определѐнного значения, поэтому условие жѐсткости вала имеет основополагающее значение для его успешной работы. Ввиду этого в задачах на кручение обязательна проверка жѐсткости вала по условию жѐсткости, которое записывают в виде двух выражений:
θ max θ и θ max θ |
(3.6) |
где θ max и θ max – наибольшие по модулю значения |
соответственно |
относительного и абсолютного углов закручивания вала, θ |
и θ – значения |
соответственно допускаемых относительного и абсолютного углов закручивания вала. Значение θ max для ступенчатого вала определяется как
|
|
M |
кр |
|
|
|
θmax |
|
. |
(3.7) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GIρ max |
|
При вычислениях необходимо помнить, что при расчѐте в системе СИ получаем абсолютный угол закручивания θ в радианах, а относительный θ −
в рад/м. Величина θ max выбирается по эпюре θ , которая обязательно
выполняется при проверке жѐсткости вала. Сначала вычисляют углы закручивания участков вала по формуле
|
|
l |
M |
|
|
|
|
θ |
|
|
GI |
кр |
d z . |
(3.8) |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
ρ |
|
|
|
Здесь l – длина участка вала; G – модуль упругости второго рода или |
|||||||
модуль сдвига (для стали G=0,8·105МПа); I |
ρ |
– полярный момент инерции |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
круглого сечения, Iρ d 4 (1 c4 ) . 32
Если крутящий момент на рассматриваемом участке постоянный, то
угол закручивания участка равен Δθ M кр l .
GI
Как видно, угол закручивания зависит обратно пропорционально от значения GIρ , которое поэтому называют жѐсткостью сечения при кручении.
Из-за угловых деформаций отдельных участков вала происходит реальный поворот сечения на угол θ (рис. 3.2, б), который для вала называют
86
углом закручивания вала, он является суммой угловых деформаций Γθ предшествующих участков. Поэтому запишем угол поворота сечения в виде
l |
M |
i |
|
|
|
θi= θi-1 +Γθi= θi-1 + i |
|
кр |
d z . |
(3.9) |
|
GI |
i |
||||
0 |
ρ |
|
|||
|
|
|
Поясним вычисление на нашем примере (рис. 3.1). Угол закручивания заделки θА равен 0, т. е. θА=0, а сечение свободного края вала повернулось на угол θ, который найдѐм как
l M
θ=θA θ 0 GIкр
0 ρ
|
1 |
|
z2 |
|
l |
|
1 |
|
|
l2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
dz |
|
M z m |
|
|
|
|
|
|
M l |
m |
|
|
. (3.10) |
GIρ |
2 |
|
|
GIρ |
2 |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При наличии распределѐнного момента для угла θ имеем функцию 2- го порядка по отношению к переменной z, значит, величина угла изменяется вдоль вала по квадратичной зависимости от z (по квадратичной параболе). Тогда эпюра θ будет криволинейной, и нужно правильно изобразить форму кривой. Если нет распределѐнного момента, эпюра θ будет наклонной прямой. Чтобы уточнить форму кривизны квадратичной параболы, нужно знать угол наклона касательной к получаемой кривой, который равен производной по z от
функции угла θ, т. е. tgα dθ Mкр M m z . dz GIρ GIρ
Как видно из последнего выражения, закон изменения наклона касательной к кривой повторяет закон изменения момента Мкр, поэтому эпюра Мкр всегда позволяет определить наклон кривой θ: в рассматриваемом примере (рис. 3.1, г) эпюра углов закручивания θ будет нарастающей от заделки по кривой 2-го порядка, и выпуклость обращена вверх.
Эпюра θ наглядно показывает изменение угла поворота сечения вдоль вала и позволяет выбрать наибольшее значение θmax, которое необходимо для составления второго условия жѐсткости (3.6) по θ. Оба условия жѐсткости (3.6) позволяют выполнять те же три вида расчѐтов, что и условие прочности. Поэтому, когда условие жѐсткости для рассматриваемого вала не соблюдается, по нему определяют требуемые величины.
