Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

а

б

в

г

Рис. 4.17

Отложив значения моментов M x2 в начале, в конце участка и в сечении К, построим эпюру моментов на 2-м участке (рис. 4.17, г).

На построенной эпюре M x определяем опасное сечение балки, в котором

имеем максимальные значение момента Mmax: опасным является сечение К, и максимальное значение момента Mmax= 36,2кН м .

2. Проверка прочности по нормальным напряжениям

Вычислим значения нормальных напряжений max для опасного сечения К. Для рассматриваемого сечения балки − двутавра №33 по таблице ГОСТ 8239–89 (табл. 4 Приложения) момент сопротивления Wx 597 см3,

поэтому

ζ Mmax 36,2 103 60,6 106 Па=60,6 МПа. max Wx 597 10 6

161

Проверим условие прочности балки по нормальным напряжениям, ко-

торое по (4.4) имеет вид ζmax M max ζ . Для нашего случая оно получает

Wx

такую запись:

60,6 МПа ζ 200МПа ,

значит, условие прочности балки по нормальным напряжениям выполняется.

3. Вычисление прогибов и проверка жѐсткости

Определим прогибы балки в характерных сечениях С, А и K методом начальных параметров (4.6). Согласно ему уравнение прогибов следующее:

	y y0	θ0 z	1	[ M	(z a)2	P	(z b)3	q	(z c)4	],
			EJ		2!		3!		4!
	где y0 ,θ0	– угол поворота и прогиб сечения балки в начале координат

(начальные параметры балки); a, б, c – соответственно расстояние от начала координат до точек приложения сосредоточенных силовых M или P и до начала равномерно распределѐнной нагрузки интенсивностью q ; EJ –

жѐсткость сечения балки, значение одинаково для всех участков (рис. 4.4). Начало координат выбираем в заделке, тогда y0 0, θ0 0 . Жѐсткость

сечения профиля № 33 равна:

EJ 2 105 106 9840 10 8 1,97 107 Н∙м2.

В заделке имеем реакцию RЗ=37,9кН и момент МЗ=11,35кН·м, эти воздействия для балки являются внешней нагрузкой и войдут в расчѐт. Подсчитаем прогиб балки в сечении K , удалѐнном от заделки на расстоянии

2,1-0,79=1,31м:

		y			1	[M			(1,31)2			R		(1,31)3	q	(1,31)4		]
			К		EJ			З	2			З	6				24
=		103		[11,35			(1,31)2				37,9		(1,31)3		29		(1,31)4		] 0,103	см.
	1,97 107							2					6				24

Прогиб балки в сечении С (на расстоянии 2,1м):

y	1	[M		(2,1)2	R	(2,1)3	q	(2,1)4	]
С	EJ		З	2	З		24
						6

162

=				103		[11, 35						(2,1)2							37,9						(2,1)3						29				(2,1)4					] 0, 305 102			0, 305 см.
		1,97 107										2														6									24
		Прогиб балки в сечении А (на расстоянии от заделки 2,1+1,7=3,8м)
получает значение:
										1						(3,8)2						R				(3,8)3							q		(3,8)4					q		(3,8 2,1)4
					y		A						[M	З																															]
									EJ									2							З				6						24							24
	103									(3,8)2						37,9						(3,8)3							29					(3,8)4							(3,8 2,1)4
=					[11,35																																		29					] 0,95 см.
	1,97 107											2												6										24								24
		Для составления условия жѐсткости вычислим допустимый прогиб по
заданной норме как
													y							lбалки						lАВ						3,8 100					0,95см.
																		400								400								400
		Составим условие жѐсткости (4.7), которое имеет вид ymах ≤ y .
		Для нашего примера максимальный прогиб равен ymах= 0,95 см. Тогда
условие жѐсткости нужно записать как																													y = 0,95см,
													ymах= 0,95см =
делаем вывод, что условие жѐсткости соблюдается.
		4. Вычисление касательных напряжений
		Вычертим в масштабе двутавровое поперечное сечение (рис. 4.18).
Наметим				характерные точки сечения																											−			это точки О, G,									T. Значения

