Веленкин;Комбинаторика

-sjkj , МИХКc Ни¬ЖКЙ¬ ЗМОИКЛ¬ТМиКЗК

vi•nn rvsq·nxzkv N otj·t€} ·qxns k Q q·tvp xqxznun x·qxsntq¹ éjktv QN − QN− = QN− (Q − )

Ëjwéquné k lnx¹zq·tvp xqxznun x·qxsntq¹ qunnu =

·nz€én}otj·t€} ·qxns ² qo ·qxns vz lv tjlv vziév xqz• z€x¹·y ·qxns j qunttv ·qxsj vz lv vxzjízx¹ ·qxsj vz

lv

Ívsy·nttyí tjuq {véuysy uv tv k€knxzq qt€u xwvxvivu Ínékvp

|q{évp k N otj·tvu ·qxsn ojwqxjttvu wv Q q·tvp xqxznun x·qxsntq¹ uv nz i€z• síij¹ qo |q{é Q − Æzvévp n q ljs•tnp¡quq

² síi€n qo |q{é Q − Òjrqu viéjovu tj wnékvn unxzv y tjx Q − rjtlqljzvk j tj vxzjs•t€n N − unxz ² wv Q rjtlqljzvk

Ìzxílj wv wéjkqsy wévqoknlntq¹ wvsy·jnu ·zv qxrvu€} ·qxns uv nz i€z• (Q − )QN−

Æ rj·nxzkn wéqunéj éjxxuvzéqu zjryí ojlj·y Íénlwvsv

qu ·zv zjpt€p tjivé |q{é r ojury qo wénl€ly•nmv wytrzj

}vz¹z wnénljz• k kqln xvvi•ntq¹ qo N otjrvk rj lvn vltvmv
qo lky} kqlvk qsq	Çjrvkv tjqunt•¡nn ty		tvn ls¹ ëzvmv
·qxsv otjrvk"
΀ y n otjnu ·zv	qo N zjrq} otjrvk uv		tv xvxzjkqz•
N éjosq·t€} rvuiqtj|qp		rj lj¹ ² tnrvzvévn lkvq·tvn
N otj·tvn ·qxsv Çj lvuy		kvouv tvuy tjivéy	|q{é ojurj
lvs tv xvvzknzxzkvkjz•	xkvn	N otj·tvn ·qxsv wvëzvuy uqtq
ujs•tvn ·qxsv otjrvk x wvuv••í rvzvé€} uv tv wnénljz•
zéniynuyí qt{véuj|qí lvs		tv i€z• zjrqu ·zvi€ k€wvst¹

svx• tnéjkntxzkv N ≥ êzv iylnz wéq N ≥ Êzjr ls¹

wnénlj·q zjrvmv ©wjévs¹ª x wvuv••í otjrvk lky} kqlvk tjlv qxwvs•ovkjz• tn untnn otjrvk

Ívlvitj¹ v|ntrj kj tj rvmlj wnénlj·j qt{véuj|qq xvwé¹

ntj x ivs•¡quq zn}tq·nxrquq zéyltvxz¹uq tjwéquné wéq wnénlj·n {vzvméj{q·nxrvmv xtqurj x rvxuq·nxrvmv rvéjis¹ q

rj l€p otjr qlnz ©tj knx ovsvzjª Òvmlj wéq}vlqzx¹ éjxxujz éqkjz• éjosq·t€n kvouv tvxzq zjrvp wnénlj·q q k€iqéjz• tjqivsnn ërvtvut€n êzq kvwévx€ qoy·jízx¹ k éjolnsn ujzn ujzqrq tjo€kjnuvu znvéqnp wnénlj·q qt{véuj|qq

Ævréym êÆÎ

êsnrzévttj¹ k€·qxsqzns•tj¹ uj¡qtj xnp·jx ·jxzv tjo€ kjnuj¹ rvuw•íznévu uv nz én¡jz• xju€n éjosq·t€n ojlj·q Ëj vltvp q zvp n êÆÎ uv tv éjomjl€kjz• tjlwqxq tj tnotjrvu€} ¹o€rj} lnsjz• éjx·nz wsvzqt€ q viéjijz€kjz• ljtt€n v lkq ntqq éjrnz€ ïnu vi~¹xt¹nzx¹ zjrj¹ mqirvxz• k qxwvs•ovkjtqq rvuw•íznéj" -sjkt€u viéjovu znu ·zv kxn ëzq ojlj·q xkvl¹zx¹ r k€·qxsntq¹u r lnpxzkq¹u tjl ·qxsjuq Ëv wv·nuy n rvuw•ízné uv nz én¡jz• xzvs•rv ojlj· lj n•n wéq xju€} éjosq·t€} ·qxsvk€} ljtt€}" Æ xrvs•rq} éjosq· t€} xvxzv¹tq¹} uv nz tj}vlqz•x¹ rvuw•ízné"

Ævréym êÆÎ

bs¹ vzknzj tj ëzvz kvwévx kvo•unu tjwéquné vlqt qo wnék€} rvuw•íznévk ² êÆÎ ©fzénsjª

