Веленкин;Комбинаторика

	-sjkj ,9 è¬dÈÊcËʉ

Íévisnuj jiqzyéqntzj

Ívxzywjí•qp k ytqknéxqznz lvs nt xljz• ërojuntj frvs•rv nxz• kjéqjtzvk yxwn¡tv xljz• ërojunt€ q wvxzy wqz• nxsq wév}vltvp ijss éjknt "

êzj ojlj·j wv}v j tj ojlj·y v réjztvu iévxjtqq rvxzq Òvs•rv znwné• rj lvn ©iévxjtqnª z n rj l€p ërojunt ljnz

qsq ijssvk ¡nxz• ijssvk oj vlqt ërojunt wvsy·qz•

tns•o¹ j x lkvprvp k ytqknéxqznz tn wéqtqujíz Îv tv kvxwvs•ovkjz•x¹ zjisq|np ls¹ P = nxsq ojuntqz• ëzq énoys•

zjz€ tj q ijssj z n x·qzjz• wénk€¡ntqn v|ntrq tjl

Òvmlj énoys•zjz rj lvmv qo ërojuntvk yunt•¡qzx¹ tj j vi•j¹ xyuuj ijssvk ² tj Ívëzvuy tjlv én¡qz• zjryí ojlj·y xrvs•rquq xwvxvijuq uv tv wvsy·qz• tn untnn v·rvk iévxj¹ éjoj rvxz• tj rvzvévp tjtnxnt€ |q{é€

q " Òjr rjr ·qxsv iévxjtqp éjktv zv inénu k zjisq|n ls¹ P = xzévry otj·ntqp & ( 1)

Æ ëzvp xzévrn tjx qtznénxyíz ·nz€én wvxsnltq} ·qxsj frsjl€kj¹ q} wvsy·jnu + + + = dtj·qz yxwn¡tv

xljz• ërojunt€ uv tv xwvxvivu

êzq xwvxvi€ zjrvk€

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

j zjr n kxn éjosq·t€n xwvxvi€ wvsy·jnu€n qo tjwqxjtt€} wnén xzjtvkrjuq ·qxns Òvz n énoys•zjz uv tv wvsy·qz• tnwvxénlxzknttv

Énmrv wévknéqz• ·zv tjiéjz• ijssvk uv tv sq¡• lkyu¹ xy•nxz knttv éjosq·t€uq xwvxvijuq + + + qsq + + + êzq vz

unzrq uvmyz síi€u xwvxvivu éjxwénlns¹z•x¹ wv xljkjnu€u wénlunzju

Òjr rjr 3( ) + 3( ) =		+		= zv v·rvk uv tv
wvsy·qz• xwvxvijuq Òv·tv zjr		n wvlx·qz€kjnzx¹ ·qxsv xwvxvivk
wvsy·qz• q ijssvk

Ïwsjzj lntnm

Æ rv¡ns•rn sn jz uvtnz€ k q

rvwnnr wv vltvp uvtnzn rj lvmv lvxzvqtxzkj frvs•rquq xwvxvijuq uv tv ywsjzqz• ëzquq uvtnzjuq rvwnprq ino xlj·q"

Æ vzsq·qn vz éjxxuvzéntt€} k€¡n ojlj· olnx• wvé¹lvr uvtnz tn qméjnz évsq ² kj tv sq¡• rjrqn qunttv uvtnz€ inéyzx¹ ls¹ ywsjz€ tv ojzv rj lj¹ uvtnzj nxz• k nlqtxzknttvu

ëronuws¹én

Ìivotj·qu ·néno )(N N NP 1) ·qxsv xwvxvivk rvzv é€uq uv tv ywsjzqz• 1 rvwnnr x wvuv••í uvtnz éjosq·tvmv

È€sq rvmlj zv zjrqn

Ïwsjzj lntnm

lvxzvqtxzkj N N NP rvwnnr iné¹ tn ivsnn ·nu wv vltvp

uvtnzn rj lvmv lvxzvqtxzkj èjovi•nu kxn xwvxvi€ ywsjz€ tj lkj rsjxxj k ojkqxquvxzq vz zvmv qxwvs•ovkjtj qsq tnz uvtnzj lvxzvqtxzkvu k NP rvwnnr

cxsq		vtj qxwvs•ovkjtj zv vxzjnzx¹ ywsjzqz•	xyuuy k
1 − NP	rvwnnr x wvuv••í uvtnz k N N NP−		rvwnnr ¬
ëzv uv		tv xlnsjz• )(N N NP− 1 − N2) xwvxvijuq cxsq