касательных напряжений в характерных точках сечения вычислим по формуле Д.И. Журавского (4.11):

Qmах

S отс

y

x

,

by

J x

y

где Qmах

y

–

наибольшее

значение

поперечной силы;

из эпюры

Q

y

выписываем

Qmах

y

=37,9 кН;

S отс

–

статический момент

относительно

у

нейтральной оси x той части сечения, которая расположена по одну сторону прямой, проведѐнной через характерную точку; by – ширина поперечного сечения на уровне рассматриваемой точки; J x – момент инерции всего

сечения относительно осей x , для двутавра № 33 по таблице ГОСТ 8239–89 момент инерции Ix 9840 см4 (табл. 4 Приложения).

163

Подсчитаем значения y , которые запишем со знаком соответственно направлению поперечной силы.

Gy =0;

Q

y

S

отс

37,9 103 339 10 6

Oy

x

18,6

МПа,

b J

x

0,7 9840 10 8 10 2

y

где для точки O ширину слоя by

и статический момент Sxотс

берѐм из

таблицы ГОСТ 8239–89: by =0,7см, Sxотс

=339см3;

Q

y

Sотс

37,9 103

1,12 14 (16,5 1,12 / 2) 10 6

Ty

x

13,7МПа,

b J

x

0,7 9840 10 8 10 2

y

здесь статический момент Sxотс

вычисляем как стилизованного прямоуголь-

ника размером 1,12 14 .

Эпюра

распределения касательных напряжений по высоте

сечения

(эпюра ) представлена на рис. 4.18.Проверим условие прочности балки по касательным напряжениям:

ηmax =18,6МПа η 100 МПа,

значит, условие прочности выполняется.

5. Анализ напряжѐнного состояния

Для анализа напряжѐнного состояния (НС) нужны эпюры нормальных

напряжений ζ и касательных напряжений		по высоте сечения. Эпюра
нормальных напряжений линейна по	высоте	сечения,	поэтому отложив
ζmax =60,6МПа для нижних растянутых	точек	двутавра,	проводим прямую

через ноль на уровне центра тяжести (рис. 4.18) и получаем эпюру ζ. Изобразим НС в точках O, G, T как объѐмное и как плоское, так как в

этих точках имеем или линейное или плоское НС, которые являются частным случаем объѐмного (рис.4.18).

В точках G только нормальные напряжения, поэтому имеем линейное

НС.

В точке O возникают только касательные напряжения, это НС сдвига (частный случай плоского НС), при котором главные, как известно, направлены под углом 450 к площадкам сдвига и равны следующим

значениям: ζO max Oy 18,6 МПа и ζO min Oy 18,6МПа.

164

Эпюра ζ, МПа

Эпюра η, МПа

Точка G

Точка O

Точка T

Рис 4.18

В точке T возникают нормальные напряжения и касательные напряжения: по эпюре ζ возьмѐм нормальные напряжения ζT 56,4 МПа и по

эпюре ζ касательных					напряжений					Ty		13,7 МПа.				Это			плоское НС, для
которого главные напряжения вычисляем по формуле
			ζx ζ y					- ζ y 2
	ζT max				ζx					2		56,4			56,4 2					2
																						59,6
		=							η									13,7				3,2	МПа.
	ζT min		2					2				2			2

Осталось выполнить проверку прочности. Для точек G условие прочности имеет вид

G 60,6 МПа < ζ =200МПа.

165

Для точек T и O, находящихся в плоском напряжѐнном состоянии, нужно использовать теории (гипотезы) прочности: в случае стали, как пластичного материала, рекомендуются III и IV теории прочности (4.8). Запишем по III теории:

для точки O IIIэкв Omax Omin 18,7 ( 18,7) 37, 4 200МПа,

для точки T IIIэкв maxL minL 59,6 ( 3,2) 62,8 200МПа.

Как видно, для всех характерных точек сечения условие прочности выполняется.

