Тема 3. Линейные пространства. Операторы в линейных пространствах. Понятие о фактор-пространстве. Линейные операторы. Действия над операторами. Обратный оператор. Выпуклые функционалы и выпуклые множества.

Основные понятия

Определение 3.1. Пусть задано линейное пространство X и его элементы x1 , x2 , , xn . Их линейной комбинацией называется всякая сумма вида

α1x1 +α2 x2 + +αn xn ,				где	α1 ,α2 ,α3 ,... R		(или	α1 ,α2 ,α3 ,... C ). Элементы
x1 , x2	, , xn X	называются линейно				зависимыми, если существуют			такие
α1,α2 , ,αn ,		не	все		равные	0,	что	α1 x1 +α2 x2 + +αn xn = 0;	если
α1x1 +α2 x2 + +αn xn = 0				только при условии α1 = 0,α2 = 0, ,αn = 0, то элементы
x1 , x2	, , xn называются линейно независимыми.

Определение 3.2. Пространство X называется n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а всякие (n + 1) векторов зависимы. Всякое n- мерное пространство называется конечномерным. Если же при любом натуральном n существует n линейно независимых элементов, то пространство называется бесконечномерным.

Например, C[a,b] бесконечномерно, так как среди любого конечного числа функций 1,t,t2 , ,tn , нет линейно зависимых.

Определение 3.3. Пусть пространство X n-мерно; тогда любой набор n линейно независимых элементов называют базисом этого пространства.

Определение 3.4. Два линейных пространства X и X ′ называются (линейно) изоморфными, если можно установить взаимно-однозначное соответствие x ↔ x′, обладающее свойствами:

1)если x ↔ x′, то α x ↔α x′при любом скаляре α ;

2)если x ↔ x′ и y ↔ y′, то x + y ↔ x′+ y′.

Само соответствие x ↔ x′ называют (линейным) изоморфизмом пространств

X и X ′.

Определение 3.5. Пусть X — линейное пространство и M X .

M называется подпространством X, если

1)из x M следует α x M при любом скаляре α ;

2)из x, y M следует x + y M .

Множество M в этом случае тоже образует линейное пространство при том же определении действий.

Определение 3.6. Рассмотрим произвольное множество S X и возьмем пересечение всех подпространств M, содержащих S. Мы получим подпространство, которое назовем линейной оболочкой S и обозначим M(S).

38

Очевидно, M(S) – минимальное подпространство, содержащее S, в том смысле, что всякое другое подпространство, содержащее S, содержит и M(S).

Очевидно также, что M(S) составляется из всевозможных комбинаций α1 x1 + +αn xn , где xi S , т.е.

		M (S) ={α1x1 +α2 x2 + +αn xn }, xi S .
Определение 3.7. Если S = M1 M2 , где M1, M2					- подпространства, то
		M (S) ={x1 + x2 ; x1 M1, x2 M2 }.
В этом случае линейная оболочка называется суммой M1 и M2							и
Определение	3.8.	обозначается M (S) = M1 + M2 .
		Подпространства		M1, M2 , , Mk		называются
независимыми,	если	x1 + x2 + + xk = 0	тогда	и	только	тогда,	когда
x1 = 0, , xk = 0.
Определение 3.9. Если подпространства M1, M2 , , Mk						независимы, то
множество элементов x = x1 + x2 +... + xk ,			xi M i , i =1,..., k называется их прямой
суммой и обозначается M = M1 M 2 M n .

Замечание 3.1. Линейное пространство может состоять из одного только элемента. Существует лишь одно такое пространство 0 = {0}. В нем базисом является пустое множество, и его размерность нулевая.

Замечание 3.2. Если в множестве всех комплексных чисел E определено обычным способом сложение комплексных чисел, а умножение комплексного числа – только на вещественное, то E станет вещественным пространством. Вообще, произвольное комплексное пространство X можно рассматривать как вещественное линейное пространство, если условиться допускать умножение его векторов только на действительные скаляры. Поэтому, например, можно говорить о вещественных подпространствах комплексного линейного пространства X.

Упражнения.