Ìwnéjzqktj¹ wju¹z• ëzvp uj¡qt€ xvxzv¹sj qo ¹·nnr k rj lvp qo rvzvé€} lkvq·t€} éjoé¹lj iqzj Çj l€p zjrvp éjoé¹l uv nz xvlné jz• qsq qsq Æxnmv u€ qunnu> éjosq·t€} unxz j ·qxsv zqwvk ojwvstntqp

¹·nnr éjktv lkyu qsq Ív {véuysn wvsy·jnu ·zv êÆÎ

©fzénsjª uvmsj tj}vlqz•x¹ ivsnn ·nu k éjosq·t€} xvxzv¹tq¹} Òéyltv wénlxzjkqz• xnin rjr knsqrv ëzv ·qxsv bvxzjzv·tv xrjojz• ·zv ·qxsv tnpzévtvk rvzvé€n uv tv wsvz tv ywjrvkjz• k ¡jé x éjlqyxvu éjkt€u éjxxzv¹tqí lv xjuvp

yljsnttvp qo qoknxzt€} tju zyujttvxznp unt•¡n

cxsq ko¹z• vlty nlqtxzknttyí ¹·npry wju¹zq zv wvtjlviq sjx• i€ lnx¹zqsnzt¹¹ éjivzj uqssqvttvp jéuqq uj¡qtqxzvr ·zvi€ tjwn·jzjz• kxn ·qxsj rvzvé€n uvmyz wv¹kqz•x¹ k ëzvp ¹·nprn x·qzj¹ ·zv uj¡qtqxzrq éjivzjíz xnu• ·jxvk k lnt• q tj ojwqx• vltvmv otj·tvmv ·qxsj zéjz¹z xnrytl

Æ xvkénuntt€} rvuw•íznéj} qt{véuj|q¹ }éjtqzx¹ k kqln ijpzvk ² xsvk xvlné j•q} iqzvk rj l€p iqz ² vlqt qo lky} otjrvk qsq bs¹ rj lvmv ¡éq{zj qunnzx¹ ©rvlvkj¹ zjisq|jª xvlné j•j¹ otjrvk ² zjrj¹ zjisq|j wvrjo€kjnz rjr iylnz qoviéj jz•x¹ tj lqxwsnn rj l€p kvouv t€p ijpz ¬ wv·nuy k ëzvp zjisq|n otjrvk" Ìzknz vw¹z• ljnz {véuysj ·qxsj éjoun•ntqp x wvkzvéntq¹uq dlnx• lkj otjrj q

tjlv éjounxzqz• tj unxzj} ijpzj ïqxsv kvouv t€} kjéqjtzvk éjktv $ = =

Ònwné• wvxuvzéqu tj lqxwsnp rvuw•íznéj Êt{véuj|q¹ tj tnmv wvxzywjnz ·néno kqlnvrjézy wvokvs¹í•yí vzviéj jz• vwénlnsntt€p vi~nu qt{véuj|qq tjwéquné unmjijpzj clq tq|€ ©unmjijpzª q ©rqsvijpzª kvotqrsq ls¹ ylvixzkj qounén tq¹ ivs•¡q} vi~nuvk qt{véuj|qq k rvuw•íznén rvmlj ojun

zqsq ·zv = ≈ Çqsvijpz ² ëzv ijpz j unmjijpz ² ëzv rqsvijpz z n = ijpz

Ì|ntqu ·zv uv nz zjrj¹ kqlnvrjézj cxsq tjknxzq ryéxvé u€¡q tj otj·vr lqxwsn¹ tj wjtnsq ojlj· zv vt wvrj nz tjwéquné xsnlyí•nn × 7UXH &RORU iqzj êzv votj

·jnz ·zv tj uvtqzvén vzviéj jnzx¹ xnzrj qo zv·nr wv mvéqovtzjsq q zv·nr wv knézqrjsq wéq·nu qt{véuj|q¹ v |knzn rj lvp zv·rq xvlné qz iqzj q |knz rj lvp zv·rq wévqokvsnt ² tn ojkqxqz vz |knzj léymq} ΀ wvsy·jnu ·zv

Çjr mvkvé¹z tj·qtjí•qp wévméjuuqxz x·qzjnz ·zv k rqsvijp zn ijpz j ojrvt·ntt€p ² ·zv k rqsvméjuun méjuuj

>

-sjkj , МИХКc Ни¬ЖКЙ¬ ЗМОИКЛ¬ТМиКЗК

kqlnvrjézj lvs tj kunxzqz• × × iqz qsq × ijpz z n ijpz êzv ljttj¹ kqlnvrjézj uv nz