Задача 21. Проверочный расчѐт двухопорной балки

Для стальной двухопорной балки, схема которой представлена на рис. 4.19, известна внешняя нагрузка, заданы размеры поперечного сечения и длина.

M	1	M2
	P1 q	P2	q2
		1

L1

L 2

Рис. 4.19

Требуется:

1.Из уравнений равновесия балки вычислить силы реакций опор.

2.Составить выражения для поперечных сил Qy и изгибающих момен-

тов Mx, вычислить их значения в характерных сечениях и построить эпюры Qy, Mx. Указать опасное сечение и значение Mxmax.

3.Для опасного сечения вычислить значения нормальных напряжений

max и изобразить эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по нормальным напряжениям при допускаемом напряжении 200МПа. Если условие прочности не удовлетворяется, указать размеры сечений, при которых оно выполняется.

4. Вычислить прогибы характерных сечений балки, изобразить изогнутую ось балки и проверить на жѐсткость при допускаемом прогибе f , равном 1/400 длины балки. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, указать размеры сечений, при которых оно выполняется.

166

5. Для сечения с Qymax вычислить значения касательных напряжений в характерных точках и построить эпюру распределения касательных

напряжений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по касательным напряжениям при 100МПа.

6. Исследовать напряжѐнное состояние в опасном сечении балки.

Решение 1. Вычисление опорных реакций

Имеем унифицированную схему балки на двух опорах (рис. 4.19). На балке два грузовых участка. Нагрузка, вызывающая плоский поперечный изгиб балки, представлена в виде сосредоточенных сил Р и моментов М, приложенных в начале каждого участка, а также распределѐнной нагрузкой по всей длине каждого участке интенсивности q. За положительное принято направление нагрузки, вызывающее положительные изгибающие моменты.

В случае расчѐта двухопорных балок вначале нужно вычислить опорные реакции RА и RВ, для чего составим уравнения равновесия по(4.1):

мом B 0 и

np y 0 .

Для рассматриваемой балки эти уравнения принимают вид:

P1·(l1+ l2)+P2·l2+q1·l1 ·(l1 /2 + l2)+q2 l2·l2 /2+M1+M2+RА·(l1 + l2) = 0,

P1+P2+q·1l1+q2·l2+RА+RВ = 0,

отсюда R				1			M		M		P ·(l l ) P ·l	q l ·(l	/ 2 l ) q	l 2	/ 2		,
	A							1		2
			l1	l2							1 1 2 2 2	1 1 1	2 2 2
									RВ = - (P1+P2+q1· l1+q2·l2+RА).						(4.12)

Если величины RА и RВ получаем положительными, то они направлены вверх. Для дальнейшего расчѐта двухопорных балок положим

Р1=P1+RA.

(4.13)

Этим сохраним унифицированную схему нагружения и возможность применить унифицированные формулы поперечных сил и изгибающих моментов, уже использованные в задаче 20.

Выполним расчѐт при следующих значениях: сосредоточенные силы Р1=0 и Р2=16кН, сосредоточенные моменты М1=0 и М2=-30кНм, интенсивность распределѐнной нагрузки q1=0 и q2=-20кН/м, длина участков L1=2м и L2=3м, сечение балки − два швеллера № 16.

167

По этим значениям построим реальную балку (рис. 4.20, б). Вычислим по (4.12) значения реакций:

RA

1

30 0 0 16 3 0 20 32 / 2 14,4 кН,

3

2

RВ =-(0+ 16 + 0- 20 3+14,4 )=29,6 кН.

Далее запишем по (4.13)

Р1= P1 + RA=0+14,4=14,4 кН.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Используя метод сечений и формулы задачи 20, составим выражения

поперечной силы и изгибающего момента по участкам балки.

1-й участок ( 0 z1 L1 ). В текущем сечении z1

1-го участка поперечная

сила Q1 и изгибающий момент M 1

запишем как

y

x

Q1

P q z ,

M1 M

P z

q z2

1

1

.