1) Если {x1 , x2 , , xn } - базис в конечномерном линейном пространстве X,

то для любого	x X	существует и единственно представление
x =ξ1x1 +ξ2 x2 + +ξn xn .	(Числа	ξ1 , ,ξn называются координатами вектора x

относительно базиса x1 , , xn ).

2)Доказать, что соответствие x ↔ (ξ1 , ,ξn ) между векторами

абстрактного n-мерного пространства X и упорядоченными наборами их координат в фиксированном базисе есть изоморфизм пространств X и En .

3) Доказать, что два конечномерных пространства над одним и тем же полем скаляров изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.

39

4) Доказать, что размерность комплексного пространства вдвое увеличится, если его рассматривать как вещественное пространство.

5) Пусть X - n-мерное вещественное пространство, а X - комплексное пространство, полученное из X после процесса комплексификации. Какова

размерность ~ , если его рассматривать как вещественное пространство?

X

6) Пусть β( X ) - множество всех подмножеств линейного пространства X. Для любых E β( X ) и F β( X ) (другими словами E X и F X ) и любого скаляра λ определим операции «сложения» и «умножения на скаляр»:

E + F ={x + y; x E, y F},

λE ={λ x; x E}, − E = (−1)E, E − F = E +(−F).

Проверить, какие аксиомы линейного пространства будут выполняться.

Фактор-пространство.

Определение 3.10. Пусть X – линейное пространство и M – его подпространство. Два элемента x1,x2 X называются эквивалентными по

модулю M (в обозначении x1 ~ x2 (mod M)), если x1 − x2 M .

Легко проверить, что соотношение ~ рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Поэтому все пространство X разбивается с помощью M на

непересекающиеся классы x			эквивалентных элементов.
Будем теперь считать эти классы элементами нового пространства X ;
каждый элемент		x x назовем представителем класса					x . Операцию
сложения элементов определим следующим образом:						если	x0 x, y0	y , то
							~	~
суммой x + y	назовем класс с представителем				x0 + y0 .	Докажем, что класс
x + y не зависит от выбора представителей x0 и y0.
Пусть	x′ ~x, y′ ~y ;		тогда	x′+ y′ ~ x0 + y0 .			Действительно
(x′+ y′)−(x0 + y0 )= (x′− x0) +( y′− y0) M , так				как	x′− x0 M , y′− y0 M ,			а M –
подпространство.			умножение	на скаляр.		Пусть	x0 x ;	тогда
Аналогично определим
произведением α x							~
		назовем класс с представителем α x0 . Докажем, что α x
	~							~

определяется независимо от выбора x0 ~x . Действительно, пусть также x′ ~x ;

тогда α x′ ~ α x0 , так как α x′−α x0 =α(x′− x0 ) M (так как x′−x0 M , а M – подпространство). Нетрудно также проверить, что все аксиомы линейного

пространства выполнены в определенном таким образом X . Построенное линейное пространство называется фактор-пространством X по M и обозначается X/M.

40

Упражнение. Доказать, что X/M имеет размерность n–m, если M – m- мерное подпространство в n-мерном пространстве X.

Операторы в линейных пространствах.

Определение 3.11. Пусть заданы пространства X и Y. Будем говорить, что задан оператор из пространства X в пространство Y с областью определения

D X , если каждому x D ставится в соответствие y Y. При этом Y называют

областью значений оператора.

Тогда будем обозначать y = A(x) или y = Ax . Буква A обозначает здесь

оператор, т.е. правило, согласно которому каждому							x DA		ставится	в
соответствие элемент y Y.				( DA	- область определения оператора А.)
Определение 3.12. Если Y = X, то говорят, что A – оператор в данном
пространстве X.
Определение		3.13. Если			DA = X ,	то говорят, что	A –	всюду в		X
определенный оператор.
Определение 3.14. Если				Y = R , то оператор называют функционалом и
пишут y = f(x).
Определение 3.15. Два оператора равны: A = B, если совпадают их
области определения DA = DB				и A x = B x для всех x DA = DB .
Определение 3.16. Оператор A называют сужением B, или B –
расширением A (в обозначениях: A B, B A ), если DA DB и								A x = B x для
всех x DA .
Если A B и B A, то операторы совпадают.
			Линейные операторы.
Пусть X и Y – линейные пространства над одним полем скаляров K, т.е.
или оба вещественные или оба комплексные.
Определение		3.17.	Оператор A с			областью определения			DA X	и
областью значений RA Y называется линейным, если
1) DA - подпространство;						x1, x2 DA (свойство аддитивности
2)	A(x1 + x2 ) = A x1 + A x2 при				любых
оператора);						α K и любом
3)	A(α x) =α A x	при	любом		числе		x DA		(свойство
	однородности оператора).

