Веленкин;Комбинаторика
.pdf
-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ
knézqrjsnp ‰xtv ·zv rj lvuy xquunzéq·tvuy éjxwvsv ntqí sjlnp tj tvkvp lvxrn xvvzknzxzkynz xquunzéq·tvn qx}vltvn éjxwvsv ntqn sjlnp Ìzxílj q k€znrjnz ·zv * Q k Q éjo
ivs•¡n ·nu * Q− Êo énryééntztvmv xvvztv¡ntq¹ k€zn
rjnz ·zv * Q = Q Q
¬ znwné• éjxxuvzéqu xsy·jp rvmlj lvxrj xvxzvqz qo
Q + mvéqovtzjsnp q knézqrjsnp Æ ëzvu xsy·jn vltj sjl•¹
vi¹ojtj xzv¹z• k |ntzén lvxrq Ívsn rvzvévn vtj ojtqujnz xjuv xnin xquunzéq·tv Æ€·nérqkj¹ |ntzéjs•t€n mvéqovtzjs• q knézqrjs• wvsy·jnu ( Q× Q) lvxry tj rvzvéyí wénlxzvqz
wvxzjkqz• Q sjlnp ·zv uv tv xlnsjz• * Q xwvxvijuq dtj·qz
* Q+ = * Q = Q Q
èjxxuvzéqu znwné• tnxrvs•rv ivsnn xsv tyí ojlj·y v éjx wvsv ntq¹} tn unt¹í•q}x¹ wéq wvkvévzn lvxrq tj ° tj
éqx qoviéj ntv vltv qo zjrq} éjxwvsv ntqp tj lvxrn× Íyxz• lvxrj qunnz Q knézqrjsnp q Q mvéqovtzjsnp q
·qxsv sjlnp zv |
n Q Æ ëzvu xsy·jn sjl•¹ xzv¹•j¹ tj wnékvp |
||
|
knézqrjsq uv |
nz ojt¹z• síivn qo wvsnp |
|
|
révun ymsvk€} z |
n síivn qo Q − |
|
|
wvsnp tj ymsvkvn wvsn xzjkqz• sjl•í |
||
|
tns•o¹ wvzvuy |
·zv |
wvxsn wvkvévzj tj |
|
° wvsy·qsqx• i€ lkn sjl•q rvzvé€n |
||
|
i•íz léym léymj êzvp sjl•n xvvzknzxzky |
||
|
íz n•n zéq sjl•q xzv¹•qn xvvzknzxzknttv |
||
|
tj wvxsnltnp mvéqovtzjsq wvxsnltnp kné |
||
|
zqrjsq q wnékvp mvéqovtzjsq vtq wvsy |
||
|
·jízx¹ qo k€iéjttvp wvkvévzjuq tj ° |
||
èqx |
° q ° Æ€·nérqkj¹ mvéqovtzjsq q |
||
|
knézqrjsq tj rvzvé€} xzv¹z ëzq sjl•q |
||
wvsy·jnu éjxwvsv ntqn sjlnp tj lvxrn ( Q − )×( Q − ) visj
ljí•nn zvp n xquunzéqnp Ívëzvuy qunnz unxzv éjkntxzkv
5 Q = ( Q − )5 Q−
mln 5Q ² ·qxsv én¡ntqp ojlj·q ls¹ lvxrq Q×Q Ìzxílj ¹xtv |
|
·zv |
|
5 Q = Q ( Q − )( Q − ) |
|
ïqxsv én¡ntqp ojlj·q ls¹ lvxrq ( Q + )×( Q + ) zjrvn |
n |
rjr q ls¹ lvxrq Q× Q ² knl• tj lvxrn ( Q + )×( Q + ) vltj
sjl•¹ vi¹ojzns•tv xzvqz k |ntzén q uv tv k€·nértyz• |ntz éjs•t€n mvéqovtzjs• q knézqrjs• Ívëzvuy 5 Q+ = 5 Q
fquunzéq·t€n éjxxzjtvkrq |
|
|
|
¬ ls¹ lvxvr ( Q + )×( Q + ) q ( Q + )×( Q + ) ·qxsv én
¡ntqp éjktv tysí Æ xjuvu lnsn ls¹ rj lvp sjl•q kvouv t€ lkj xsy·j¹ ² sqiv vtj xzvqz k |ntzén lvxrq sqiv tn xzvqz k |ntzén k ëzvu xsy·jn sjl•¹ k}vlqz k ·nzknéry sjlnp wnén}v l¹•q} léym k léymj wéq wvkvévzj} lvxrq tj ° Ívëzvuy vi•nn
·qxsv sjlnp lvs tv qunz• kql qsq Q rvmlj tj lvxrn tnz |ntzéjs•tvmv wvs¹ qsq Q + rvmlj vtv nxz• Ònu xju€u u€
lvrjojsq ·zv 5 Q+ = 5 Q+ =
Ëjrvtn| tjplnu ·qxsv éjxwvsv ntqp Q sjlnp tj lvxrn Q×Q xquunzéq·t€} vztvxqzns•tv lqjmvtjsq rkjléjzj ls¹
vwénlnsnttvxzq inénu lqjmvtjs• wév}vl¹•yí ·néno tq tnn snkvn ymsvkvn wvsn rjr tj éqx Ìivotj·qu ·qxsv zjrq} éjxwvsv ntqp ·néno 4Q Òvmlj qunnz unxzv xvvztv¡ntqn
4Q = 4Q− + (Q − )4Q− |
|
Æ xjuvu lnsn sjl•¹ tj wnékvp knézqrjsq |
sqiv xzvqz k |
tq tnu snkvu ymsy sqiv tnz Æ wnékvu xsy·jn k€·nérqkjnu
