Расчёты по 1 части-ПРОСТОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

допускаемое напряжение 200МПа. Сравнить расход материала и указать экономный вариант.

4. Для экономного варианта сечения балки вычислить прогибы характерных сечений балки, изобразить изогнутую ось балки и проверить на жесткость при допускаемом прогибе f , равном 1/400 длины балки. Если условие жесткости не удовлетворяется, назначить новые размеры сечений.

Рис. 4.13

5. Вычислить значения нормальных напряжений max в опасном сечении балки, изобразить эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения (эпюру ).

6. Для сечения с Qy max вычислить значения касательных напряжений в характерных точках и построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по касательным напряжениям при 100 МПа.

7. Исследовать напряжѐнное состояние в опасном сечении балки.

Решение:

Решение для 1-го варианта схемы.

1. Вычисление сил реакции опор

Такой шарнир C является врезанным шарниром, который соединяет отдельные балочные элементы (балки). Разобьѐм заданную балку по врезанному шарниру на две простые, причѐм одну считаем верхней, а другую нижней (рис. 4.15, б, в).

Примечание: За верхнюю следует принимать ту балку, которая имеет две опоры (три реактивных усилий).

По сечению С имеем воздействие верхней на нижнюю в виде реакции RC , противоположной по направлению реакции в верхней балке.

Далее можно выполнять расчѐты для каждой балки по отдельности.

151

Рассматриваем балку CD (рис. 4.14, б). Силы реакции найдѐм из

уравнений равновесия		балки						при	плоском изгибе по (4.1)
момC 0, мом D 0, которые для данной балки принимают вид
				M RD 2l 0;
				RC 2l P2l M 0.
Из этих уравнений R				M			0,6ql 2		0,3ql ,
	D
				2l				2l
R			P			M		(1 0,3)ql 0,7ql .
	C					2l

Для проверки правильности найденных реакций в опорах составим уравнение равновесия пр y 0 : RC P RD 0,7ql ql 0,3ql 0.

Полученную реакцию		RC в качестве известной нагрузки перенесѐм на
балку AC.
Рассматриваем балку AC (рис. 4.14, в):
мом А 0;		R	1,25l R		l 0;
	или	C		B
мом B 0;		RC	0,25l RAl 0.

Получаем RB 1,25RC 1,25 0,7ql 0,875ql , RA 0,25RC 0,175ql .

Для проверки правильности найденных реакций в опорах составим уравнение равновесия

пр y 0 : RA RB RC 0,175ql 0,875ql 0,7ql 0.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Величины поперечных сил Qy и изгибающих моментов М x для каждого

участка балки определим из уравнений равновесия отсечѐнных частей (рис.

4.14, г):

I-й участок:

Q1	R		0,175ql;	M 1	R		z 0	M1	0;
						z	1	x
y		A		x		A 1	z l	M1	0,175ql 2 .
							1	x

152

а

б

в

г

д

е

Рис. 4.14

II-й участок:

Q2	R	A	R	B	0,175ql 0,875ql 0,7ql;
y
M x2 RA l z2 RB z2 0,175ql l z2 0,875qlz2							z	2	0
							z			l
								2
									4

III-й участок:

Qy3 RD 0,3ql;

Mx2 0,175ql 2 ;

Mx2 0.

153

M 3

R

M 0,3qlz

0,6ql 2

z

0

M3

0,6ql 2 ;

D

z

3

3

3

x

x

z

2l

M3

0.

3

x

Эпюры Qy и M x изображены на рис. 4.14, д, е. В месте расположения шарнира C изгибающий момент M x 0 . Из эпюры M x видно, что

М xmax 0,6ql2 .

3. Подбор размеров сечений

Подбор размеров коробчатого и кольцевого сечений; представленных на рис. 4.13, выполняем из условия прочности по допускаемым напряжениям (4.4), которое принимает вид

M max

0, 6ql2

ζ .

ζmax

x

Wx

Wx

Отсюда

M max

0, 6ql2

0, 6 10 103

2, 22

-6

3

3

x

Wx

145,2 10

м

=145,2

см

.

σ

200 106

200 106

Для коробчатого сечения выражение момента сопротивления

BH

3

3

3

3

W

b h

b 2b

0,6b 1,2b

0,5803b3 ,

6 2b

x

6H

где

B b ,

0,6b ,

H

2b ,

Тогда требуемое

значение

b

h 1,2b .

параметра

b 3

Wx

3

145,2

6,301

см . Принимаем b 6,4 см .

0,5803

0,5803

Для кольцевого сечения W

d

3

(1 c4 ),

где c 0,6 . Тогда требуемое

x

32

значение диаметра

d 3

Wx 32

3

145, 2 32

=11,93

см . Принимаем d =12 см.

(1 c4 )

(1 0,64 )

Сравним расход материала по площади поперечного сечения:

FКороб b 2b 0,6b 1,2b 2b2 0,72b2 1,28b2 1,28 6,42 52,43 см2 .