1

y

1

1

1

x

1

1

2

Подставив числовые значения, получим

Q1

=14,4 кН,

M1

14,4 z .

y

x

1

Подсчитаем величины моментов при граничных значениях z1 :

M

1 (0) 0,

M1 (2) 28,8

кН∙м.

x

x

2-й участок

(0 z

2

L ). Запишем выражения поперечной силы Q2

и

2

y

изгибающего момента M 2

по унифицированной схеме балки (рис. 4.20, а).

x

Q2

Q1 (l ) P q z

, M 2 M 1 (l ) M

(Q1

(l ) P ) z

q z2

2 2

.

2

2

2

y

y 1

2

2

x

x 1

y 1

2

2

Подставив числовые значения, получим следующие выражения Qy2 и

M x2 :

Qy2 30,4 20 z2 ,

M x2 30 28,8 30,4 z2 20 z22 / 2 1,2 30,4 z2 20 z22 / 2.

Подсчитаем значения Q2		и M	2	для граничных значений z			:
	y		x			2
Q2	(0) 30,4			кН,	Q2	(3) 29,6кН;
y					y
M 2 (0) 1,2				кН∙м,		M 2 (3) 0 кН∙м.
x						x

168

Нужно заметить, что значения усилий Qy и M x здесь также можно

вычислять непосредственно по схеме реальной балки, используя метод сечений, при этом получим те же значения.

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построим эпюры Qy и Mx (рис. 4.20, в, г). Для 1-го участка Q1y =const, значит, на эпюре Qy будет прямая, параллельная базисной линии (т. е. прямоугольник); а выражение M 1x соответствует уравнению наклонной прямой, поэтому на эпюре Mx отложим в начале 1-го участка значение 1,8 кН∙м, а в конце 0 и проводим наклонную прямую.

На 2-м участке сила Qy2 изменяется линейно. Отложив в начале 2-го участка Qy2 (0) 30,4 кН и в конце Qy2 (3) 29,6кН, проведѐм наклонную

а

б

в

г

Рис. 4.20

169

прямую (рис. 4.20, в), которая пересекает базисную линию в точке К. Так как функция момента M x2 имеет второй порядок по отношению к переменной z, то

при изображении момента должны изобразить квадратичную параболу. Как известно, это результат наличия распределѐнной нагрузки на этом участке. Пересечение эпюры Qy с базисной линий внесѐт следующую коррективу в изображение параболы: она получает перегиб в точке К. Здесь для построения

эпюры Mx надо знать значения моментов M x2 в начале, в конце участка и в сечении К, где M x2 получает экстремум. Для вычисления момента M x2 в сечении К необходимо найти абсциссу этого сечения z2 z0 . Величину z0 определяем из уравнения Qy2 0 , которое принимает вид:

30,4 20 z0 0. Получаем z0 30,420 1,52 м.

Подсчитаем значение экстремального момента M экс как момента M x2 при z0 1,52 м:

M экс 1,2 30,4 z0 20 z02 / 2 1,2 30,4 1,53 20 1,522 / 2 21,9 кН·м

.

Отложим значения моментов M x2 в начале, в конце участка и в сечении К и построим эпюру моментов на 2-м участке (рис. 4.20, г).

На построенной эпюре M x определяем опасное сечение балки, в котором

имеем максимальные значение момента Mmax: опасным является сечение К, и максимальное значение момента Mmax=28,8кН·м.

3. Проверка прочности по нормальным напряжениям

Вычислим значения нормальных напряжений max для опасного сечения К. Для рассматриваемого сечения балки − два швеллера № 16 по

таблице	ГОСТ 8240–93 (табл. 5 Приложения) момент сопротивления
W 103	см3, поэтому
x

			ζ			M max			28,8 103	154,2 106 Па=154,2МПа.
				max		W			2 93,4 10 6
						x
	Условие прочности							балки по		нормальным напряжениям (4.4)
ζmax		M max	ζ для нашего случая получает вид
		Wx						154,2МПа ζ 200МПа .

Как видно, условие прочности выполняется.

170