Ëv utvmqn uvtqzvé€ wvokvs¹íz vzviéj jz• xnzry qo

zv·nr wv mvéqovtzjsq q zv·nr wv knézqrjsq ïzvi€ vzviéjoqz• nn wéq zn} n iqzj} tj zv·ry kqlnvrjézj lvs tj }éjtqz• × × iqz z n ijpz êzv ivs•¡n

unmjijpz zjr ·zv tj¡j kqlnvrjézj ëzvmv tn xuv nz k én qun

× vtj wnénrsí·qzx¹ tj unt•¡yí msyiqty |knzj

Òjrvp uvtqzvé wvzéniynz kqlnvrjéz€ x wju¹z•í unmjijpz

frvs•rv n éjosq·t€} qoviéj ntqp uv nz vzviéjoqz• tj¡j kqlnvrjézj" Ìzknz ¹xnt ²

Îvéxrvp xnuj{vé

Ëj {svzn qtvmlj wéqunt¹íz xnuj{vé {sj rjuq Çj lvp iyrkn wéq ëzvu xvvzknzxzkynz vwénlnsnttvn wvsv ntqn lky} {sj rvk Çjr wéjkqsv {sj rq tj}vl¹zx¹ wv éjot€n xzvévt€ vz znsj xqmtjs••qrj Ìltjrv wéq wnénlj·n tnrvzvé€} iyrk i

l r } í ¹ vij {sj rj éjxwvsv	nt€ wv vlty q zy n xzvévty
Ív·nuy wéq¡svx• xlnsjz• zjrvn	qxrsí·ntqn" Ìzknz tj ëzvz

kvwévx ljnz zj n {véuysj éjoun•ntqp x wvkzvéntq¹uq bnsv k zvu ·zv éjosq·t€} wvsv ntqp rj lvmv {sj rj w¹z• ² ktqo vzknxtv ktqo tjrsvttv mvéqovtzjs•tv kkné} tjrsvttv q kkné}

vzknxtv éqx Òjr rjr y tjx lkj {sj__ rj zv vi•nn ·qxsv rvuiqtj|qp vxtvkt€} wvsv ntqp éjktv $ = = Íéq ëzvu

n•n tjlv vziévxqz• wvsv ntqn rvmlj vij {sj rj tjwéjksnt€ ktqo ² vtv xsy qz ls¹ éjolnsntq¹ xsvk Æxnmv wvsy·jnu rvuiqtj|qq j ëzvmv tnlvxzjzv·tv ls¹ wnénlj·q kxn} iyrk éyxxrvmv js{jkqzj Ívëzvuy ls¹ tnrvzvé€} iyrk q wéq¡svx• tjwéjkqz• vij {sj rj k vlty xzvévty

Òv·rq²zqén znsnméj{t€n

Íéq wnénlj·n xvvi•ntqp wv znsnméj{y qxwvs•oyíz rjrvp sqiv rvl wvokvs¹í•qp wénlxzjks¹z• rj lyí iyrky |q{éy q otjr wénwqtjtq¹ wvxsnlvkjzns•tvxz•í qo xqmtjsvk lky} zqwvkrvévzrvmv qsq lsqttvmv ² ©zv·rjª qsq ©zqénª Ínék€p zjrvp rvl i€s wénlsv nt k mvly qoviénzjznsnu ësnrzéq·nxrvmv znsnméj{j junéqrjt|nu f Îvéon Æ ëzvu rvln ·qxsv xqukvsvk ls¹ rvlqévkjtq¹ vltvp iyrk€ unt¹nzx¹ vz lv bs¹ iyrk rvzvé€n kxzén·jízx¹ ·jxzv k€iéjt€ rvl€ x ujs€u ·qxsvu xqukvsvk j ls¹ énlrv kxzén·jí•q}x¹ iyrk ² x ivs•¡qu ·qxsvu xqukvsvk Ëjwéquné k éyxxrvu kjéqjtzn iyrkj ©cª wnénljnzx¹ vltvp zv·rvp © ª j énlrv kxzén·jí•j¹x¹ iyrkj ©êª ² tjivévu qo xqukvsvk © ² ª êzv wvokvs¹nz ërvtvutv wnénljkjz• znrxz qxwvs•oy¹ xqukvs€ © ª q ©²ª

Çjr n vwénlnsqz• rjrqn	iyrk€ qxwvs•oyízx¹ ·jxzv j
rjrqn ² énlrv" Îvéon tn yzéy	ljs xni¹ msyivrquq qxxsnlv

Òv·rq²zqén znsnméj{t€n

kjtq¹uq ëzvmv kvwévxj ² vt wévxzv wv¡ns k isq jp¡yí zqwvméj{qí q wvlx·qzjs ·qxsv sqzné rj lvp iyrk€ k tjivét€} rjxxj} k zv kénu¹ rtqmq tjiqéjsqx• kéy·tyí ² qo unzjssq ·nxrq} sqzné tj rj lvp qo rvzvé€} i€sv k€wyrsvn qoviéj ntqn vltvp iyrk€ q tjivé•qr lvs nt i€s qunz• lvxzjzv· t€p ojwjx kxn} iyrk tv vltq} iyrk y}vlqsv utvmv j léymq} ujsv Éq¡• k } mvlj} ;; knrj junéqrjtxrqp y·nt€p Çsvl ‘nttvt wvxzévqs znvéqí qt{véuj|qq q tj nn vxtvkn éjxx·qzjs rjrvp n rvl vrj nzx¹ xju€u k€mvlt€u ls¹ ëzvmv nuy wéq¡svx• y·qz€kjz• tn zvs•rv ·jxzvzy x rvzvévp kxzén·jízx¹ vzlns•t€n iyrk€ tv q ·jxzvz€ xv·nzjtqp iyrk wv lkn wv zéq