154

F		d 2	122
		(1 c2 )	(1 0,62 ) 72,38 см2 .
Кольц		4	4

Как видим, коробчатое сечение экономичнее, т.к. имеет меньшую площадь.

4. Определение перемещений

Данный пункт выполняется так же как в задачах 17, 20 и 21. Вычисляются прогибы характерных сечений балки, изображается изогнутая ось балки и проводится проверка на жѐсткость. Если условие жѐсткости не удовлетворяется, назначают новые размеры сечений.

5. Эпюра нормальных напряжений

Вычислим значения нормальных напряжений max для коробчатого сечения балки в опасном сечении D.

ζ			Mmax		0,6ql2		0,6 10 103 2,22	199,6 103 Па=199,6 МПа .
	max						145,2 10-6
			W		W
			x		x

Эпюра распределения нормальных напряжений по высоте сечения изображается как в задаче 21.

6. Эпюра касательных напряжений.

Из эпюры Qy выписываем

Qymax 0,7ql 0,7 10 103 2,2 15,4 103 Н=15,4 кН .

Далее расчѐт выполняется как в задачах 17, 20 и 21.

7. Исследование напряжѐнного состояния в опасном сечении балки.

Этот пункт выполняется как в задачах 20 и 21.

Решение для 2-го варианта схемы

1. Вычисление сил реакции опор

Разобьѐм балку на две по врезанному шарниру B (рис. 4.15, б), покажем воздействие балок реакцией RB , одинаковой по величине и противоположной

по направлению.

Рассматриваем верхнюю балку AB (рис. 4.15, б):

мом A 0;	или	RB 2l M 0;
мом B 0.		RA 2l M 0.

155

а

б

в

г

д

е

Рис. 4.15

Из этих уравнений получаем

R

M

0,6ql2

0,3ql ,

R

M

0,6ql2

0,3ql .

A

B

2l

2l

2l

2l

Для проверки правильности найденных реакций составим уравнение

равновесия пр y 0 :

RA RB 0,3ql 0,3ql 0.

156

Полученную реакцию RB как известную нагрузку перенесѐм на

нижнюю балку BD.

Рассматриваем балку BD (рис 4.15 в). Находить реакции в заделке не обязательно, так как при нахождении внутренних усилий можно идти от свободного края.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Величины поперечных сил Qy и изгибающих моментов М x для каждого

участка балки определим из уравнений равновесия отсечѐнных частей (рис

4.15 г).

I-й участок:

Q1y RA 0,3ql;

M 1

R

M 0,3qlz

0,6ql 2

z

0

M1

0,6ql 2 ;

z

1

x

x

A 1

1

z

2l

M1

0.

1

x

II-й участок:

z

2

0

Q2

0,3ql;

Q2

R

2qz

0,3ql 2qz

y

y

A

2

2

z

l

2

1,7ql.

2

Q

y

M 2

R

2l z

2q

z22

M

A

2

x

2

0,3ql 2l z

2

qz 2 0,6ql 2

z2

0

Mx2 0;

2

z

l

M2

0,7ql 2.

2

x

На эпюре Qy

есть пересечение с нулевой линией в точке K , в этой

точке на эпюре M x

возникает экстремум, вычислим значение этого момента.

Составим

Q2

R

2qz

0,3ql 2qz

0, откуда

z

0,3ql

0,15l .

A

K

K

K

y

2q

M K

0,3ql 2l z

K

qz2

0,6qlz

K

x

K

0,3ql 2l 0,15l q(0,15l)2 0,6ql 2 0,0225ql 2 .

III-й участок:

157

Q3

R

A

2ql 0,3ql 2qz

2

1,7ql;

y

M 3

R

A

3l z

3

2ql 0,5l z

3

M

x

0,3ql 3l z

3

2ql 0,5l z

3

0,6ql 2

z2

0

Mx2 0,7ql 2 ;

z

l

M2 2,4ql 2.

2

x

Эпюры

Qy

и

M x

построены на рис. 4.15, д, е. В месте шарнира C

изгибающий момент M

x

0 . Из эпюры М max

2,4ql2 .

x

Далее задача решается аналогично 1-му варианту схемы.

Задача 20. Проверочный расчѐт консольной балки

Для стальной консольной балки (рис. 4.16) известна внешняя нагрузка, заданы размеры поперечного сечения и длина.

M1		M2
P1	q1	P2	q2
	L 1		L 2
		Рис. 4.16

Требуется:

1.Составить выражения для поперечных сил Qy и изгибающих мо-

ментов Mx, вычислить их значения в характерных сечениях и построить эпюры Qy, Mx. Указать опасное сечение и значение Mxmax.

2.Для опасного сечения вычислить значения нормальных напряжений

max и изобразить эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по нормальным напряжениям при допускаемом напряжении 200МПа. Если условие прочности не выполняется, указать новые размеры сечений, при которых оно будет удовлетворено.