wnékyí knézqrjs• q wnékyí mvéqovtzjs• q wvsy·jnu xquunz |
|||||||||||||
éq·tvn éjxwvsv |
|
ntqn Q − sjlnp tj lvxrn (Q − )×(Q − ) ïqxsv |
|||||||||||
zjrq} éjxwvsv |
ntqp éjktv 4Q− |
|
|
|
|
||||||||
Æv kzvévu xsy·jn ls¹ ljttvp sjl•q |
|
|
|
||||||||||
tjplnzx¹ léymj¹ xquunzéq·tj¹ x tnp vz |
|
|
|
||||||||||
tvxqzns•tv k€iéjttvp lqjmvtjsq Æ€ |
|
|
|
||||||||||
·nértnu knézqrjsq q mvéqovtzjsq tj rv |
|
|
|
||||||||||
zvé€} xzv¹z ëzq sjl•q q xvurtnu é¹l€ |
|
|
|
||||||||||
΀ wvsy·qu xquunzéq·tvn éjxwvsv |
ntqn |
|
|
|
|||||||||
Q − sjlnp tj lvxrn (Q − )×(Q − ) |
|
|
|
|
|||||||||
Ívxrvs•ry ·qxsv zjrq} éjxwvsv |
ntqp |
|
|
|
|||||||||
éjktv 4Q− j sjl•í uv |
|
tv wvxzjkqz• tj |
|
|
|
||||||||
síivn |
qo Q − |
wvsnp wnékvp |
knézqrjsq |
|
|
|
|||||||
zv wvsy·jnu (Q − )4Q− |
xwvxvivk Ìzxílj |
|
èqx |
|
|||||||||
q xsnlynz {véuysj Îv |
tv wvrjojz• |
|
|
|
|||||||||
·zv qo tnn xsnlynz éjkntxzkv |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
= + & + |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
||
|
|
|
|||||||||||
|
Q |
|
Q |
|
&Q &Q− |
|
|
&Q &Q− &Q− |
|
|
|||
vtv k€kvlqzx¹ wyznu éjoiqntq¹ kxn} éjxwvsv ntqp sjlnp tj rsjxx€ ² k V p rsjxx wvwjljíz éjxwvsv ntq¹ wéq rvzvé€} V wjé sjlnp tn wvwjljíz tj lqjmvtjs•
¬tjsvmq·tv wvrjo€kjnzx¹ ·zv ·qxsv %Q éjxxzjtvkvr Q sjlnp tj lvxrn Q×Q wéq rvzvé€} sjl•q tn i•íz léym léymj q éjxwvsv nt€ xquunzéq·tv vztvxqzns•tv vinq} lqjmvtjsnp
-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ
ylvksnzkvé¹nz |
xvvztv¡ntq¹u |
% Q = % Q− + ( Q − )% Q− |
% Q+ = % Q |
|
|
Ævxnu• {néonp
Ònwné• wvwéviynu wvxzjkqz• tj ¡j}ujztyí lvxry tjqivs• ¡nn ·qxsv {néonp zjr ·zvi€ tq vlqt qo tq} tn uvm ko¹z• léymvmv {néoq uvmyz iqz• wv mvéqovtzjs¹u knézqrjs¹u q lqjmvtjs¹u
Òjr rjr tj ¡j}ujztvp lvxrn zvs•rv mvéqovtzjsnp zv ¹xtv ·zv ivs•¡n {néonp wvxzjkqz• tj lvxry tn yljxzx¹
Ívëzvuy wvwéviynu wvxzjkqz• {néonp zjr ·zvi€ k€wvst¹svx• |
||
|
yrjojttvn yxsvkqn Íéq síivp zjrvp |
|
|
éjxxzjtvkrn tj rj lyí knézqrjs• q |
|
|
rj lyí mvéqovtzjs• wvwjlnz zvs•rv |
|
|
vlqt {néo• j wvzvuy uv tv ojwqxjz• |
|
|
ojt¹z€n wvs¹ k wvé¹lrn kvoéjxzjtq¹ |
|
|
tvunévk |
knézqrjsnp Ëv zvmlj rj lvn |
|
éjxwvsv |
ntqn vltvotj·tv vwénlns¹nzx¹ |
|
tvunéjuq mvéqovtzjsnp ojt¹z€} wvsnp |
|
|
z n tnrvzvévp wnénxzjtvkrvp ·qxns |
|
|
Ëjwéquné wnénxzj |
|
|
tvkrj votj·jnz ·zv tj lvxrn |
|
|
ojt¹z€ wvs¹ |
|
èqx |
mln |
|
|
² wvsn xzv¹•nn tj wnénxn·ntqq wnékvp |
|
knézqrjsq q zénz•np mvéqovtzjsq éqx q z l êzy ojlj·y uv tv én¡qz• sq¡• wé¹u€u wnénivévu kjéqjtzvk