q z l

èqx

-sjkj , МИХКc Ни¬ЖКЙ¬ ЗМОИКЛ¬ТМиКЗК

¬vzrylj k rvln Îvéon ko¹svx• ·qxsv " Ív·nuy tns•o¹ wnénljkjz• xvvi•ntq¹ qxwvs•oy¹ sq¡• rvuiqtj|qq zv·nr q zqén xvlné j•qn tn ivsnn otjrvk" Ìzknz tj ëzvz kvwévx ljnz

{véuysj ls¹ ·qxsj éjoun•ntqp x wvkzvéntq¹uq Êo {véuys€

xsnlynz ·zv $ = Êt€uq xsvkjuq zvs•rv lkn iyrk€

uv tv wnénljz• x wvuv••í vltvmv otjrj c © ª q Ò ©²ª f wvuv••í lky} otjrvk uv tv wnénljkjz• = iyrk€ zén}

otjrvk ² = iyrk q ·nz€én} otjrvk ² = Ívëzvuy

vi•nn ·qxsv iyrk rvzvé€n uv tv wnénljkjz• rvuiqtj|q¹uq qo tn ivsnn ·nu ·nz€én} otjrvk éjktv

¬ k éyxxrvu js{jkqzn iyrk€ lj n•n tjlv wnénljkjz• |q{é€ q otjrq wénwqtjtq¹ ‰xtv ·zv xqukvsvk qo ·nz€én} otjrvk tn }kjzqz ¬ nxsq iéjz• q xqukvs€ qo otjrvk zv r wvsy·ntt€uwéqijkqzx¹ n•n xqukvsj Ívsy·ntt€} xqukvsvk kwvstn lvxzjzv·tv ls¹ znsnméj{qévkjtq¹

cxz• ls¹ znsnméj{qévkjtq¹ q w¹zqotj·t€p rvl k rvzvévu rj lj¹ iyrkj qoviéj jnzx¹ k zv·tvxzq w¹z•í xqukvsjuq Íéq

wvs•ovkjtqq ëzqu rvlvu qunnu évktv = rvuiqtj|qq Ê}

}kjzjnz ls¹ wnénlj·q iyrk ino iyrk€ ©Ýª ojunt¹nuvp tj ©nª ¬ ls¹ wnénlj·q |q{é otjrvk wénwqtjtq¹ q z l qxwvs•oyíz zn n rvuiqtj|qq ·zv q ls¹ iyrk Ívëzvuy znsnméj{t€n jwwjéjz€ w¹zqotj·tvmv rvlj qunsq xwn|qjs•tvn yxzévpxzkv ls¹ wnénkvlj jwwjéjzj x iyrk tj |q{é€ q viéjztv

djlj·q

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjosv qz• k lkj rjéujtj lnk¹z• uvtnz éjosq·tvmv lvxzvqtxzkj"

Ëjlv xév·tv lvxzjkqz• wjrnzvk éjot€u jlénxjzju frvs•rq uq xwvxvijuq ëzv uv tv xlnsjz• nxsq ls¹ wnénlj·q wqxnu uv tv wvxsjz• zén} ryé•névk q rj lvn wqx•uv uv tv ljz• síivuy qo ryé•névk" Çyé•né xju én¡jnz k rjrvu wvé¹lrn lvxzjks¹z• ljtt€n nuy wqx•uj

ïnzknév xzylntzvk xljíz ërojunt frvs•rquq xwvxvijuq uvmyz i€z• wvxzjksnt€ qu vzunzrq nxsq qoknxztv ·zv kxn xzylntz€ ërojunt xljsq wvsy·qk vzunzry qsq "

Êo Évtlvtj k Èéjpzvt knlyz ¡vxxn xvnlqtntt€n wév xnsv·t€uq lvévmjuq éqx frvs•rquq xwvxvijuq uv tv wévn}jz• qo Évtlvtj k Èéjpzvt zjr ·zvi€ lvévmj tn wnénxnrjsj xni¹"

èqx

èqx

Òv·rq²zqén znsnméj{t€n
Íyxz• wéq zvu	n yxsvkqq lkj wyzn¡nxzknttqrj k€no			jíz qo
Évtlvtj wv éjot€u ¡vxxn frvs•rquq xwvxvijuq		uv	nz wévqovpzq
wyzn¡nxzkqn zjr ·zv tq vlqt y·jxzvr ¡vxxn vtq		tn	wévno	jíz	k
vltvu q zvu n tjwéjksntqq"
Êo Évtlvtj	k Çnuiéql knlyz ¡vxxn	wnénxnrjnu€n

wévxnsv·t€uq lvévmjuq éqx frvs•rquq xwvxvijuq uv tv xvkné ¡qz• wyzn¡nxzkqn nxsq tq wv vltvuy y·jxzry ¡vxxn tn nlyz k tjwéjksntqq Évtlvtj q tq vlqt y·jxzvr tn wévno jíz lkj l€"