41

Легко видеть, что при условии 1) свойства 2) и 3) в совокупности эквивалентны следующему условию:

4) A(α1x1 +α2 x2 +... +αтxт) =α1 A x1 +α2 A x2 + +αт A xт

(доказывается по индукции).

Примеры линейных операторов.

1) Пусть X = Y = C[a,b], DA - совокупность функций, непрерывно дифференцируемых на [a,b]. Определим

A следующим образом:

( A x)(t) = x′(t), x′(t) C[a,b].

Это оператор дифференцирования; он, очевидно, линеен.

2) X =Y =C[a,b], DA = C[a,b]. Оператор определим так:

A x(t) = ∫abk(t,τ)x(τ)dτ; a ≤ t,τ ≤ b.

Очевидно, что этот оператор линеен. Он называется интегральным оператором.

3) Изоморфизм X и Y есть взаимно однозначный линейный оператор, отображающий всеX на все Y.

Замечание 3.3. В дальнейшем, если это не будет особо оговариваться, мы будем рассматривать только линейные операторы (вообще говоря, не всюду определенные). Поэтому слово «линейный» мы будем опускать.

Замечание 3.4. Если будет рассматриваться оператор A не в X, а из X в Y, то без оговорок будет предполагаться, что у X и Y общее поле скаляров K (вещественное или комплексное).

Замечание 3.5. Мы видим, что оператор может быть определен как на всем пространстве, так и на его подпространстве. Можно было бы в последнем случае заменить X подпространством DA и рассматривать A как

линейный оператор из DA в Y. Однако, если приходится рассматривать

несколько операторов из X в Y с разными областями определения, то такой подход неудобен.

42

Действия над операторами.

1. Умножение на число.

Пусть задан оператор из X в Y с областью определения DA .

Произведением α A оператора A на число α назовем такой оператор, что Dα A = DA и (αA)x =α( A x) для всех x DA. Легко проверить, что это действие

умножения на число обладает следующими свойствами:

1)α(βA) = (αβ) A;

2)1 A = A, где 1 – число;

3)0 A = 0, где слева 0 – число, справа оператор 0, определенный на всем

X равенством 0x = 0, (0 – называется нулевым оператором).

0 A является сужением нулевого оператора, так как правая часть – оператор 0 – определен на всем X, а левая часть – лишь на DA .

1) и 2) очевидны.

2. Сложение операторов.

Пусть заданы операторы A и B из X в Y с областями определения DA и DB соответственно. Суммой этих операторов называется такой оператор A + B, что DA+B = DA DB (это пересечение никогда не бывает пустым, так

как 0 DA ,0 DB ) и (A + B)x = Ax + Bx для всех x DA+B . Легко проверить, что

1)A + B = B + A;

2)A + (B + C) = (A + B) + C;

3)A + 0 = 0 + A = A;

4)α(A + B) = αA + αB;

5)(α + β)A = αA + βA.

3. Умножение операторов.

Пусть даны A из X в Y с областью определения DA и B из Y в Z с областью определения DB . Произведением AB этих двух операторов назовем оператор из X в Z, определяемый следующим образом: DAB состоит из тех и

только тех	элементов	x DA , для которых A x DB	и оператор задается
формулой	ABx = B( Ax)	для всех x DAB . При этом DAB	состоит по меньшей

мере из нулевого элемента, т.е. не пусто.