n uvtnzj k NP rvwnnr tn qxwvs•ovkjtj zv tjlv vwsjzqz• kxí

xyuuy k 1 rvwnnr x wvuv••í uvtnz k N N NP− rvwnnr ¬ ëzv uv tv xlnsjz• )(N N NP− 1) xwvxvijuq Ìzxílj

xsnlynz ·zv qunnz unxzv énryééntztvn xvvztv¡ntqn

)(N N NP 1) =
	= )(N N NP− 1 − N2) + )(N N NP− 1)
êzv xvvztv¡ntqn wvokvs¹nz xknxzq ojlj·y v k€ivén qo		P
uvtnz	r ojlj·n v k€ivén qo P − uvtnz Ívkzvé¹¹ ëzv	n
éjxxy	lntqn xkvlqu r ojlj·n v k€ivén qo P − uvtnz q z l

wvrj tn lvplnu sqiv lv ojlj·q vi ywsjzn tysnkvp xyuu€ sqiv lv ojlj·q v k€ivén qo vltvp uvtnz€ Ìin ojlj·q én¡jízx¹

vltvotj·tv Íéq ëzvu k }vln k€·qxsntq¹ utvmqn xsjmjnu€n vziéjx€kjízx¹ Ænl• nxsq 1 > N + N + + N2 zv uvtnz tn

}kjzjnz tj vwsjzy wvrywrq q )(N N NP 1) = Çévun zvmv k ojwqxq )(N N NP 1) kxnmlj uv tv k€·nértyz• zn

NM rvzvé€n ivs•¡n 1 ² vtq tn uvmyz y·jxzkvkjz• k vwsjzn xyuu€ 1 rvwnnr tjwéquné )( ) = )( )

Íéquntqu vwqxjtt€p unzvl r én¡ntqí tj¡np ojlj·q Ív xvvztv¡ntqí k€kvlqu xtj·jsj ·zv

)( ) = )( ) + + )( ) = )( )

zjr rjr + + + + + + < q wvzvuy rjr y n vi~¹xt¹svx• )( ) =

bjsnn wvsy·jnu ·zv

)( ) = = )( ) + )( )

Æ€·qxsqu wnékvn xsjmjnuvn

)( ) = )( ) = = )( ) + )( ) = + )( ) + )( ) =

-sjkj ,9 è¬dÈÊcËʉ

Æ€·qxsqu kzvévn xsjmjnuvn

)( ) = = )( ) + )( ) = )( )

zjr rjr + + + + < q

)( ) = )( ) + )( ) = + =

Ìrvt·jzns•tv wvsy·jnu ·zv

)( ) =

Êzjr zéniynuyí ywsjzy uv tv wévqoknxzq xwvxvijuq j qunttv

+ + + + + + + + + + + +

Ívrywrj rvt{nz

Æujmjoqtn wévljízx¹ rvt{nz€ tnxrvs•rq} kqlvk kqlj ² wv rvwnprq oj ¡zyry q kqlj ² wv rvwnprq oj ¡zyry frvs•rquq xwvxvijuq uv tv rywqz• rvt{nz€ tj rvwnnr nxsq iéjz• tn ivsnn vltvp rvt{nz€ rj lvmv kqlj"

ïqxsv xwvxvivk uv tv rjr q éjt•¡n vivotj·qz• ·néno )( ) dlnx• k xrvirj} kxzén·jízx¹ vlqtjrvk€n ·q

xsj tv vtq vivotj·jíz éjot€n rvt{nz€ zjr ·zv rj lvn ·qxsv uv tv ywvzénis¹z• rjr xsjmjnuvn sq¡• vlqt éjo wvëzvuy xvvztv¡ntqn

)(N N NP 1) =

= )(N N NP− 1 − NP) + )(N N NP− 1)

iylnz xwéjknlsqkv q ls¹ ëzvmv ivsnn vi•nmv xsy·j¹ èn¡ntqn ojlj·q wvsy·jnzx¹ qo xsnlyí•q} xvvztv¡ntqp

)( ) = )( ) + )( ) =

=)( ) + )( ) + )( ) =

=)( ) = )( ) + )( ) = + )( ) + )( ) =

Êzjr wvrywry uv tv xlnsjz• xwvxvijuq tnwénunttv rywqz• wv vltvp rvt{nzn vivq} kqlvk wv rvwnprq q lvijkqz• r tqu síiyí qo zén} rvt{nz wv rvwnprq

Çjojsvx• i€ xzvs•rv n én¡ntqp lvs tj qunz• zjrj¹ ojlj·j

Æ rv¡ns•rn sn jz zéq uvtnz€ wv rvwnprq q lkn uvtnz€ wv rvwnprq frvs•rquq xwvxvijuq uv tv ywsjzqz• x wvuv ••í ëzq} uvtnz xyuuy k rvwnnr"