Çvmlj zv jkzvuviqs•t€n tvunéj xvxzv¹sq qo vltvp lky} qsq zén} iyrk q xsnlyí•q} oj tquq ·nz€én} |q{é Ëjplqzn ·qxsv zjrq} tvunévk nxsq qxwvs•ovkjsqx• iyrk€

Æ mvly k èvxxqq ljkjsq jkzvuviqs•t€n tvunéj zqwj} }v k rvzvé€} ywvzénis¹sqx• |q{é€ q rqéqssq·nxrqn iyrk€ quní•qn jtjsvm k sjzqtxrvu js{jkqzn zjrq} Ínék€n lkj ësnuntzj ² |q{é€ rvl énmqvtj ojznu qlnz iyrkj ojznu zén}otj·tvn ·qxsv q wvl rvtn| n•n lkn iyrk€

j frvs•rv zjrq} jkzvuviqs•t€} tvunévk uvmsq k€ljz• k èvxxqq"

i Ëj Îvxrky i€sq k€lnsnt€ rvl€ énmqvtj q frvs•rv tvunévk uvmsq k€ljz• k Îvxrkn"

Æ tnrvzvévu mvxyljéxzkn tn i€sv lky} qznsnp x vlqtjrvk€u tjivévu oyivk Çjrvkj uv nz i€z• tjqivs•¡j¹ ·qxsnttvxz• tjxnsntq¹ ëzvmv mvxyljéxzkj kv ézy ·nsvknrj uv nz i€z• tn ivsnn oyivk "

frvs•rv ·qxns unt•¡q} uqssqvtj uv tv tjwqxjz• x wvuv ••í |q{é

j q i

k x |q{é€ ·qxsv tj·qtjz•x¹ tn uv nz "

Òévn ítv¡np q lkn lnky¡rq k€iqéjíz xnin unxzv éjivz€ Æ mvévln nxz• zéq ojkvlj mln zéniyízx¹ éjiv·qn zylj inéyz sq¡• uy ·qt lkj ujmjoqtj rylj inéyz sq¡• nt•qt q lkn {qéu€ rylj zéniyízx¹ q uy ·qt€ q nt•qt€ frvs•rquq xwvxvijuq vtq uvmyz éjxwénlnsqz•x¹ un ly ëzquq wénlwéq¹zq¹uq"

Êunnzx¹ zéq ryéq|€ ·nz€én yzrq q lkj myx¹ frvs•rquq xwvxvijuq uv tv k€iéjz• qo tq} tnxrvs•rv wzq| zjr ·zvi€ xénlq k€iéjtt€} vrjojsqx• q ryé€ q yzrq q myxq"

Ëj wnénrénxzrn qunnzx¹ P xknzv{vévk frvs•rv uv nz i€z• éjosq·t€} xvxzv¹tqp ëzq} xknzv{vévk nxsq rj l€p xknzv{vé tnoj

kqxquv vz vxzjs•t€} qunnz	zéq kvouv t€} xvxzv¹tq¹ mvéqz
onsnt€p mvéqz nsz€p	mvéqz réjxt€p"

èn¡qzn zy	n ojlj·y nxsq lvwyxrjízx¹ kxnkvouv t€n rvuiqtj|qq
vmtnp rj lvmv	xknzv{véj tjwéquné mvéqz vltvkénunttv onsnt€p q

réjxt€p qsq tq·nmv tn mvéqz

frvs•rv uv tv xvxzjkqz• qo iyrk ¡nxzqiyrkntt€} xsvk xv lné j•q} }vz¹ i€ vlqt éjo iyrky ©jª"

Æ xnsntqq wév qkjnz qznsnp bvrj qzn ·zv wv réjptnp unén lkvn qo tq} quníz vlqtjrvk€n qtq|qjs€

frvs•rv xy•nxzkynz xnuqotj·t€} znsn{vtt€} tvunévk k wnék€} |q{éj} rvzvé€} tn kxzén·jízx¹ |q{é€ q "

-sjkj , МИХКc Ни¬ЖКЙ¬ ЗМОИКЛ¬ТМиКЗК

djlj·q v ¡j¡rj}

èn¡qu xsnlyí•yí ojlj·y

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvxzjkqz• tj lvxry lkn ¡j¡rq ² insyí q ·nétyí zjr ·zvi€ insj¹ ¡j¡rj uvmsj iqz• ·nétyí"