Ìémjtqovkjz• ëzvz wnénivé uv tv zjr ftj·jsj xzjk¹z {néo¹ k snk€p tq tqp ymvs djznu xzjk¹z {néonp tj rj lyí xsnlyí•yí kné zqrjs• tj wnékvn xtqoy wvsn tn tj}vl¹•nnx¹ wvl ivnu éjtnn wvxzjk sntt€} {néonp cxsq lv}vl¹z lv knézqrjsq kxn wvs¹ rvzvévp iqz€ zv wnénlkqmjíz {néo¹ tj wvxsnltnp qo ojt¹z€} knézqrjsnp xzjk¹ nmv tj xsnlyí•nn wvsn ëzvp knézqrjsq tn tj}vl¹•nnx¹ wvl ivnu Çvmlj qx·néwjt€ kxn kvouv tvxzq wvsy·qz• }vz• vltv xkvivltvn vz iv¹ wvsn tj ljttvp knézqrjsq wnénlkqmj¹ {néo¹ tj wénl€ly•np knézqrjsq j ty tvp éjxxzjtvkrq tn tjplntv tj·qtjíz qxwéjks¹z• wvsv ntqn tj knézqrjsq éjxwvsv nttvp n•n tj vlqt é¹l ksnkv ïnéno tnxrvs•rv zjrq} ¡jmvk wvsy·jíz éjxxzjtvkry {néonp rvzvéyí uv tv ojljz• wvx snlvkjzns•tvxz•í ·qxns Íévlvs j¹ vwqxjtt€p wév|nxx uv tv tjpzq wvsv ntq¹ {néonp visjljí•q} zéniynu€u xkvpxzkvu
cxsq Q tn lnsqzx¹ tq tj tq tj zv tj lvxrn Q×Q
xy•nxzkyíz zjrqn Q éjxwvsv ntqp Q {néonp ·zv rj lvn wvsn ojt¹zv k vltvu q zvs•rv vltvu éjxwvsv ntqq Êt€uq xsvkjuq k ëzvu xsy·jn tj lvxry uv tv wvxzjkqz• wv Q {néonp Q éjosq·t€} |knzvk zjr ·zvi€ {néoq vltvmv q zvmv n |knzj tn uvmsq iqz• léym léymj
Æx¹ rvévsnkxrj¹ rvttq|j |
|
|
|
Æx¹ rvévsnkxrj¹ rvttq|j
Æojlj·n v {néo¹} u€ snmrv vwénlnsqsq ujrxqujs•tvn ·qxsv {qmyé rvzvé€n uv tv wvxzjkqz• tj lvxry ·zvi€ vtq tn iqsq léym léymj ² ls¹ ëzvmv lvxzjzv·tv i€sv wnénx·qzjz• ·qxsv mvéqovtzjsnp ‘j}ujzt€p rvt• }vlqz }qzénn ·nu {néo• ² vt wnénun•jnzx¹ qsq tj wvs¹ wv knézqrjsq q vltv wv mvéqovtzjsq qsq tj wvs¹ wv mvéqovtzjsq q vltv wv knézq rjsq Ívëzvuy xéjoy xrjojz• ·nuy éjktv tjqivs•¡nn ·qxsv rvtnp rvzvé€} uv tv wvxzjkqz• tj ¡j}ujztyí lvxry ·zvi€
vtq |
tn iqsq léym léymj xsv tnn Æwév·nu tnzéyltv tjpzq |
tq |
tíí v|ntry ls¹ ëzvmv ·qxsj Ænl• wéq }vln rvt¹ rj l€p |
éjo unt¹nzx¹ |knz ojt¹zvmv qu wvs¹ Ívëzvuy rvtq wvxzjksnt t€n tj ·nét€n wvs¹ i•íz zvs•rv ins€n wvs¹ j léym léymj
iqz• tn uvmyz Òjr rjr tj lvxrn ·nét€} wvs¹ zv uv tv wvxzjkqz• zéniynu€u viéjovu rvtnp Ìtq lné jz wvl ivnu kxn ins€n wvs¹ Æzvévp xwvxvi éjxxzjtvkrq ² wvxzjkqz• kxn} rvtnp tj ins€n wvs¹
Íévisnuj ojrsí·jnzx¹ k zvu tns•o¹ sq rjr zv wnénxzévqz• éjxwvsv ntqn rvtnp wvunxzqk ·jxz• qo tq} tj ·nét€n wvs¹ j ·jxz• tj ins€n ·zvi€ tj¡svx• unxzv
ls¹ mv rvt¹ Ê }vz¹ qtzyq|q¹ wvl
xrjo€kjnz ·zv |
ëzv tnkvouv tv |
tju |
|
|||||
ty tv |
xzévmvn |
ujznujzq·nxrvn |
lvrjoj |
|
||||
zns•xzkv ëzvp tnkvouv |
tvxzq |
|
|
|
||||
bs¹ lvrjojzns•xzkj |
éjolnsqu |
kxí |
|
|||||
lvxry tj ·jxznp × éqx |
|
Ëj |
|
|||||
rj lvp qo tq} uv tv éjxwvsv |
qz• tn |
|
||||||
ivsnn ·nz€én} rvtnp ² síivp rvt• tj |
|
|||||||
lvxrn × lné |
qz wvl ivnu évktv vltv |
|
||||||
wvsn |
Ìzxílj |
q |
xsnlynz ·zv |
tj |
kxí |
èqx |
||
lvxry |
× uv |
tv wvxzjkqz• tn ivsnn |
||||||
|
||||||||
= rvtnp j ëzv ·qxsv rvtnp u€ y n yunnu xzjkqz• Òv·tv zjr n lvrjo€kjnzx¹ ·zv tj lvxry Q×Q uv tv wvxzjkqz• Q
tn i•í•q} léym léymj rvtnp nxsq Q ·nztv q (Q + ) rvtnp nxsq Q tn·nztv
djlj·q
j frvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvxzjkqz• ins€} ¡j¡nr tj ¡j}ujztvp lvxrn zjr ·zvi€ ëzv éjxwvsv ntqn tn unt¹svx• wéq wvkvévzn lvxrq tj °"
i frvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvxzjkqz• ins€} ¡j¡nr tj réjptqn sqtqq ¡j}ujztvp lvxrq zjr ·zvi€ ëzv éjxwvsv ntqn tn unt¹svx• wéq wvkvévzn lvxrq tj °"
j frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxxzjkqz• ins€} ¡j¡nr tj ¡j}ujztvp lvxrn zjr ·zvi€ ëzv éjxwvsv ntqn i€sv xquunzéq·tv vztvxqzns•tv mvéqovtzjs•tvp sqtqq lns¹•np lvxry wvwvsju"
|
-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ |
|
|
i Òv |
n xjuvn wéq yxsvkqq ·zv ¡j¡rq xzjk¹zx¹ tj ·nét€n wvs¹ |
k èn¡qzn zn n ojlj·q wéq yxsvkqq ·zv éjxwvsv ntqn lvs tv i€z• xquunzéq·t€u vztvxqzns•tv |ntzéjs•tvp zv·rq lvxrq
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxxzjkqz• ins€} q ·nét€} ¡j¡nr tj ·nét€n wvs¹ lvxrq zjr ·zvi€
j ëzv wvsv ntqn i€sv xquunzéq·tv vztvxqzns•tv |ntzéj lvxrq
i wéq xquunzéqq vztvxqzns•tv |ntzéj lvxrq |knzj kxn} ¡j¡nr unt¹sqx•"
Ëj ¡j}ujztyí lvxry x P mvéqovtzjs¹uq q Q knézqrjs¹uq wvxzjksntv N sjlnp bvrj qzn ·zv uqtqujs•tvn ·qxsv sqtqpk€iqéjnu€} qo xvkvrywtvxzq mvéqovtzjsnp q knézqrjsnp xvlné j •q} kxn sjl•q éjktv ujrxqujs•tvuy ·qxsy sjlnp rvzvé€} uv tv k€iéjz• qo wvxzjksntt€} tj lvxry zjr ·zvi€ k€iéjtt€n sjl•q tn iqsq léym léymj
-véqovtzjsq ¡j}ujztvp lvxrq vivotj·jízx¹ vi€·tv |q{éjuq vz lv j knézqrjsq ² iyrkjuq vz D lv K djtyunéynu q knézqrjsq ·qxsjuq vz lv wéq·nu k wévqokvs•tvu wvé¹lrn Ònwné• tjwq¡nu tj rj lvu wvsn wévqoknlntqn ·qxns votj·jí•q} xvvzknzxzkyí•qn mvéqovtzjs• q knézqrjs• q éjxxzjkqu wévqokvs•t€u viéjovu sjlnp zjr ·zvi€ vtq tn iqsq léym léymj Ëjplqzn wévqoknlntqn ·qxns ojré€z€} ëzquq sjl•¹uq
bvrj qzn ·zv ·qxsv xwvxvivk éjxxzjkqz• tj ¡j}ujztvp lvxrn tjqivs•¡nn ·qxsv xsvtvk zjr ·zvi€ vtq tn uvmsq ko¹z• léym léymj ¹ks¹nzx¹ rkjléjzvu tnrvzvévmv ·qxsj
Ívxzjk•zn tj ¡j}ujztyí lvxry {néonp zjr ·zvi€ vtq lné jsq wvl yljévu kxn nn wvs¹
Ívxzjk•zn tj ¡j}ujztyí lvxry {qmyé rvévs¹ {néo¹ lky} sjlnp lky} xsvtvk lky} rvtnp zjr ·zvi€ vtq lné jsq wvl yljévu tjqivs•¡nn ·qxsv wvsnp
bvrj qzn ·zv ujrxqujs•tvn ·qxsv xsvtvk rvzvé€n uv tv wvxzjkqz• tj (Q×Q) lvxry zjr ·zvi€ vtq tn iqsq léym léymj éjktv
Q −
bvrj qzn ·zv ujrxqujs•tvn ·qxsv rvévsnp rvzvé€n uv tv wvxzjkqz• tj (Q×Q) lvxry zjr ·zvi€ vtq tn iqsq léym léymj éjktv
Q nxsq Q ·nztv q (Q + ) nxsq Q tn·nztv
Çjrvn tjqunt•¡nn ·qxsv xsvtvk tjlv wvxzjkqz• tj ¡j}ujztyí lvxry ·zvi€ vtq lné jsq wvl ivnu rj lvn wvsn lvxrq q rj l€p xsvt i€s oj•q•nt léymqu"
èjxxzjk•zn tj ¡j}ujztvp lvxrn tjqunt•¡nn ·qxsv sjlnp zjr ·zvi€ rj lvn wvsn i€sv iqzv wv réjptnp unén lkj éjoj èn¡qzn ojlj·y k lky} kjéqjtzj}
j x·qzj¹ ·zv sjl•¹ tn i•nz wvsnp ojxsvtntt€} vz tnn léymquq sjl•¹uq
i x·qzj¹ ·zv vtj i•nz zjrqn wvs¹
Çjrvn tjqivs•¡nn ·qxsv ljuvr uv tv wvxzjkqz• tj ·nét€n wvs¹ ¡j}ujztvp lvxrq zjr ·zvi€ rj lyí ljury uvmsj xt¹z• }vz¹ i€ vltj qo vxzjs•t€} ljuvr"