Эта операция обладает следующими свойствами:

1)(AB) C = A(BC);

2)(A + B) C = AC + BC;

43

3) C (A + B) CA + CB (равенство имеет место, в частности, если оператор C всюду определен).

Доказательство этих свойств, а также свойств 1) – 5) мы оставляем в качестве упражнения. При этом нужно особо следить за областями определения.

Определение 3.18. Обозначим через 1X оператор в X с областью определения D1X = X , определенный условием 1X x = x для всех x X.

1X называют единичным оператором в X. Индекс X у оператора 1X обычно

опускают, если только это не может вызвать недоразумений. Если A – оператор из X в Y, то, очевидно,

A 1Y = A; 1X A = A .

Если A – оператор в X, т.е. Y = X, то можно говорить о степенях одного и того же оператора:

A2 = A A, A3 = A A2 , , An = A A A .

n раз

Условимся под A0 понимать единичный оператор 1X .

Пользуясь этим определением, можно ввести понятие многочлена от

оператора.
Определение 3.19. Пусть p(x) = a xn + + a		x0 ; тогда под многочленом
0	n

p(A), где A — ограниченный оператор, мы понимаем следующий оператор:

p( A) = a0An + + an A0 .

Таким образом, при заданном операторе A каждому многочлену p(x) можно поставить в соответствие оператор p(A). Это соответствие обладает следующими свойствами:

Если p(x) = p1		(x) + p2 (x) , то p( A) = p1( A) + p2 ( A) ;
Если	p(x) =α p1 (x) ,		то p( A) =α p1 ( A) ;
Если	p(x) = p1	(x) p2 (x) ,	то p( A) = p1 ( A) p2 ( A) .

Упражнения.

1)Доказать, что множество всех линейных всюду определенных на X операторов из X в Y есть линейное пространство. Найти его размерность, если X и Y конечномерны.

2)Пусть A – фиксированный всюду определенный оператор в X. Доказать, что соответствие, относящее каждому всюду определенному оператору B в X оператор AB, является линейным оператором (на пространстве всех операторов в X).

3)Доказать, что для каждого оператора A в n-мерном пространстве X

существует ненулевой многочлен степени p ≤ n2 такой, что p( A) = OX .

44

Обратный оператор.

Определение 3.20. Пусть A – оператор X в Y с областью определения DA ,

не обязательно линейный. Оператор B из Y в X называется обратным оператору A, если

1)DB = RA , где RA - область значений оператора A;

2)AB x = x для всех x DA , т.е. AB 1X .

Заметим, что если B обратен к A, то и A – обратен к B. В самом деле, применим к обеим частям 2) определения 3.20 оператор A; мы получим

А( AB x) = AB( Ax) = Ax .

Полагая Ax = y RA = DB , мы видим, что

2 ) BA y = y для всех y DB , т.е. BA 1Y кроме того, из 2) очевидно, что

1) DA = RB .

Оператор B обратный к A обозначается A−1 . Тот факт, что оператор, обратный к обратному, есть исходный, можно записать так: (A−1 )−1 = A .

Утверждение 3.1. Если оператор A линеен, и обратный оператор B = A−1 существует, то B также линеен.

Доказательство. Действительно, пусть y1, y2 DB = RA , так что

y1 = Ax1 , y2 = Ax2 , где x1, x2 DA .

Тогда α1 y1 +α2 y2 =α1 A x1 +α2 A x2 = A(α1x1 +α2 x2 ) RA = DB .

Отсюда по определению обратного оператора

B(α1 y1 +α2 y2 )= B A(α1x1

доказано.

Если существует A−1

A : A−n = (A−1)n .

+α2 x2 ) =α1x1 +α2 x2 =α1By1 +α2 By2 ,

и

утверждение

и X = Y, можно определить отрицательные степени

Нахождение обратного оператора равносильно решению функционального уравнения: Ax = y, y – задано, x DA , так как по

определению обратного оператора x = A−1 y .

Утверждение 3.2. Пусть A – оператор X в Y с областью определения DA ; A−1 существует тогда и только тогда, когда из Ax = 0Y , x DA следует, что

x = 0X .

Доказательство.