Ív ¡j¡n·t€u wéjkqsju ¡j¡rq xzjk¹zx¹ tj ·nét€n wvs¹ q vltj ¡j¡rj i•nz léymyí wnénwé€mqkj¹ ·néno tnn q kxzjkj¹

tj xsnlyí•nn wvsn éqx cxsq	n ¡j¡rj lvxzqmsj wvxsnl
tnp kvx•uvp mvéqovtzjsq zv vtj wénkéj•jnzx¹		k ljury q
uv nz iqz• kxn ¡j¡rq xzv¹•qn	tj vltvp lqjmvtjsq		x tnp
révun ¡j¡nr xzv¹•q} k rvt|n lqjmvtjsnp
fsv tvxz• ëzvp ojlj·q xvxzvqz k zvu ·zv		ls¹	éjot€}
wvsv ntqp insvp ¡j¡rq nxz• éjotvn ·qxsv wvsv		ntqp ·nétvp

¡j¡rq wéq rvzvé€} ëzy ¡j¡ry uv tv iqz• Ëjwéquné nxsq insj¹ ¡j¡rj xzvqz tj wvsn D zv xy•nxzkynz sq¡• vltv wvsv ntqn ·nétvp ¡j¡rq wéq rvzvévu vtj tj}vlqzx¹ wvl ivnu ¬ nxsq insj¹ ¡j¡rj xzvqz tj wvsn F zv ·qxsv qxrvu€} wvsv ntqp ·nétvp ¡j¡rq éjktv Ëjrvtn| nxsq insj¹ ¡j¡rj wév¡sj k ljurq tj wvsn K zv qunnzx¹ wvsv ntqp ·nétvp ¡j¡rq tj rvzvé€} nn uv nz iqz• ëzj ljurj

Ívëzvuy olnx• wév•n kxnmv yrjojz• ls¹ rj lvmv wvsv ntq¹ insvp ¡j¡rq ·qxsv kvouv t€} wvsv ntqp ·nétvp ¡j¡rq q xsv qz• wvsy·ntt€n énoys•zjz€ Ëj éqx qoviéj ntj lvxrj x yrjojtqnu xvvzknzxzkyí•q} ·qxns frsjl€kj¹ q} wvsy·jnu

dtj·qz qxrvuj¹ éjxxzjtvkrj kvouv tj xwvxvijuq

‰xtv ·zv évktv xzvs•rv n wvsv ntqp wéq rvzvé€} ·nétj¹ ¡j¡rj uv nz iqz• insyí

¬ wvsv ntqp wéq rvzvé€} vin ¡j¡rq uvmyz iqz• léym léymj unt•¡n Ëjwéquné nxsq insj¹ ¡j¡rj xzvqz tj réjí lvxrq zv nn tns•o¹ iqz• mln i€ tq xzv¹sj ·nétj¹ ¡j¡rj Ívëzvuy kxnu wvs¹u tj réjí lvxrq xvvzknzxzkynz ·qxsv Òv·tv zjr n tj}vlqu ·qxsj xvvzknzxzkyí•qn léymqu ·nét€u wvs¹u Ìtq qoviéj nt€ tj éqx frsjl€kj¹ ëzq ·qxsj wvsy·jnu ·zv qxrvuj¹ éjxxzjtvkrj kvouv tj xwvxvijuq

èqx	èqx	èqx

frvs•rv ·nsvknr tn otjíz qtvxzéjtt€} ¹o€rvk"

Ëjrvtn| tjplnu ·qxsv wvsv ntqp insvp q ·nétvp ¡j¡nr wéq rvzvévu tq vltj qo tq} tn uv nz iqz• léym léymj êzy ojlj·y uv tv i€sv i€ én¡qz• zjr n rjr q wénl€ly•qn xzjk¹ insyí ¡j¡ry tj rj lvn qo ·nét€} wvsnp q wvlx·qz€kj¹ xrvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvxzjkqz• ·nétyí ¡j¡ry zjr ·zvi€ tq vltj qo ëzq} ¡j¡nr tn uvmsj iqz• léymyí Ëv olnx• wév•n wéquntqz• ©wéqt|qw ·jptqrjª q xknxzq ëzy ojlj·y r y n én¡nttvp

èjxxrjo€kjíz ·zv vltj	l€ ujznujzqr xwévxqs y {qoqrj ©Ínénl
Æjuq wyxzvp ·jptqr q tnoj	nttj¹ mj

ovkj¹ wsqzj rjr kxrqw¹zqz• kvly"ª ©Ëjwvstqz• ·jptqr kvlvp oj n·• mjo q wvxzjkqz• ·jptqr tj wsqzyª ² vz kn·js {qoqr ©Íéjkqs•tvª ² xrjojs ujznujzqr ©¬ znwné• én¡qzn kzvéyí ojlj·y wnénl oj nttvp wsqzvp xzvqz tjwvstntt€p ·jptqr Çjr kxrqw¹zqz• kvly"ª ©êzv n•n wév•n ² tjlv wvxzj kqz• ·jptqr tj wsqzyª ©Ëq·nmv wvlvi tvmv ª ² kvxrsqrtys ujznujzqr ©Ëjlv wvmjxqz• wsqzy k€sqz• kvly qo ·jptq rj q u€ wéqlnu r wnékvp ojlj·n rv

