Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

г

д

Рис. 1.8 (окончание)

Так как не требуется определить реакции в жѐсткой опоре K, составим только одно уравнение равновесия ∑ мом К = 0:

N l N		2l cos45 Pl q2l 0, или N				N		2		2	2ql 2ql 0,
					1		2
1	2								2
		N1	2N2 4ql .						(1.21)

Решаем систему уравнений (1.20) и (1.21): подставив из (1.20) N1 4N2 в

(1.21), получим

41

				4 N2				2 N2 4ql .
Отсюда найдѐм	N2			4ql			0,74ql , и по (1.20)		N1 4N2	2,96ql .
		(4			2)
Положительные	знаки			N1	и N2			указывают на	то, что	выбранные

направления их верны.

2. Подбор размеров сечений стержней.

Необходимые размеры поперечных сечений стержней определим из условий прочности по допускаемым напряжениям или по предельному состоянию.

В случае неодинакового сопротивления материала растяжению и сжатию условие прочности по допускаемым напряжениям имеет вид:

р

N

р ,

max

F

N

сж

,

F

max

сж

Для нашего примера это условие прочности по допускаемым

напряжениям запишем как

N

1

2,96ql

[ ]

6

1

F1

1

200 10

2F

или

N2

0,74ql

6

2

[ ]

2

200 10

F2

F

Отсюда получим два значения F:

F

2,96 20 103

1,6

2,37 10 4 м2 2,37см2

2 200 106

и

F

0,74 20 103 1,6

1,18

10 4 м2

1,18см2 .

200 106

Чтобы удовлетворить оба уравнения прочности выбираем бóльшее

значение F 2,37см2

и округлив его, принимаем F 2,4 см2 , F 4,8 см2 .

2

1

Найдѐм величины

F1

и F2

по

методу

предельного состояния. При

расчѐте по предельному состоянию учитываются пластические свойства металла. Считаем, что при действии внешних сил напряжения во всех

42

стержнях равны пределу текучести т , а усилие в каждом стержне равно Ni т Fi . Такое стояние системы будет предельным, так как может вывести

еѐ из строя.

Усилия в стержнях

N1 =ζт F1

и

N2 т F2 . Выразим F1 и

F2 через

предельное (т. е. самое минимальное) значение площади сечения

F пред , при

котором и возникает предельное равновесие: F F пред ,

F 2F пред . Тогда N

1

и

1

2

N

2

будут равны: N

т

F пред и N

2

т

2F пред .

1

Составим уравнение предельного равновесия, в которое войдут как

внешняя нагрузка, так и записанные

усилия N1

и N2 . Как

и выше,

воспользуемся уравнением ∑мом К = 0, получаем:

т 2F пред l т F пред 2 l cos45 P l q 2 l 2 0.

т 2F пред т F пред 2 2ql 2ql 0,

								т	2F пред	т		F пред			2	4ql.
Отсюда найдѐм предельное значение площади сечения
F пред		4ql					4 20 103 1,6							1,17		10 4 м2 1,17см2
	т	(4							106 (4
			2) 320							2)

Допускаемые значения площади сечения стержней F i , при которых система будет безопасной, можно найти, используя коэффициент запаса

прочности n: увеличиваем полученное значение F пред в n раз, т. е. F		F n .
	i	i
В нашем случае	F F пред n 1,17 1,6 1,87см2 . Тогда принимаем
площади сечений F 2 F 3,74см2 и F F 1,87см2 . Как и следовало
1	2

ожидать, эти величины F получились меньше, чем по методу допускаемых напряжений.

3. Вычисление температурных напряжений.

Найдѐм напряжения t , появляющиеся при повышении температуры

среды на 15ºС. В статически неопределимых системах с повышением температуры окружающей среды уже при отсутствии внешней нагрузки возникают напряжения, так как каждый стержень стремится удлиниться на

величину lt t l , а этому препятствует другие стержни и опоры системы (рис. 1.8, д). В результате в стержнях возникают продольные усилия Nt . Тогда

деформация каждого стержня l

слагается из температурной lt и

43

деформации, полученной от возникающего продольного усилия Nt , равной

lN			Nt	l	, т. е. полная деформация стержня
	t		EF
					l t		l	Nt l	.
								EF

Пусть при повышении температуры брус АВ займет положение А1В1. Тогда стержень АС получит сжатие на величину lt1 =АА1, а стержень DВ - растяжение на lt2 =ВВ2 (рис. 1.8, д). Предположим направление усилий Nt1 и Nt2 растягивающими и запишем деформации стержней:

1

Nt1

l

2

2l

Nt2 2l

lt

t

l

, lt

t

.

E2F

cos45

EF cos45

Записывая уравнение равновесия ∑мом К = 0 и уравнение перемещенийl1 2 l2 , получим систему следующих уравнений с двумя неизвестными (усилиями Nt1 и Nt2 ):

Nt1

l Nt2

2l cos 45

,

N 1

l

2l

N 2

2l

t

l

t

2

t

t

.

E2F

cos 45

EF cos 45

Решая эти уравнения, найдѐм температурные усилия Nt1 и Nt2 .