3. Вычислить прогибы характерных сечений балки, изобразить изогнутую ось балки и проверить на жѐсткость при допускаемом прогибе f , равном 1/400 длины балки. Если условие жѐсткости не выполняется, указать новые размеры сечений, при которых оно будет удовлетворено.

158

4. Для сечения с Qy max вычислить значения касательных напряжений в характерных точках и построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения (эпюру ). Проверить условие прочности балки по касательным напряжениям при 100 МПа.

5. Исследовать напряжѐнное состояние в опасном сечении балки. Для сечения балки можно взять:

1-й вариант – двутавр;

2-й вариант – два швеллера.

Решение:

1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

На рис. 4.16 изображена унифицированная схема консольной балки, в которой в начале каждого участка приложены сосредоточенные силы Р и моменты М и по всей длине каждого участке действует распределѐнная нагрузка интенсивности q. За положительное принято направление нагрузки, вызывающее положительные изгибающие моменты.

Пусть заданы следующие значения: сосредоточенные силы Р1=23кН и Р2=0, сосредоточенные моменты М1=-12кН·м и М2=0, интенсивность распределѐнной нагрузки q1=0 и q2=-29кН/м, длина участков L1=1,7м и L2=2,1м, сечение балки − двутавр № 33.

Вначале по этим значениям построим реальную балку (рис. 4.17, б). Она имеет два силовых участка.

Используя метод сечений, составим выражения поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx по участкам балки. При этом используем принятое правило знаков (см. рис. 4.2).

1-й участок: 0 z1 L1 . Для унифицированной балки (рис. 4.17, а) в

текущем сечении z

1-го участка поперечная сила Q1

и изгибающий момент

1

y

M 1

запишем в унифицированной форме как

x

Q1

P q z

1

M

P z

q z2

, M

1

1

.

x

1

y

1

1

1

1

1

2

Подставив заданные значения, получим Q1 =23 кН,

M

1

12 23 z .

y

x

1

Подсчитаем величины моментов для граничных значений z1 :

M 1 (0) 12кН∙м,

M1

(1,7) 27,1кН∙м.

x

x

2-й участок: 0 z

2

L . Запишем

выражения

поперечной

силы

Q2

и

2

y

изгибающего момента M 2

по унифицированной схеме балки (рис.4.17, а).

x

Q2 Q1 (l ) P q z

M 2 M1 (l ) M

P z

q z2

,

2

2

.

2

2

y

y 1

2

2

2

x

x 1

2

2

159

	Подставив числовые значения,				получим следующие выражения Q2						и
										y
M 2	:
x
	Q2	23 29 z	2	,	M 2	27 23 z	2	29 z 2 / 2 .
	y				x			2
	Подсчитаем значения Q2 и M 2				для граничных значений z				2	:
		y		x
		Q2 (0) 23 кН,				Q2 (2,1) 37,9 кН;
		y				y
	M 2	(0) 27 кН∙м,				M 2 (2,1) 11,35 кН∙м.
	x					x

Нужно заметить, что значения усилий Qy и M x можно вычислять

непосредственно по схеме реальной балки, используя также метод сечений, при этом получим те же значения.

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построим эпюры Qy и Mx (рис. 4.17, в, г). Для 1-го участка Q1y =const, значит, на эпюре Qy будет прямая, параллельная базисной линии (т. е. прямоугольник); а выражение M 1x соответствует уравнению наклонной прямой, поэтому на эпюре Mx проводим наклонную прямую.

	На 2-м участке сила Q2	изменяется линейно. Отложив Q2	(0) 23 кН и
	y	y
Q2	(2,1) 37,9 кН, проведѐм	наклонную прямую (рис. 4.17,	в), которая
y

пересекает базисную линию в точке К. Так как функция момента M x2 имеет

второй порядок по отношению к переменной z, то при изображении момента должны изобразить квадратичную параболу. Как известно, это результат наличия распределѐнной нагрузки на этом участке.

Пересечение эпюры Qy с базисной линий внесѐт следующее уточнение в изображение параболы: она получает перегиб в точке К. На этом участке для

построения эпюры Mx

надо знать значения моментов

M x2

в начале, в конце

участка и в сечении К,

где M 2

получает экстремум. Для вычисления момента

x

M 2

в сечении К необходимо найти абсциссу этого сечения z

2

z .

x

0

Величину z

0

определяем из уравнения Q2

(z ) 0 , которое принимает

y

0

вид:

23 29 z0 0 .

Получаем

z

23

0,79 м.

0

29

Подсчитаем значение экстремального момента

M экс

как момента M 2

x

при z0 0,79 м:

M экс 27 23 z 29 z 2 /

2 27 23 0,79 29 0,792

/ 2 36,2 кН∙м.

0

0

160