Çjrvn tjqunt•¡nn ·qxsv rvtnp ty tv éjxxzjkqz• tj ¡j}ujz tvp lvxrn ·zvi€ kxn wvs¹ i€sq wvl yljévu wvsn mln xzvqz rvt• x·qzjnzx¹ wvl yljévu "
bkj rvt¹ |
|
|
|
j Çyi Q×Q×Q éjoiqz tj Q nlqtq·t€} ryiqrvk Ìivotj·qu ·néno $Q tjqunt•¡nn rvsq·nxzkv ©zén}unét€} sjlnpª rvzvé€n lné jz
wvl yljévu kxn ryiqrq bvrj qzn ·zv $Q = Q wéq ·nztvu Q q
$Q = (Q + ) wéq tn·nztvu Q
i Ëjplqzn tjqivs•¡nn ·qxsv sjlnp rvzvé€n uv tv wvxzjkqz• k ryin Q×Q×Q zjr ·zvi€ vtq tn iqsq léym léymj
bkj rvt¹
Æëzvu wytrzn u€ vméjtq·qux¹ kxnmv lkyu¹ {qmyéjuq q wvxuvzéqu xrvs•rv nxz• xwvxvivk éjxxzjkqz• q} tj lvxrn zjr ·zvi€ vtq tn uvmsq iqz• léym léymj qsq tjvivévz uvmsq iqz•oj•q•jz• léym léymj
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxxzjkqz• tj lvxrn P×Q
insvmv q ·nétvmv rvtnp zjr ·zvi€ vtq tn iqsq léym léymj"
èn¡ntqn ëzvp ojlj·q vxsv t¹nzx¹ znu ·zv tj éjot€} wvs¹} lvxrq rvt• qunnz éjosq·tvn ·qxsv }vlvk ² nxsq P ≥ q
Q ≥ zv k ymsy lvxrq y rvt¹ kxnmv lkj }vlj tj vltq} réjptq}
wvs¹} ² zéq }vlj tj léymq} ² ·nz€én }vlj j k |ntzén ² }vlvk êzv xk¹ojtv x znu ·zv rvt• uv nz wvpzq tj vltv wvsn k vltvu tjwéjksntqq kkné} ktqo tjwéjkv tjsnkv q tj lkj k wnéwntlqrys¹étvu k síiyí qo lky} xzvévt Æxnmv y rvt¹kqlvk }vlvk rvzvé€n uv tv ojljz• yrjojk xrvs•rv wvsnp vt wév}vlqz k mvéqovtzjs•tvu tjwéjksntqq q xrvs•rv k kné zqrjs•tvu êzq }vl€ quníz zjrqu viéjovu xsnlyí•qp kql ( ) ( − ) ( ) ( − ) (− ) (− − ) (− ) (− − ) Ëv
nxsq tj lvxrn xzvqz ins€p rvt• rvzvé€p lné qz wvl yljévu ·nétvmv zv vwénlnsnt q nlqtxzkntt€p }vl rvzvé€u vt nuy ymév jnz Ívëzvuy éjxxuvzéqu kxn }vlvk wv vzlns•tvxzq
Íéq }vln ( ) ins€p rvt• uv nz xzv¹z• tj síivp knézq
rjsq révun wvxsnltq} lky} q síivp mvéqovtzjsq révun xjuvp wvxsnltnp ² qtj·n wéq }vln ( ) vt k€plnz oj wénlns€ lvxrq
dtj·qz knézqrjs• uv tv k€iéjz• Q − xwvxvijuq j mvéqovt zjs• P − xwvxvijuq j kxnmv wvsy·jnu (P − )(Q − ) xwvxvivk wvxzjkqz• insvmv rvt¹ zjr ·zvi€ }vlvu ( ) vt lné js wvl
vixzénsvu rjrvn zv wvsn lvxrq tj rvzvévn q tjlv xzjkqz• ·nétvmv rvt¹ Æ xqsy xquunzéqq ¹xtv ·zv xzvs•rv n xwvxvivk wvxzjkqz• insvmv rvt¹ wéq }vlj} ( − ) (− ) (− − ) ¬ ls¹
rj lvmv qo }vlvk ( ) ( − ) (− ) (− − ) ·qxsv xwvxvivk éjktv (P − )(Q − ) Ìzxílj xsnlynz ·zv vi•nn ·qxsv xwvxvivk
éjxxzjtvkrq insvmv q ·nétvmv rvtnp wéq rvzvé€} vtq i•íz léym léymj k€éj jnzx¹ {véuysvp
(P − )(Q − ) + (P − )(Q − ) = PQ − P − Q +
|
-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ |
|
|
cxsq |
i€ u€ xzjkqsq rvtnp vltvmv q zvmv n |knzj zjr |
·zvi€ vtq uvmsq oj•q•jz• léym léymj zv wvsy·qsq i€ klkvn unt•¡n xwvxvivk qo oj kvouv tvxzq wvunt¹z• rvtnp unxzjuq ¬ ·qxsv xwvxvivk éjxxzjkqz• lky} rvtnp éjotvmv |knzj zjr ·zvi€ vtq tn uvmsq iqz• léym léymj éjktv
PQ(PQ − ) − > (P − )(Q − ) + (P − )(Q − )@ =
= P Q − PQ + P + Q −
wvzvuy ·zv wvxzjkqz• tj lvxry P×Q lkn éjot€n {qmyé€ uv tv PQ(PQ − ) xwvxvijuq