Nt2 0,91 t EF 0,91 1,25 10 5 15 2 1011 2,4 10 4

8,19 103 Н 8,19 кН ,

Nt1 4Nt2 32,76 кН .

Как видно, стержни АС и DВ испытывают сжатие, при котором возникают температурные напряжения

	ζ1t	Nt1		32,76 103	68, 25 106 Па 68, 25 МПа ,
		F		4,8 10 4
		1

	ζt2	Nt2		8,19 103	34,13 106 Па 34,13 МПа .
		F		2, 4 10 4
		2

44

Задача 6. Проверочный расчѐт ступенчатого бруса

Для ступенчатого бруса (рис. 1.9) известна внешняя нагрузка, заданы площади поперечного сечения и длины участков.

Требуется:

1.Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений ζ, относительных деформаций и продольных перемещений δ. Принять модуль упругости E=2∙ 5МПа.

2.Указать опасное сечение и значение ζmax, проверить прочность при допускаемом напряжении [ζ]=200МПа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

3.Указать значения max и δmax, проверить жѐсткость при допускаемой относительной деформации = 0,005 и допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5 мм. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

4.Для опасного сечения бруса вычислить касательные ηα и нормальные

α напряжения в наклонной площадке, проведѐнной под углом α = 450 к оси бруса.

Решение

1. Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и продольных перемещений

В этой задаче использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии, которая изображена на рис. 1.9. В ней в начале каждого участка приложены сосредоточенные силы Р, на каждом участке действует распределѐнная нагрузка интенсивности q.. Принимаем следующее правило знаков нагрузки: за положительное считаем растягивающее направление.

Рис. 1.9

45

Выполним расчѐт при следующих значениях. Сосредоточенные силы в начале участков равны Р1=-60кН и Р2=0; интенсивность распределѐнной нагрузки по участкам q1=0 и q2=150кН/м; длины участков 11=0,5м и 12=0,6м, площади сечений участков F1=6см2 и F2=5см2.

Сначала по исходным данным изобразим в масштабе заданный брус и действующую на него нагрузку (рис. 1.10, б). Брус разделим на два грузовых участка, здесь нумерацию участков удобно брать со свободного края, поэтому начало 1-го участка положим на торце бруса.

Для оценки прочности и жѐсткости бруса, которые выполняются в 1-м, 2-м, и 3-м пунктах задачи, необходимо иметь значения продольных сил N, напряжений ζ деформаций ε и перемещений δ на каждом участке. Запишем алгебраические выражения и подсчитаем значения этих величин, используя метод сечений и формулы напряжений и деформаций.

1-й участок: z11= 0,5м. Запишем для текущего сечения (рис.

1.10, а, б), удалѐнного от начала 1-го участка на расстоянии z1, продольную силу N1, напряжение ζ1 и относительную деформацию ε1. Используя формулу продольной силы (1.2) для унифицированного нагружения, формулу напряжений (1.3) и закон Гука, по которому ζ1 =ε1 E , получаем

N P q z 60				кН,	ζ			N	1		60 103	100 МПа,
						1
1	1	1	1					F			6 10 4
								1

	ε		ζ		100 106	50 10 5	0,5 10 3 .
			1
			E		2 1011
	1
2-й участок:		z2			2= 0,6м. В текущем сечении 2-го участка (рис.

1.10, а, б), удалѐнном от его начала на расстоянии z2, согласно (1.2), (1.3) и

закона Гука, имеем													N2 N1 (l1 )						P2 q2 z2			60 150 z2 ,
при z2 0									N2 60 кН,										при z2 l2			N2		60 150 0,6 30 кН;
														N	2		( 60 150 z				) 103		( 120 300 z				) 106 ,
									ζ										2
														F					5 10 4
												2														2
														2
при z					2		0		ζ		2		120 МПа,						при z2 l2				ζ2 60 МПа;
				ζ			2		( 120 300 z									) 106								) 10 5 ( 0,6 1,5 z		) 10 3 ,
ε																	2			( 60 150 z
	2
					E									2 1011											2		2
при z			2			0			ε	2		0,6 10 3 ,							при z l				ε	2	0,3 10 3 .
																			2			2

46

А

б

в

г

д

е

Рис. 1.10

47

Используя полученные значения продольных сил, напряжений, относительных деформаций, построим эпюры этих величин непосредственно под брусом и подпишем их характерные значения (рис. 1.10, в, г, д).

Перейдѐм к перемещениям δ, необходимым для решения 3-го пункта задачи. Составим выражения продольных смещений δ характерных поперечных сечений А, В, С. Для этого необходимо знать абсолютные деформации участков li , которые вычисляются по формуле (1.6) как

li	Ni
li		d z . Подставим полученные выше значения продольных сил N1 и N2,
	EF
0	i

заданные площади сечения и длины участков, получаем следующие абсолютные деформации участков:

	l				l1	N1		dz					N1 l1					ζ1 l1		ε	l 0,5 10 3 0,5
				0							2
		1				EF							EF					E		1	1
						1								1					1
										= 0,25·10-3м= 0,25мм;
l			l2		N2		dz					l2			dz				l 2	( 60 150 z		) 10 5	dz
	2								2					2			2							2
			0		EF							0							0		2
						2
( 60 z	150 z 2					/ 2) 10 5 ( 60 0,6 150 0,62 / 2) 10 5 9 10 5 м= 0,09мм.
2					2

Зная абсолютные деформации участков, подсчитаем продольные смещения указанных характерных сечений. Реальное перемещение сечения заделки отсутствует, поэтому запишем перемещение δА =0.