êzv ojkqxqz vltjrv vz zvmv rjrqn qunttv uvtnz€ sn jz k rv¡ns•rn cxsq uvtnz€ wv rvwnprq éjktv rjr q uvtnz€ wv rvwnprq éjosq·qu€ tjwéquné éjot€} mvlvk k€wyxrj

Çjr éjount¹z• méqknttqr"
zv ojlj·j xvkwjljnz x éjoviéjttvp q ywsjzy uv	tv wévqoknxzq

xwvxvijuq cxsq n kxn uvtnz€ wv rvwnprq tnéjosq·qu€ zv vxzjnzx¹ nlqtxzkntt€p xwvxvi ywsjz€ ² vin uvtnz€ wvrvwnprq q vltj uvtnzj k rvwnprq

Òjrqu viéjovu ojlj·q tj ywsjzy quníz éjot€p }jéjrzné k ojkqxquvxzq vz zvmv éjosq·qu€ qsq tnz uvtnz€ vltvmv q zvmv n lvxzvqtxzkj èjoviéjtt€p k€¡n unzvl én¡ntq¹ mvlqzx¹ sq¡• k xsy·jn rvmlj kxn uvtnz€ lj n vlqtjrvkvmv lvxzvqtxzkj x·qzjízx¹ éjosq·t€uq

Ívrj nu znwné• rjr én¡jz• ojlj·y k xsy·jn rvmlj uvtnz€ vltvmv lvxzvqtxzkj x·qzjízx¹ tnéjosq·qu€uq

Ærv¡ns•rn sn jz uvtnz wv rvwnprq q uvtnz wv

rvwnprq frvs•rquq xwvxvijuq uv tv ywsjzqz• ëzquq uvtnzjuq xyuuy k rvwnprq nxsq uvtnz€ vltvmv lvxzvqt

xzkj tnéjosq·qu€"

Ìivotj·qu ·qxsv én¡ntqp ojlj·q ·néno Φ( ) olnx•

votj·jnz ·zv y tjx uvtnz wv rvwnprq nxz• ¡zyr j² ·zv uvtnz wv rvwnprq nxz• ¡zyr èjovi•nu kxn

xwvxvi€ én¡ntq¹ ojlj·q tj rsjxx€ k ojkqxquvxzq vz zvmv xrvs•rv qxwvs•ovkjtv rvwnn·t€} uvtnz cxsq tjwéquné qxwvs•ovkjt€ lkn zjrqn uvtnz€ zv vxzjnzx¹ ywsjzqz• rvwnnr x wvuv••í rvwnn·t€} uvtnz j nxsq qxwvs•ovkjt€ kxn w¹z• uvtnz zv vxzjnzx¹ ywsjzqz• sq¡• rvwnnr cxsq n rvwn n·t€n uvtnz€ xvkné¡nttv tn qxwvs•ovkjsqx• ls¹ ywsjz€ zv kxn rvwnprq tjlv ywsjzqz• rvwnn·t€uq uvtnzjuq Òjrqu viéjovu qunnz unxzv éjkntxzkv

Φ( ) = Φ( ) + Φ( ) + Φ( ) +
+ Φ( ) + Φ( ) + Φ( )

Íévlvs jz• ljs•¡n tn tjlv zjr rjr y tjx zvs•rv w¹z• rv

wnn·t€} uvtnz ‰xtv ·zv qun¹ sq¡• lnx¹z• rvwnn·t€} uv tnz tnkvouv tv ywsjzqz• rvwnprq wvëzvuy Φ( ) =

bjsnn v·nkqltv ·zv tn·nztyí xyuuy tnkvouv tv ywsjzqz•rvwnn·t€uq uvtnzjuq j ·nztyí uv tv ywsjzqz• nlqtxzknt t€u viéjovu Ívëzvuy qo {véuys€ xsnlynz

Φ( ) = Φ( ) + Φ( ) = + =

cxz• zvs•rv lkj xwvxvij ywsjz€ = + = +

Çjr éjount¹z• méqknttqr"

Çvmlj zv wévnol tj unzév vwsj·qkjsx¹ rvwnn·tvp uvtnzvp éjomvkvé wv znsn{vty jkzvujzy ² rvwnn·tvp ·zvi€ k€wqz• xzjrjt mjoqévkjttvp kvl€ x xqévwvu tjlv i€sv vwyxzqz• k jkzvujz rvwnn·tyí uvtnzy j ino xqévwj ² rvwnn·tyí