fvxzjkqznsq ¡j}ujzt€} ojlj· qtvmlj kkvl¹z ©xrjov·t€nª {qmyé€ rvzvé€n }vl¹z tn zjr rjr vi€·t€n Ëjwéquné (S T) rvt• }vlqz tj S wvsnp k vltvu tjwéjksntqq q T wvsnp k
wnéwntlqrys¹étvu Ìi€·t€p rvt• ² ëzv ( ) rvt• èjxxy lj¹
zv·tv |
zjr |
n rjr q éjtnn |
k€kvlqu ·zv nxsq < S < T |
S ≠ T |
zv tj |
lvxrn P×Q uv |
tv (P − S)(Q − T) + (P − T)(Q − S) |
xwvxvijuq wvxzjkqz• lky} (S T) rvtnp éjotvmv |knzj zjr ·zvi€
vtq iqsq léym léymj nxsq S qsq T ivs•¡n P qsq Q zv rjrj¹ sqiv xrvirj uv nz vrjojz•x¹ vzéq|jzns•tvp zvmlj x·q zjnu nn éjktvp tysí cxsq n S qsq T éjktv tysí qsq S = T zv wvsy·jnzx¹ klkvn unt•¡n xwvxvivk ïqxsv xwvxvivk
yunt•¡jnzx¹ klkvn q k xsy·jn rvmlj rvtq vlqtjrvkvmv |knzj
Éíiyí ¡j}ujztyí {qmyéy uv tv éjxxujzéqkjz• rjr vi~n lqtntqn tnxrvs•rq} (S T) rvtnp wéq éjot€} otj·ntq¹} S q T
Ëjwéquné ¡j}ujzt€p rvévs• ¹ks¹nzx¹ vi~nlqtntqnu ( ) q ( ) rvtnp Ívëzvuy lky} ¡j}ujzt€} rvévsnp éjotvmv |knzj wvxzjkqz• tj lvxry P×Q zjr ·zvi€ vtq iqsq léym léymj uv tv >(P − )Q + P(Q − )@ + (P − )(Q − ) xwvxvijuq Ìzxílj snmrv
tjpzq xrvs•rv nxz• xwvxvivk wvxzjkqz• lky} vltv|knzt€} rv évsnp wvllné qkjí•q} léym léymj q xrvs•rv ² lky} éjotv |knzt€} rvévsnp tn i•í•q} léym léymj
‘j}ujzt€p xsvt ¹ks¹nzx¹ vi~nlqtntqnu ( ) ( )
(S S) rvtnp S ² tjqunt•¡nn qo ·qxns P − Q − Íénlwv sv qu ls¹ vwénlnsnttvxzq ·zv P ≤ Q Òvmlj S = P − q lky} xsvtvk éjotvmv |knzj uv tv wvxzjkqz•
>(P − )(Q − ) + (P − )(Q − ) + + (Q − P + )@
xwvxvijuq ·zvi€ vtq iqsq léym léymj èjxré€kj¹ xrvirq q qxwvs•oy¹ {véuys€ ls¹ xyuu€ tjzyéjs•t€} ·qxns vz lv P − q xyuu€ rkjléjzvk ëzq} ·qxns wvsy·jnu ·zv ·qxsv xwv
xvivk uv tv ojwqxjz• zjr |
P(P − )( Q − P − ) |
|
|
|
|
djlj·q |
|
|
|
Íéq P > Q tjlv wvunt¹z• évsq P q Q |
Æ ·jxztvxzq nxsq |
(P − )( P − )
P = Q zv wvsy·jnu P xwvxvivk
bs¹ sjlnp wév•n wvlx·qzjz• ·qxsv xwvxvivk éjxxzjtvkrq qtj·n Ènsyí sjl•í uv tv wvxzjkqz• tj síivn qo PQ wvsnp Ívxsn ëzvmv vtj lné qz wvl ivnu P + Q − wvs¹ tj síivn qo
rvzvé€} uv tv wvxzjkqz• ·nétyí sjl•í Ívëzvuy kxnmv wvsy ·jnu PQ(P + Q − ) xwvxvivk éjxxzjtvkrq lky} sjlnp éjot€}
|knzvk wéq rvzvé€} vtq i•íz léym léymj
Òjr rjr {néo¹ uv tv éjxxujzéqkjz• rjr vi~nlqtntqn sjl•q q xsvtj zv tj lvxrn P×Q wéq P ≤ Q uv tv
P(P − )( Q − P − ) + PQ(P + Q − )
xwvxvijuq wvxzjkqz• lky} {néonp éjot€} |knzvk zjr ·zvi€ vtq iqsq léym léymj Íéq P = Q ëzv k€éj ntqn wéqtqujnz kql
P(P − )( P − ) Íénlvxzjks¹nu ·qzjznsí wvlx·qzjz• xrvs•
rquq xwvxvijuq uv tv éjxxzjkqz• ëzq {qmyé€ zjr ·zvi€ vtq tn uvmsq iqz• léym léymj
djlj·q
Æ ¡j}ujztvp vsquwqjln y·jxzkyíz wénlxzjkqznsq Q xzéjt wvwénlxzjkqzns¹ vz rj lvp xzéjt€ frvs•rquq xwvxvijuq vtq uvmyz kxzjz• k é¹l zjr ·zvi€ é¹lvu x rj l€u i€s wénlxzjkqzns• zvp n xzéjt€"
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxxzjkqz• P ins€} q Q ·nét€} ¡jévk zjr ·zvi€ un ly ins€uq q ·nét€uq ¡jéjuq i€sv U −