Для контроля работоспособности круглых валов нужно иметь в виду, что в поперечном сечении возникают только касательные напряжения (рис. 3.2, а), а на любом наклонном к оси направлении действуют и нормальные, и касательные напряжения. Чтобы показать это, нужно сначала выделить прямоугольный элемент на поверхности вала, по граням которого действуют касательные напряжения = max (рис. 3.3, а). Как известно, это чистый сдвиг. Если рассечь элемент наклонной плоскостью и составить условия равновесия
87
полученного треугольного элемента (рис. 3.3, б), то получаем нормальные и касательные напряжения, действующие на этой площадке,
ζα η sin 2 , ηα η cos2 .
Площадка под углом α= 450 является особенной: напряжения на ней
равны ηα=0 и ζα |
= . |
На этой площадке будут |
только |
нормальные |
напряжения: при |
=+450 |
растягивающие ζ1= ζα =+ , |
а при |
=-450 – |
сжимающие ζ2= ζα =- , и имеем одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 3.3, в).
а |
б |
в |
Рис. 3.3
Как известно эти площадки являются главными, так как на них отсутствуют касательные напряжения. Характер разрушения вала зависит от способности данного материала сопротивляться действию и нормальных и касательных напряжений.
Приведѐм вид разрушения валов, выполненных из трѐх, наиболее распространѐнных материалов: дерева, стали и чугуна (рис. 3.4).
а
Рис. 3.4
Разрушение при кручении б а ─ деревянного вала;
б ─ чугунного вала;
в ─ стального вала.
в
Деревянный вал претерпевает скалывание продольных волокон относительно друг друга: появляются трещины, ориентированные вдоль образующей. Это происходит вследствие того, что древесина хуже
88
сопротивляется сдвигу (воздействию касательных напряжений η ), чем растяжению и сжатию (воздействию нормальных напряжений ζ ).
Чугунный вал разрушается по винтовым плоскостям, ориентированным под углом 45º к оси бруса. Объяснить такое разрушение можно тем, что чугун хорошо сопротивляется сжимающим напряжениям ζ2 =- , плохо сдвигающим
касательным , и хуже всего растягивающим |
ζ1 =+ . В результате по |
|||
плоскости, |
перпендикулярной |
растягивающим |
нормальным |
напряжениям |
ζ1 =+ (под |
углом ~ α 450 к |
оси вала), образуется разрыв |
по наклонному |
направлению к оси вала – появляется трещина под углом ~450 к оси вала.
Стальной вал срезается по поперечному сечению, где действуют наибольшие касательные напряжения , так как сталь хуже всего сопротивляется касательным напряжениям.
Чтобы закрепить знание о напряжѐнном состоянии при кручении, в РГЗ и КР при расчѐте вала можно предусмотреть указывать главные напряжения и описывать место и характер возможного разрушения для разных материалов.
Задача 12. Проектный расчѐт ступенчатого вала
Для стального вала заданной конфигурации известны внешние
скручивающие |
моменты (рис. 3.5, а): причѐм |
сосредоточенный |
момент |
|
M 0,6 ml , и |
интенсивность |
распределѐнного |
скручивающего |
момента |
m 1,2кН·м/м=1,2кН, длина l 0,2 м. |
|
|
||
Требуется: |
|
|
|
|
1. Построить эпюру крутящих моментов M кр . |
|
|||
2. Составить выражения |
для касательных |
напряжений max |
по всем |
участкам вала, используя указанные на схеме значения диаметров сечения через неизвестную величину d .
3. Установить наибольший модуль напряжений max и составить условие
прочности вала по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение d при допускаемом напряжении 100 МПа и назначить диаметры всех участков вала, соблюдая указанное соотношение между ними.
4. Вычислить значения касательных напряжений max по участкам вала и
построить эпюру распределения касательных напряжений по длине вала (эпюру ).
5. Вычислить относительные углы закручивания по участкам вала и абсолютные углы поворота характерных сечений, считая модуль упругости
89
а
б
в
г
д
е
ж
з
Рис. 3.5
90