	-sjkj ,9 è¬dÈÊcËʉ

uvtnzy Ê énmys¹étv tjlv i€sv éjountqkjz• méqknttqr uvtnzy k rvwnnr tj ivsnn unsrqn Ævz q én¡qu zjryí ojlj·y

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjount¹z• uvtnzy k rvwnnr tj uvtnz€ k q rvwnnr"

êzj ojlj·j wv}v j tj én¡jk¡yíx¹ k wénl€ly•nu wytrzn

Òvs•rv znwné• ·qxsv uvtnz éjotvmv lvxzvqtxzkj tn vméjtq·ntv Ívëzvuy ·qxsv én¡ntqp u€ vivotj·qu zjr Φ( )

èjxxy lj¹ zv·tv zjr n rjr q k wénl€ly•nu wytrzn éjovi•nu kxn xwvxvi€ éjountj tj rsjxx€ wv ·qxsy k}vl¹•q} k tq} w¹zj·rvk qsq

Φ( ) = Φ( ) + Φ( ) + Φ( )

‰xtv ·zv Φ( ) = ² éjount¹z• rvwnnr uv tv

nlqtxzkntt€u viéjovu

ïzvi€ xvx·qzjz• Φ( ) éjovi•nu kxn xwvxvi€ éjountj

rvwnnr uvtnzjuq rvwnprq tj rsjxx€ k ojkqxquvxzq vz zvmv xrvs•rv inéyz rvwnn·t€} uvtnz ΀ wvsy·qu

Φ( ) = Φ( ) + Φ( )

wnékvn xsjmjnuvn xvvzknzxzkynz xsy·jí rvmlj tn inénzx¹ tq vltj rvwnn·tj¹ uvtnzj j kzvévn ² rvmlj inéyz vlty zjryí uvtnzy Íévlvs j¹ k€·qxsntq¹ lv}vlqu lv xzévrq

Φ( ) = Φ( ) + Φ( ) + Φ( ) + Φ( ) + Φ( )

Æxn ëzq xsjmjnu€n éjkt€ zjr rjr síij¹ xyuuj rvwnprjuq
éjountqkjnzx¹	nlqtxzkntt€u viéjovu Êzjr Φ( ) =
Òv·tv zjr n	wvlx·qz€kjnzx¹ ·zv Φ( ) = Æxnmv

wvsy·jnu xwvxvivk

Æunxzv xvvztv¡ntq¹ uv tv i€sv ko¹z• xtj·jsj xvvz tv¡ntqn

Φ( ) = Φ( ) + Φ( )

Ìtv wvrjo€kjnz ·zv xwvxvi€ éjountj éjxwjljízx¹ tj zn mln tn qxwvs•ovkjt tq vlqt w¹zj·vr q tj zn mln }vz¹ i€ vlqt w¹zj·vr qxwvs•ovkjt

Ævvi•n nxsq tjlv éjount¹z• 1 rvwnnr uvtnzjuq lvxzv qtxzkvu k N N NP rvwnnr zv ls¹ ·qxsj xwvxvivk éjountj

Φ(N N NP 1) knétv énryééntztvn xvvztv¡ntqn

Φ(N N NP 1) =

= Φ(N N NP− 1) + Φ(N N NP 1 − N2)

ènryééntztvn xvvztv¡ntqn wvrjo€kjnz ·zv sqiv u€ tn qxwvs•oynu tq vltvp uvtnz€ k NP rvwnnr tjiqéj¹ kxí xyuuy

bqjméjuutj¹ zn}tqrj

uvtnzjuq k N N NP− rvwnnr sqiv }vz¹ i€ vltj qo uvtnz k NP rvwnnr qxwvs•ovkjtj zvmlj tjlv tjiéjz• vxzjk¡yíx¹

xyuuy k 1 − NP rvwnnr uvtnzjuq k N N NP rvwnnr cxsq n rjr ëzv i€sv k w uvtnz€ tn lvs t€ wvkzv