rvtzjrzvk" U rvtzjrzvk"
Æ ¡néntmy wvxzévnt€ P {éjt|yovk q Q jtmsq·jt zjr ·zv é¹lvu x rj l€u xzvqz }vz¹ i€ vlqt nmv xvvzn·nxzknttqr Ívrj qzn ·zv ·qxsv zjrq} éjxxzjtvkvr éjktv
P Q [ + (& |
+ & )(& |
+ & ) + (& |
+ & )(& |
+ & ) + |
|||||
P− |
P− |
Q− |
Q− |
P− |
|
P− |
Q− |
|
Q− |
|
|
|
|
+ (& |
|
+ & |
)(& |
|
+ & ) + ] |
|
|
|
|
P− |
P− |
Q− |
Q− |
||
frvs•rv xy•nxzkynz xsvk lsqt€ Q qo |q{é q k rvzvé€} tnz xvxnltq} |q{é "
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjolnsqz• rvsvly qo rjéz wvwvsju zjr ·zvi€ k rj lvp wj·rn i€sv wv zyoj"
j frvs•rquq xwvxvijuq ·nsvknrj uvmyz éjolnsqz• un ly xvivp vlqtjrvk€} ¹isvr jwns•xqt xsqky ujtljéqt méy¡yjpky q }yéuy"
i frvs•rquq xwvxvijuq uv tv k€wvstqz• ëzvz éjolns zjr ·zvi€ rj l€p wvsy·qs wv wsvlj"
|
-sjkj ,,, è¬fÇɬbÇÊ |
|
|
Éq|j $ % q & quníz wv ¹isvrj rj l€p q révun zvmv $ qunnz méy¡y xsqky q jpky % qunnz jwns•xqt squvt q}yéuy & qunnz ujtljéqt wnéxqr q jiéqrvx frvs•rquq xwvxvijuq vtq uvmyz éjxwénlnsqz• un ly xvivp ëzq {éyrz€ zjr ·zvi€ rj l€p wvsy·qs wv wsvlvk"
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxwénlnsqz• rvxznp lvuqtv un ly qmévrjuq wv rvxznp rj lvuy zjr ·zv
j qmévr $ wvsy·jnz ©lyisnpª z n rvxznp _ _ _ _ __ q _
i }vz• vlqt qo qmévrvk wvsy·jnz ©lyisnpª
k qmévr $ wvsy·qz ©lyisnpª" |
|
|||
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjoljz• rvsvly k rjéz€ |
||||
qmévrju wv |
|
rjéz€ rj |
lvuy qmévry" èn¡qzn zy n |
ojlj·y wéq |
yxsvkqq ·zv rj |
l€p lvs |
nt wvsy·qz• wv vltvp rjézn rj |
lvp ujxzq |
|
èn¡qzn zy |
n ojlj·y wéq yxsvkqq ·zv vlqt qmévr qunnz rjéz€ kxn} |
|||
·nz€én} ujxznp j vxzjs•t€n ² rjéz€ vltvp ujxzq |
|
|||
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjoljz• rjéz€ qmévrju zjr ·zvi€ rj l€p wvsy·qs wv zéq rjéz€ zén} ujxznp q ·nz€én rjéz€ ·nzknézvp ujxzq"
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjoljz• éjosq·t€} wénlunzvky·jxztqrju zjr ·zvi€ ·nzknév qo tq} wvsy·qsq wv wénlunzj j w¹z€p ² wénlunzj" èn¡qzn zy n ojlj·y nxsq zévn wvsy·jíz wvwénlunzj j lkvn ² wv wénlunzj
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjoljz• rtqm sq|ju $ % q & zjr ·zvi€ $ q % kunxzn wvsy·qsq klkvn ivs•¡n rtqm ·nu &"
Æ sq{z kv¡sq ·nsvknr frvs•rquq xwvxvijuq vtq uvmyz k€pzq tj ëzj j} zjr ·zvi€ tj rj lvu ëzj n k€¡ns }vz¹ i€ vlqt ·nsvknr"
Êunnzx¹ Q ins€} q vlqt ·nét€p ¡jé frvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvsv qz• tnrvzvé€n qo ëzq} ¡jévk k Q + syoy nxsq k rj lyí
syoy wvun•jnzx¹ sq¡• vlqt ¡jé"
j bvrj qzn ·zv ·qxsv xwvxvivk rvzvé€uq lkj ·nsvknrj uvmyz éjolnsqz• Q wénlunzvk vltvmv kqlj Q wénlunzvk léymvmv kqlj q Q wénlunzvk zénz•nmv kqlj zjr ·zvi€ rj l€p wvsy·qs Q
wénlunzvk éjktv Q + Q +
i bvrj qzn ·zv nxsq lvijkqz• Q wénlunzvk ·nzknézvmv kqlj zv ·qxsv xwvxvivk éjolnsj wéq rvzvévu rj l€p wvsy·jnz Q wénlunzvk