zvéyí y n yunnu én¡jz• ª Ívëzvuy rvmlj tvkyí ojlj·y xkvl¹z r y n én¡ntt€u k ¡yzry mvkvé¹z ·zv wéqunt¹íz ©wéqt|qw ·jptqrjª

ftj·jsj tjplnu vi•nn ·qxsv éjxwvsv ntqp tj lvxrn vltvp insvp q vltvp ·nétvp ¡j¡rq Ènsyí ¡j¡ry uv tv wvxzjkqz• tj síivn qo ·nét€} wvsnp Ívxsn ëzvmv ls¹ ·nétvp ¡j¡rq vxzjtnzx¹ wvsn Ívëzvuy k xqsy wéjkqsj wévqoknlntq¹ éjxxzjtvkrj kvouv tj = xwvxvijuq Ëv xénlq ëzq}

xwvxvivk nxz• wéq rvzvé€} insj¹ ¡j¡rj uv nz iqz• ·nétyí q xwvxvivk wéq rvzvé€} ·nétj¹ ¡j¡rj uv nz iqz• insyí Ívëzvuy tjlv vziévxqz• = xwvxvij Ìltjrv

xsnlynz y·nxz• ·zv wéq ëzvu tnrvzvé€n xwvxvi€ vrjo€kjízx¹ vziév¡ntt€uq lkj l€ ² qo oj zvmv ·zv k tq} q insj¹ ¡j¡rj uv nz iqz• ·nétyí q ·nétj¹ uv nz iqz• insyí ΀ kqlnsq ·zv xy•nxzkynz wvsv ntqp k rvzvé€} vin ¡j¡rq uvmyz iqz• léym léymj Ívëzvuy ·qxsv wvsv ntqp k rvzvé€} tq vltj ¡j¡rj tn uv nz iqz• léymyí éjktv − + =

frvs•rv ·nsvknr tn otjíz qtvxzéjtt€} ¹o€rvk"

Înzvl rvzvé€u u€ én¡qsq wvxsnltíí qo ojlj· v ¡j¡rj} ·jxzv wéqunt¹nzx¹ ls¹ én¡ntq¹ rvuiqtjzvét€} ojlj· èjxxuvz équ xsnlyí•qp wéquné

Æ tjy·tv qxxsnlvkjzns•xrvu qtxzqzyzn éjivzjíz ·n svknr Êo tq} otjíz jtmsqpxrqp ¹o€r ² tnun|rqp ¹o€r q ² vij ¹o€rj frvs•rv ·nsvknr k qtxzqzyzn tn otjíz tq jtmsqpxrvmv tq tnun|rvmv ¹o€rj"

-sjkj , МИХКc Ни¬ЖКЙ¬ ЗМОИКЛ¬ТМиКЗК

èqx èqx

bs¹ én¡ntq¹ ëzvp ojlj·q tjlv éjoiqz• knx• rvssnrzqk xvzéyltqrvk qtxzqzyzj tj ·jxzq tn quní•qn vi•q} ësnuntzvk Ínékyí qo tq} xvxzjk¹z zn rzv otjnz zvs•rv jtmsqpxrqp ¹o€r kzvéyí ² zn rzv otjnz zvs•rv tnun|rqp ¹o€r zénz•í ² zn rzv otjnz vij ¹o€rj q ·nzknézyí ² zn rzv tn otjnz tq vltvmv qo ëzq} ¹o€rvk éqx Ëju ljtv ·zv vij ¹o€rj otjíz ·nsvknrj Ëv zjr rjr jtmsqpxrqp ¹o€r otjíz ·nsvknr zv zvs•rv jtmsqpxrqu ¹o€rvu ksjlníz − = ·nsvknrj

Òv·tv zjr n zvs•rv tnun|rqu ¹o€rvu ksjlníz − =

·nsvknr Ìzxílj xsnlynz ·zv vi•nn ·qxsv sílnp ksjlní•q} }vz• vltqu qo ëzq} ¹o€rvk éjktv + + = ·nsvknr ¬

zjr rjr kxnmv k qtxzqzyzn éjivzjíz ·nsvknr zv tj lvsí wvxsnltnp ·jxzq wéq}vlqzx¹ − = ·nsvknr Êzjr ·nsv

knr tn otjíz tq jtmsqpxrvmv tq tnun|rvmv ¹o€rj Ívsy·ntt€p vzknz uv tv ojwqxjz• k kqln

= − ( + + )