é¹z•x¹ zv xvvztv¡ntqn ojunt¹nzx¹ xvvztv¡ntqnu

)(N N NP 1) =

= )(N N NP− 1) + )(N N NP− 1 − NP)

djlj·q

Ï t€tn¡tq} zjsvtvk tj wévnol otj·t€p tvuné Ìwénlnsqzn tjxrvs•rv ·jxzv xénlq tq} wvwjljízx¹ ©x·jxzsqk€nª

bvrj qzn ·zv éyis• uv tv éjount¹z• uvtnzjuq k q rvwnnr ivs•¡qu ·qxsvu xwvxvivk ·nu uvtnzjuq k q rvwnnr

j frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjount¹z• rvwnnr tj uvtnz€ k q rvwnnr"

i frvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjount¹z• éyis• tj uvtnz€ lvxzvqtxzkvu k q rvwnnr"

frvs•rquq xwvxvijuq uv tv xvxzjkqz• knx k m wvs•oy¹x• kvxnu•í éjotvknxrjuq k m" Íéq ëzvu x·qzjnzx¹ ·zv wéquntntqn lky} éjot€} éjotvknxvr }vz¹ i€ q quní•q} vlqtjrvk€p knx ljnz éjosq·t€n rvuiqtj|qq

bqjméjuutj¹ zn}tqrj

Ínékvtj·js•t€n unzvl€ lvrjojzns•xzkj znvénu v éjoiqntq¹} ·qxns i€sq knx•uj xsv t€ Çjr q kv utvmq} kvwévxj} ujzn ujzqrq wéqksn·ntqn mnvunzéq·nxrq} xvviéj ntqp ywévxzqsv q xlnsjsv tjms¹lt€uq lvrjojzns•xzkj ëzq} znvénu

Çj lvn éjoiqntqn ·qxsj 1 tj xsjmjnu€n uv tv qoviéjoqz• k kqln lqjméjuu€ Çj lj¹ xzévrj lqjméjuu€ xvxzvqz qo xzvs•

rq} zv·nr xrvs•rv nlqtq| k}vlqz k xvvzknzxzkyí•nn xsjmjn uvn Ëjwéquné éjoiqntqí = + + + xvvzknzxzkynz lqj

méjuuj tj éqx

èjoiqntq¹ vzsq·jí•qnx¹ sq¡• wvé¹lrvu xsjmjnu€} u€ iylnu éjxxujzéqkjz• rjr vlqtjrvk€n bs¹ zjrq} éjoiqntqp xzévrq k lqjméjuun uv tv éjxwvsv qz• zjr ·zvi€ q} lsqtj tn yi€kjsj xkné}y ktqo Çévun zvmv wnék€n zv·rq k rj lvp xzévrn u€ iylnu qoviéj jz• k vltvu q zvu n xzvsi|n Òjrqn lqjméjuu€ iylnu tjo€kjz• tvéujs•t€uq

f wvuv••í lqjméjuu snmrv lvrjo€kjz• éjosq·t€n xkvpxzkj éjoiqntqp bvrj nu tjwéquné ·zv ·qxsv xwvxvivk éjoiqntq¹

·qxsj 1 tj tn ivsnn ·nu P xsjmjnu€} zjrvn n rjr q xwvxvivk éjoiqntq¹ 1 + P tj évktv P xsjmjnu€}

Æxjuvu lnsn lqjméjuuj qoviéj jí•j¹ éjoiqntqn ·qxsj 1 tj tn ivsnn ·nu P xsjmjnu€} xvxzvqz qo 1 zv·nr éjxwvsv ntt€} tn ivsnn ·nu k P xzévrj} bvwvstqu nn xkné}y

tysnk€uq xzévrjuq zjr ·zvi€ k tnp xzjsv P xzévr q lvijkqu

	-sjkj ,9 è¬dÈÊcËʉ

	èqx		èqx	2	èqx 2
r	rj	lvp qo zjrq} lqjméjuu xsnkj xzvsin| xvxzv¹•qp qo P
zv·nr		xu	éqx	mln qoviéj	ntv ëzv wénviéjovkjtqn ls¹
1	= P = Ívsy·qzx¹ lqjméjuuj xvxzv¹•j¹ qo 1 + P zv·nr

éjxwvsv ntt€} k P xzévrj} wéq·nu k rj lvp xzévrn vrj nzx¹

}vz¹ i€ vltj zv·rj Ìiéjztv nxsq ojljtj lqjméjuuj xvxzv¹•j¹ qo 1 + P zv·nr éjxwvsv ntt€} k P xzévrj} zv vziéjx€kj¹

nn wnék€p xzvsin| u€ wvsy·qu lqjméjuuy qo 1 zv·nr wéq·nu ·qxsv xzévr iylnz tn ivs•¡n ·nu P xkné}y uvmyz wv¹kqz•x¹ tysnk€n xzévrq q} uv tv tn y·qz€kjz•

΀ yxzjtvkqsq kojqutv vltvotj·tvn xvvzknzxzkqn un ly lqjméjuujuq lky} kqlvk Ívëzvuy ·qxsv lqjméjuu vivq} kqlvk vlqtjrvkv