Первое сечение 2-го участка (сечение В) получило перемещение δВ, которое равно деформации этого участка: δВ = l2 0,09 мм. Первое сечение 1-го участка (это сечение С) получило перемещение

δС = В l1 0,09 ( 0,25) 0,34 мм.

В нашем примере наклонная прямая на эпюре N (рис. 1.10, в) пересекает ось на расстоянии zo от начала 2-го участков (обозначим это сечение К). Как известно, на эпюре перемещений в этом сечении ожидается экстремум − перегиб кривой перемещений. В сечении К сила

N= 60 150 z0 0.

Отсюда абсцисса этого сечения равна

z				N				60	0,4 м.
	0			q			150

48

Необходимое значение экстремального перемещения δК (перемещения при z=zо) определяем на основании (1.7) как разницу между перемещением первого сечения и деформацией куска zо. При этом для деформации куска zо используем полученное ранее выражение деформации 2-го участка, но только в нѐм укажем пределы интегрирования от 0 до zо=0,4м. Вычисление в миллиметрах выглядит в следующем виде:

δ		δ			z	N	2	dz		0,11 ( 0,60 z		1,50 z 2	/ 2)		z0
					0
	К		В		0				2		2
						EF						2			0
							2

0,11 ( 0,60 0,4 1,50 0,42 / 2) 0,09 0,12 0,03 мм.

Отложив полученное значение от базисной линии на эпюре перемещений (рис. 1.10, е), проводим кривую с перегибом в сечении К.

2 и 3. Проверка условий прочности и жѐсткости бруса

Теперь для ответа на пункты 2 и 3 назовѐм максимальные напряжения ζmax, деформации εmax, перемещения δмах и сделаем выводы о прочности и жѐсткости бруса при заданных величинах допускаемых напряжений [ζ]=200МПa, деформаций [ε]=0,005 и перемещений [δ]=0,5мм.

Условие прочности имеет вид

ζmax = 100МПа < [ζ] =200MПa,

и, следовательно, прочность бруса обеспечена; запишем условие жѐсткости:

εmax= < [0,0006]= 0,005, δmax= 0,34мм < [δ] = 0,5мм,

значит, жѐсткость бруса обеспечена.

4. Вычисление напряжений в наклонной площадке

Для опасного сечения бруса вычислим касательные ηα и нормальные α напряжения в наклонной площадке, проведѐнной под углом α=450 к оси бруса. Опасным сечением является сечение, в котором нормальные напряжения максимальны по абсолютной величине: в нашем примере равноопасны все сечения 2-го участка и ζmax=100МПа. Вычислим напряжения в наклонной площадке по (1.10):

ζ		ζ		cos2	450	100 (		2	)2 50МПа, η			ζmax	sin 900		ζmax		100	50 МПа.
	α		max
							2			α	2			2		2

Как видно, эти напряжения не превышают допускаемых значений, и прочность в наклонной площадке под углом α=450 к оси бруса обеспечена.

49

Задача 7. Проверочный расчѐт ступенчатого статически неопределимого бруса

Стальной ступенчатый брус (рис. 1.11) жѐстко защемлѐн с торцов и несѐт нагрузку известной величины. Площади поперечного сечения и длины участков заданы.

Требуется:

1.Используя условие равновесия и уравнение перемещений, найти величины реактивных сил, возникающих в жѐстких заделках.

2.Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений ζ,

относительных деформаций и продольных перемещений δ.

3.Указать опасное сечение и значение ζmax, проверить прочность при допускаемом напряжении [ζ]=200МПа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

4.Указать значения max и δmax, проверить жѐсткость при допускаемой относительной деформации = 0,005 и допускаемом продольном перемещении [δ] = 0,5мм. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, указать при каких размерах площади сечений оно выполнимо.

5.Для опасного сечения бруса вычислить касательные ηα и нормальные

α напряжения в наклонной площадке, проведенной под углом α = 450 к оси бруса. 6. Вычислить температурные напряжения, возникающие в брусе при

повышении температуры среды на 500 С. Принять коэффициент линейного удлинения =1,25∙10-5 1/град.

7.Как изменятся величины реактивных сил, если между левой заделкой

иторцом бруса будет зазор величиной 0,0001∙L1?

Рис. 1.11

Решение

1. Вычисление реактивной силы заделки

В этой задаче так же использована унифицированная схема ступенчатого бруса при растяжении-сжатии. Пусть в нашем примере заданы следующие величины: сосредоточенная сила Р=-30кН; интенсивность

50