Ëv u€ wvsy·qsq k€·qzj¹ qo j ² k€·qzj¹ qo Ívëzvuy

= − − ( − ) − ( − ) = − − +

Ònwné• kqltj ojrvtvunétvxz• ² qo vi•nmv ·qxsj xvzéyltq rvk k€·qzjnzx¹ ·qxsv otjí•q} jtmsqpxrq} ¹o€r q ·qxsv otjí•q} tnun|rqp ¹o€r Íéq ëzvu tnrvzvé€n xvzéyltqrq wvwjljíz k vij xwqxrj q vrjo€kjízx¹ ©k€·zntt€uqª lkj l€ êzv rjr éjo zn wvsqmsvz€ rvzvé€n otjíz vij ¹o€rj Íéqijks¹¹ q} ·qxsv u€ wvsy·jnu ·qxsv sq| tn otjí•q} tq vltvmv qo ëzq} ¹o€rvk

Ïxsv tqu éjoviéjttyí ojlj·y lvijkqk n•n vlqt ¹o€r Íyxz• xénlq zn} n xvzéyltqrvk {éjt|yoxrqp ¹o€r otjíz ·nsvknr jtmsqpxrqp q {éjt|yoxrqp ² ·nsvknr tnun|rqp q {éjt|yoxrqp ² ·nsvknr j kxn zéq ¹o€rj ² ·nsvknréqx ‰xtv ·zv zvmlj zvs•rv jtmsqpxrqp q {éjt|yoxrqpino tnun|rvmv otjíz − = ·nsvknr j zvs•rv tnun|rqp q

{éjt|yoxrqp otjíz − = ·nsvknr dtj·qz zvs•rv vlqt {éjt|yoxrqp ¹o€r otjíz − − − = ·nsvknrj êzq sílq

Ðvéuysj krsí·ntqp q qxrsí·ntqp

k}vl¹z k xvxzjk zn} ·nsvknr rvzvé€u tnknlvu€ jtmsqpxrqp q tnun|rqp ¹o€rq dtj·qz ·qxsv sílnp tn otjí•q} tq vltvmv qo zén} ¹o€rvk éjktv − =

Ívsy·ntt€p vzknz uv tv ojwqxjz• zjr

= − = − − + − ( − − − ) =

=− − + − + ( − ) + ( − ) + =

=− − − + + + −

¬znwné• ojrvt xvkné¡nttv ¹xnt ftj·jsj qo vi•nmv ·qxsj xvzéyltqrvk k€·qzjnzx¹ ·qxsv zn} rzv otjnz vlqt qo ¹o€rvkq uv nz i€z• léymqn Íéq ëzvu tnrvzvé€n vrjo€kjízx¹ ©k€·zntt€uqª lkj l€ wvxrvs•ry otjíz lkj ¹o€rj Ívëzvuy wéqijks¹nu ·qxsj wvrjo€kjí•qn xrvs•rv ·nsvknr ksjlníz lkyu¹ ¹o€rjuq q uv nz i€z• n•n zénz•qu Ëv sq|j ksjlní•qn zénu¹ ¹o€rjuq vrjo€kjízx¹ xtj·jsj zéq l€ ©k€·zntt€uqª j wvzvu zéq l€ ©wéqijksntt€uqª Òjr rjr q} tjlv kxn zjrq k€·nxz• zv wéq}vlqzx¹ n•n vzt¹z• ·qxsv

Ðvéuysj krsí·ntqp q qxrsí·ntqp

èjoviéjtt€n wéquné€ wvokvs¹íz x{véuysqévkjz• vi•qp ojrvt Íyxz• qunnzx¹ 1 wénlunzvk rj l€p qo rvzvé€} uv nz visjljz• xkvpxzkjuq D D DQ Íéq ëzvu rj l€p wénlunz

uv nz visjljz• vltqu qsq tnxrvs•rquq xkvpxzkjuq j uv nz tn visjljz• tq vltqu qo ëzq} xkvpxzk

Ìivotj·qu ·néno (DLDM DN) rvsq·nxzkv wénlunzvk visjlj

í•q} xkvpxzkjuq DL DM DN q i€z• uv nz n•n tnrvzvé€uq

qo léymq} xkvpxzk cxsq tju tjlv iylnz vzunzqz• ·zv inéyzx¹ sq¡• wénlunz€ tn visjljí•qn tnrvzvé€u xkvpxzkvu zv ëzv xkvpxzkv wq¡nu x ·nézvp xkné}y Ëjwéquné ·néno (D D D )

vivotj·ntv rvsq·nxzkv wénlunzvk visjljí•q} xkvpxzkjuq D q D tv tn visjljí•q} xkvpxzkvu D kvwévx vi vxzjs•t€} xkvpxzkj} vxzjnzx¹ vzré€z€u

ïqxsv wénlunzvk tn visjljí•q} tq vltqu qo _yrjojtt_€}
xkvpxzk	vivotj·jnzx¹ wv ëzvuy wéjkqsy ·néno (D , DQ)
Ìi•qp ojrvt xvxzvqz k zvu ·zv
_ _	_
(D , DQ) = 1 − 1(D ) − 1(D ) − − 1(DQ) +
+ (D D ) + 1(D , ) + + 1(D DQ) + 1(D D ) + + 1(DQ− DQ) −
− (D D , ) − 1(, D D ) − − 1(DQ− DQ− DQ) + +
	+ (− )Q1(D D DQ)