Ënxrvs•rv xsv tnn lvrjo€kjnzx¹ xsnlyí•j¹ znvénuj znv énuj êpsnéj

ïqxsv xwvxvivk éjoiqntq¹ ·qxsj 1 tj tn ivsnn ·nu P xsj mjnu€} éjktv ·qxsy xwvxvivk éjoiqntq¹ ·qxsj 1 + P(P + ) tj

P tnéjkt€} ·jxznp

Çj lvn éjoiqntqn ·qxsj 1 tj tn ivsnn ·nu P xsjmjnu€} qoviéjoqu k kqln tvéujs•tvp lqjméjuu€ qo 1 zv·nr vtj iylnz xvlné jz• tn ivsnn ·nu P xzévr Ìw¹z• lvwvstqu nn xkné}y tysnk€uq xzévrjuq zjr ·zvi€ k tnp xzjsv P xzévr j ojznu lvijkqu r rj lvp zjrvp lqjméjuun xsnkj éjktvinléntt€p

wé¹uvymvs•t€p zénymvs•tqr qo P xzévr tj éqx qoviéj ntv zjrvn wénviéjovkjtqn wéq 1 = P = Òjr rjr ·qxsv zv·nr

k zénymvs•tqrn éjktv P(P + ) zv u€ wvsy·qu tvéujs•tyí

lqjméjuuy qo 1 + P(P + ) zv·nr xvlné j•yí P xzévr

Íéq ëzvu kxn xzévrq lqjméjuu€ iylyz éjosq·tvp lsqt€ Æ xjuvu lnsn lsqt€ xzévr qx}vltvp lqjméjuu€ wéq lkq ntqq xkné}y ktqo tn yi€kjíz j lsqt€ xzévr zénymvs•tqrj kxn kénu¹ yknsq·qkjízx¹ dtj·qz wvxsn lvijksntq¹ zénymvs•tqrj wvsy ·jnzx¹ lqjméjuuj lsqt€ xzévr rvzvévp kxn kénu¹ éjxzyz fsnlvkjzns•tv xzévr vlqtjrvkvp lsqt€ i€z• tn uv nz

	bkvpxzkntt€n lqjméjuu€
Ìiéjztv qo rj	lvp tvéujs•tvp lqjméjuu€ ls¹ éjoiqntq¹
·qxsj 1 + P(P + )	tj P tnéjkt€} xsjmjnu€} uv	tv yljsqz•

xsnkj éjktvinléntt€p wé¹uvymvs•t€p zénymvs•tqr xvlné j •qp P xzévr q wvsy·qz• lqjméjuuy ls¹ éjoiqntq¹ 1 tj tn ivsnn ·nu P xsjmjnu€} êzv xvvzknzxzkqn un ly lqjméjuujuq lky} kqlvk wvrjo€kjnz ·zv ·qxsv q} vlqtjrvkv Ònu xju€u tj¡n yzkné lntqn lvrjojtv

bkvpxzkntt€n lqjméjuu€

Ëjé¹ly x lvijksntqnu xzvsi|vk qsq zénymvs•tqrvk ·jxzv qxwvs•oyíz wvkvévz lqjméjuu tj ° x wvxsnlyí•np tvéujsq

oj|qnp éqx cxsq xlnsjz• zjrvn wénviéjovkjtqn n•n éjo zv xtvkj wvsy·qu qx}vltyí lqjméjuuy Ívëzvuy kxn lqjméjuu€ éjxwjljízx¹ tj lkvpxzkntt€n léym léymy wjé€ lqjméjuu }vz¹ tnrvzvé€n lqjméjuu€ vrjo€kjízx¹ wéq ëzvu lkvpxzkntt€uq xjuq xnin tjwéquné lqjméjuuj tj éqx

Ívs•oy¹x• lkvpxzknttvxz•í lqjméjuu uv tv xéjktqkjz• éjoiqntq¹ wvl·qtntt€n tnrvzvé€u yxsvkq¹u tj knsq·qty xsj mjnu€} x éjoiqntq¹uq wvl·qtntt€uq yxsvkq¹u tj ·qxsv xsjmjnu€} Ëjwéquné xwéjknlsqkv xsnlyí•nn yzkné lntqn

èjoiqntqp ·qxsj 1 tj xsjmjnu€n tn wénkvx}vl¹•qn P xzvs•rv n xrvs•rv éjoiqntqp 1 tj tn ivsnn ·nu P xsjmjnu€}

