∞

(x, y) = ∑αn βn = (a, b).

n=1

Благодаря установленному изоморфизму мы можем элементы произвольного абстрактного бесконечномерного, сепарабельного гильбертова пространства изображать в виде точек пространства l 2. При этом изображении сохраняются алгебраические и метрические свойства элементов, а также свойство ортогональности. Такое представление называют координатной реализацией гильбертова пространства. Для конечномерного гильбертова пространства аналогичным образом устанавливается его алгебраический изоморфизм с конечномерным евклидовым пространством Rn, также с сохранением нормы и скалярного произведения.

Пространство L2

Пространство L2 означает совокупность всех вещественных измеримых (определение измеримости см. в [7]) функций х(t), заданных и суммируемых с квадратом на отрезке [а, b]. Суммируемость с квадратом означает, что

b

∫x2 (t)dt < ∞,

a

т. е. что функция x2 (t) должна быть суммируемой. Ясно, что в L 2 входят, в частности, все ограниченные измеримые функции, заданные на [а, b], тем более входят все непрерывные функции.

Вместо отрезка [а, b] можно рассматривать любое измеримое множество с конечной мерой (см. [7]) в любом евклидовом пространстве Rn .

Норма в L2 вводится по формуле

x = ∫b x2 (t) dt .

a

При таком определении все аксиомы нормы выполняются. Таким образом, L2

– нормированное пространство. Кроме того, это пространство является банаховым и сепарабельным.

Для любого элемента x L2 можно одновременно рассматривать его нормы в пространствах L2 и L1: x L2 и x L1 . Эти нормы связаны следующим

соотношением:

x L1 ≤ b −a x L2 .

89

Определим в L2 скалярное произведение функций x, y L2 как интеграл от произведения этих функций по отрезку [a, b]:

(x, y) = ∫b x(t) y(t)dt .

a

Следовательно, норма в L2 порождается скалярным произведением, и, поскольку L2 полно, оно является гильбертовым пространством. Кроме того, оно бесконечномерно.

Итак, L2 – бесконечномерное, сепарабельное, гильбертово пространство.

По теореме 5.11 пространство L2 изоморфно и изометрично пространству l 2. Также по теореме 5.12 сохраняется и величина скалярного произведения. Но так как теорема 5.11 применима к любому абстрактному сепарабельному бесконечномерному гильбертову пространству H, то сопоставляя каждому элементу h H вместо соответствующего ему элемента x l 2

соответствующий элементу x элемент y L2, мы установим алгебраический изоморфизм между H и L2 с сохранением величины нормы и скалярного произведения. Таким образом, можно говорить, что пространство l2 представляет функциональную реализацию абстрактного сепарабельного бесконечномерного гильбертова пространства.

90