éjktv ( Q + )( Q + Q + )
k bvrj qzn |
·zv nxsq |
zn |
n wénlunz€ |
éjxrsjl€kjízx¹ k lkj |
|
tnéjosq·qu€} |
¹•qrj |
zv |
vzknz€ |
iylyz |
xvvzknzxzknttv |
( Q + Q + ) q (Q + )( Q + Q + ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
bvrj qzn ·zv ·qxsv xwvxvivk lnsntq¹ P kqlvk wénlunzvk wvQ wénlunzvk rj lvmv kqlj tj lkn ·jxzq wv PQ wénlunzvk k rj lvp k€éj jnzx¹ {véuysvp
P− |
− & &P− |
+ & &P− |
− + (− )N&N &P− |
+ |
&PQ+P− |
P PQ+P− Q− |
P PQ+P− Q− |
P PQ+P− −N( Q+ ) |
|
djlj·q |
|
|
|
j Ìivotj·qu ·néno 1(U N P) ·qxsv xwvxvivk éjounxzqz• U
vlqtjrvk€} ¡jévk k N ¹•qrj} zjr ·zvi€ k rj lvu ¹•qrn i€sv tn ivsnn P ¡jévk bvrj qzn ·zv
1(U N P) = 1(U N − P) + 1(U − N − P) + + 1(U − P N − P) i Ìivotj·qu ·néno 1(U N P M) ·qxsv xwvxvivk éjounxzqz• U
vlqtjrvk€} ¡jévk k N ¹•qrj} zjr ·zvi€ k rj lvu ¹•qrn sn jsv tn ivsnn P ¡jévk q M ¹•qrvk xvlné jsv évktv P ¡jévk rj l€p bvrj qzn ·zv 1(U N P M) = &M 1(U − PM N − M P − )
N
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvsv qz• w¹z• ins€} ¡jévk w¹z• ·nét€} ¡jévk q w¹z• réjxt€} ¡jévk k zéq éjosq·t€} ¹•qrj rsjl¹ wv w¹z• ¡jévk k rj l€p ¹•qr"
bvrj qzn ·zv ·qxsv xwvxvivk éjxwénlnsqz• zéq kqlj kn•np wv Q wénlunzvk rj lvmv kqlj un ly zénu¹ sq|juq $ % & zjr ·zvi€
|
|
− & |
rj l€p wvsy·qs Q wénlunzvk éjktv &Q+ &Q+ |
Q+ |
|
Êunnzx¹ ¡jévk ·nét€} réjxt€p ins€p q xqtqp frvs•rquq xwvxvijuq uv tv xvxzjkqz• qo tq} é¹l xvlné j•qp ¡jéj"
Êunnzx¹ Q vlqtjrvk€} wénlunzvk q n•n Q éjosq·t€} wénlun zvk frvs•rquq xwvxvijuq uv tv k€iéjz• qo tq} Q wénlunzvk" frvs•rquq xwvxvijuq uv tv ywvé¹lv·qz• kxn Q wénlunzvk"
(Q )
bvrj qzn ·zv nxsq Q ² |nsvn ·qxsv zv (Q )Q+
nxsq P q Q ² tn·nzt€n ·qxsj zv |
(PQ) |
|
|
Q+ P+ ² |nsvn |
|||
|
|||
(P ) (Q )
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjxwénlnsqz• Q éjot€} rtqm un ly zénu¹ sq|juq zjr ·zvi€ rvsq·nxzkj rtqm viéjovkjsq jéq{un zq·nxryí wévménxxqí"
frvs•rquq xwvxvijuq uv tv xvxzjkqz• ©xsvkª qo kxn} iyrk nxsq k xvkvrywtvxzq ëzq} xsvk rj lj¹ iyrkj qxwvs•oynzx¹ vlqt q zvs•rv vlqt éjo"
|
Çvuwjtq¹ xvxzv¹•j¹ qo xywéy nxrq} wjé lnsqzx¹ tj |
||||||
méyww wv |
|
·nsvknrj |
ls¹ svlv·tvp wévmysrq zjr ·zvi€ k |
rj lvp |
|||
svlrn vrjojsqx• lkvn uy ·qt q lkn |
nt•qt€ |
|
|||||
|
j frvs•rquq xwvxvijuq uv tv q} éjolnsqz•" |
|
|||||
|
i Æv xrvs•rq} xsy·j¹} ljtt€p uy ·qtj vrj nzx¹ k vltvp svlrn |
||||||
xv xkvnp |
ntvp" |
|
|
|
|||
|
k Æv xrvs•rq} xsy·j¹} ljtt€n lkvn uy ·qt vrj yzx¹ rj |
l€p k |
|||||
vltvp svlrn xv xkvnp |
ntvp" |
|
|
||||
|
Êunnzx¹ ST + U |
éjot€} wénlunzvk mln ≤ U < S Ìtq lns¹zx¹ |
|||||
un |
ly S |
síl•uq kvouv tv évktnn |
rj l€p wvsy·jnz sqiv |
T sqiv |
|||
T + wénlunzvk Ívrj |
qzn ·zv ·qxsv xwvxvivk zjrvmv éjolnsj éjktv |
||||||
&U |
(ST + U) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S (T + )U (T )S |
|
|
|
|
|||