Æ xjuvu lnsn lqjméjuu€ qoviéj jí•qn éjoiqntqn 1 tj xsjmjnu€n tn wénkvx}vl¹•qn P xvxzv¹z qo xzévr tq vltj qo rvzvé€} tn lsqttnn ·nu P dtj·qz k zjrq} lqjméjuuj}

tn ivsnn ·nu P xzvsi|vk ¬ nxsq wvknétyz• zjryí lqjméjuuy tj ° zv wvsy·qzx¹ lqjméjuuj xvlné j•j¹ tn ivsnn ·nu P

xzévr z n qoviéj jí•j¹ éjoiqntqn zvmv n ·qxsj 1 tj tn ivsnn ·nu P xsjmjnu€}

Òv·tv zjr n lvrjo€kjnzx¹ xsnlyí•nn yzkné	lntqn
èjoiqntqp ·qxsj 1 tj P xsjmjnu€} xzvs•rv	n xrvs•rv

éjoiqntqp 1 tj xsjmjnu€n tn wénkvx}vl¹•qn P }vz¹ i€ vltv qo rvzvé€} éjktv P

bjsnn éjxxuvzéqu éjoiqntq¹ ·qxsj 1 tj ·nzt€n xsjmjnu€n êzq éjoiqntq¹ qoviéj jízx¹ lqjméjuujuq xzévrq rvzvé€} xv lné jz ·nztvn ·qxsv zv·nr Ëv zvmlj k lkvpxzknttvp lqjméjuun

èqx

èqx

èqx

-sjkj ,9 è¬dÈÊcËʉ

iylnz ·nztvn rvsq·nxzkv xsjmjnu€} rj lvmv kqlj éqx

Ìzxílj k€kvlqu zjrvn yzkné lntqn

èjoiqntqp ·qxsj 1 tj ·nzt€n xsjmjnu€n xzvs•rv n xrvs•rv éjoiqntqp k rvzvé€n rj lvn qo ·qxns k}vlqz x ·nztvp réjztvxz•í éjoyunnzx¹ tnrvzvé€n qo ·qxns uvmyz xvkxnu tn k}vlqz• zjr rjr tys• ² ·nztvn ·qxsv

¬tjsvmq·tv lvrjo€kjnzx¹ xsnlyí•nn yzkné lntqn

èjoiqntqp ·qxsj 1 tj tn·nzt€n xsjmjnu€n xzvs•rv n xrvs•rv éjoiqntqp 1 k rvzvé€n rj lvn qo xsjmjnu€} révun tjqivs•¡nmv k}vlqz x ·nztvp réjztvxz•í j tjqivs•¡nn xsjmjnuvn ² x tn·nztvp réjztvxz•í

djlj·q

bvrj qzn ·zv wvstvn rvsq·nxzkv éjoiqntqp ·qxsj Q tj tnxrvs•rv xsjmjnu€} éjktv rvsq·nxzky éjoiqntqp ·qxsj Q tj Q

xsjmjnu€} wvé¹lvr xsjmjnu€} tn wéqtqujnzx¹ kv ktqujtqn		U + [
bvrj qzn	·zv rvsq·nxzkv éjoiqntqp ·qxsj U + [ tj
xsjmjnu€} zjrvn	n rjr q rvsq·nxzkv éjoiqntqp U tj xsjmjnu€n
bvrj qzn	·zv ·qxsv xwvxvivk éjoiqz• Q tj xsjmjnu€n	zjr

·zvi€ tq vltv ·qxsv tn k}vlqsv k xyuuy ivsnn U − éjo éjktv ·qxsy xwvxvivk éjoiqz• Q tj ·jxzq tn lns¹•qnx¹ tj U

Ðvéuysj êpsnéj

Æxk¹oq x tnrvzvé€uq kvwévxjuq éjoiqntqp êpsné qoy·qs inxrvtn·tvn wévqoknlntqn

$ = ( − [)( − [ )( − [ ) ( − [Q)

èjxrévnu k ëzvu wévqoknlntqq wnék€n xrvirq ΀ wvsy·qu k€éj ntqn

$= > − [ − [ + [ + [ − [ − [ + [ + @ ×

×( − [ )( − [ ) ( − [Q)

mln k rkjléjztvp xrvirn zv·rjuq vivotj·nt€ xsjmjnu€n xv lné j•qn [ k ivsnn k€xvrvp xznwntq ·nu ΀ tn xzjsq k€wqx€kjz• ëzq ·snt€ zjr rjr wvxsn yutv ntq¹ rkjléjztvp xrvirq tj − [ − [ q z l vtq qount¹zx¹ Æ€wqxjtt€n

n ·snt€ ivs•¡n unt¹z•x¹ tn iylyz Ívëzvuy nxsq éjxré€z• kxn xrvirq zv wvsy·qzx¹ inxrvtn·t€p é¹l wnék€n ·snt€ rv zvévmv quníz kql

$ = − [ − [ + [ + [ − [ − [ + [ +

Æqltv ·zv wvxsn lky} vzéq|jzns•t€} ·sntvk qlyz lkj wvsv qzns•t€} wvzvu xtvkj lkj vzéq|jzns•t€} q z l Ìltjrv ojrvt wv rvzvévuy qlyz wvrjojznsq ëzq} ·sntvk ysvkqz• mv éjolv zéyltnn Íyznu lsqzns•tvmv ërxwnéquntzqévkjtq¹ êpsné

yxzjtvkqs xsnlyí•nn wéjkqsv

Ðvéuysj êpsnéj
cxsq wénkéjzqz• inxrvtn·tvn wévqoknlntqn
( − [)( − [ )( − [ ) ( − [Q)

k é¹l zv k ëzvu é¹ly iylyz vzsq·t€ vz tys¹ sq¡• xsjmjnu€n

N ±N

kqlj (− )N [ mln N ² tjzyéjs•tvn ·qxsv

Ònvénuj êpsnéj qunnz ivs•¡vn otj·ntqn tn zvs•rv k znvéqq éjoiqntqp tj xsjmjnu€n tv q k znvéqq ëssqwzq·nxrq} {ytr|qp q léymq} kvwévxj} ujznujzq·nxrvmv jtjsqoj Ìltjrv ivs•¡qt xzkv lvrjojzns•xzk ëzvp znvénu€ lvkvs•tv xsv t€ ΀ wéqkn lnu xnp·jx knx•uj wévxzvn mnvunzéq·nxrvn lvrjojzns•xzkv znv énu€ êpsnéj Íénlkjéqzns•tv tju wvtjlviqzx¹ x{véuysqévkjz• ëzy znvénuy tj ¹o€rn znvéqq éjoiqntqp

Íéq éjxré€zqq xrvivr k k€éj ntqq xsjmjnuvn ± [1

kxzénzqzx¹ xzvs•rv éjo xrvs•rquq xwvxvijuq uv tv éjoiqz• ·qxsv 1 tj éjosq·t€n xsjmjnu€n Íéq ëzvu nxsq ·qxsv xsjmj

nu€} ·nztv zv wv¹ks¹nzx¹ [1 j nxsq ëzv ·qxsv tn·nztv zv wv¹ks¹nzx¹ −[1 Ëjwéquné éjoiqntqí = + + + xvvz

knzxzkynz xsjmjnuvn (−[ )(−[ )(−[ )(−[ ) = [ j éjoiqntqí= + + ² xsjmjnuvn (−[ )(−[ )(−[ ) = −[ Òjrqu viéj

ovu rvë{{q|qntz wéq [1 k éjosv ntqq éjknt éjotvxzq un ly rvsq·nxzkvu éjoiqntqp 1 tj ·nztvn ·qxsv éjosq·t€} xsjmjnu€} q rvsq·nxzkvu éjoiqntqp 1 tj tn·nztvn ·qxsv éjosq·t€} xsjmjnu€} Ònvénuj êpsnéj yzkné ljnz xsnlyí•nn

cxsq ·qxsv 1 tn uv nz i€z• wénlxzjksntv k kqln 1 = N ± N zv vtv qunnz vlqtjrvkvn rvsq·nxzkv éjoiqntqp

tj ·nztvn q tj tn·nztvn ·qxsv éjosq·t€} xsjmjnu€} ¬ ls¹ ·qxns kqlj 1 = N ± N éjotvxz• un ly ëzquq rvsq·nxzkjuq

éjktj (− )N

Êt€uq xsvkjuq nxsq N ·nztv zv tj ivs•¡n éjoiqntqp tj ·nztvn ·qxsv xsjmjnu€} j nxsq N tn·nztv zv tj ivs•¡n éjoiqntqp tj tn·nztvn ·qxsv xsjmjnu€}

ïzvi€ lvrjojz• znvénuy êpsnéj wvrj nu tnxrvs•rv xwvxv ivk wénkéj•ntq¹ lqjméjuu€ x ·nzt€u ·qxsvu xzévr k lqjméju uy qo xzvs•rq} n zv·nr x tn·nzt€u ·qxsvu xzévr q viéjztv

Òjr rjr u€ éjxxujzéqkjnu sq¡• éjoiqntq¹ tj éjosq·t€n xsjmjnu€n zv tvéujs•t€n lqjméjuu€ zjrq} éjoiqntqp xvxzv ¹z qo tnxrvs•rq} zéjwn|qp wvxzjksntt€} léym tj léymj Ìivotj·qu ·qxsv zv·nr k kné}tnp xzévrn lqjméjuu€ ·néno P