Необходимость. Пусть B = A−1 существует и пусть Ax = 0, где x DA .

45

В силу утверждения 3.1 оператор B - линеен, поэтому, применяя оператор B к обеим частям равенства Ax = 0 и учитывая 2) определения 3.19, получаем

x = B 0 = 0.

Достаточность. Пусть дано, что из x DA , Ax = 0 следует, что x = 0.
Рассмотрим y RA ; тогда y = Ax при некотором x DA .
Докажем,	что	x – единственен		при	данном	y RA . В	самом деле,
предположим,		что также y = Ax1 ; тогда A(x1 − x) = Ax1 − Ax = y − y = 0. Отсюда по
условию	x1 − x = 0, x1 = x .		Каждому	y RA	в соответствие		поставим	тот
единственный		элемент	x DA , для	которого Ax = y. Таким			образом,	мы
зададим на RA		оператор. Обозначим его через B.				По построению DB = RA ,
B Ax = x , следовательно B = A−1 , и утверждение доказано.

Упражнения.

1)Пусть A и B – всюду определенные в X операторы. Доказать, что они оба обратимы тогда, когда обратимы AB и BA.

2)Показать, что если для всюду определенного в X оператора A выполнено равенство A2 − A +1 = 0, то A обратим.

Выпуклые функционалы и выпуклые множества.

Определение 3.21. Пусть X – линейное пространство и p(x) – функционал, определенный на всем пространстве X. Функционал p(x) называют выпуклым, если для любых элементов x, y X выполняются следующие условия:

1)p(x) ≥ 0,

2)p(x + y) ≤ p(x) + p(y),

3)p(tx) = tp(x) при t ≥ 0.

Заметим, что из 3) следует: p(0) = p(0x) = 0 p(x) = 0, т.е. p(0) = 0.

Примеры выпуклых функционалов

1)X = (−∞, ∞), p(x) = x .

2)X = Rn , Rn ={x = (ξ1 , ,ξn ), ξi R},

а) P(x) = maxi ξi ;

б) P(x) =						2 .
	∑		ξi
	i

Выпуклые функционалы тесно связаны с выпуклыми множествами.

46

Определение	3.22. Отрезком,	соединяющим x1, x2 X ,	назовем
совокупность всех точек x вида
x = tx1 + (1 −t)x2 , 0 ≤ t ≤1.
Определение	3.23. Пусть X – линейное пространство и		Q X . Q
называют выпуклым, если вместе с x1, x2		Q содержит и весь соединяющий их

отрезок.

Это определение хорошо согласуется с нашими представлениями о выпуклых фигурах.

Утверждение 3.3. Если p(x) – выпуклый функционал, то при произвольных фиксированных x0 X и c > 0 совокупность Q всех таких точек

x X, что p(x − x0) ≤ c , является выпуклым множеством.

Доказательство. Возьмем x1, x2 Q так, что

p(x1 − x0) ≤ c , p(x2 − x0) ≤ c .

Пусть x = tx1 +(1−t)x2 , 0≤ t ≤1; следовательно, 0 ≤1−t ≤1. Тогда x Q. Действительно,

p(x − x0) = p(tx1 +(1−t)x2 −tx0 −(1−t)x0 )=

= p(t(x1 − x0) +(1−t)(x2 − x0))≤ p(t(x1 − x0))+ p((1−t)(x2 − x0))= =tp(x1 − x0) +(1−t) p(x2 − x0) ≤ t c +(1−t)c = c.

Значит, x X, и весь отрезок принадлежит Q. Утверждение доказано.

Замечание. Мы видели только что, как по выпуклому функционалу построить выпуклое множество. Обратно, по выпуклому множеству Q (для простоты можно считать, что 0 Q) можно построить выпуклый функционал, если Q удовлетворяет следующему дополнительному условию: для каждого x X при достаточно малом α > 0, имеем α x Q (в этом случае Q называется

поглощающим множеством).

47

Положим

P (x) = inf β :		1	x Q, β > 0 .	(3.1)
Q		β
Тогда PQ (x) –			выпуклый функционал. Этот функционал называется
функционалом Минковского множества Q.
Упражнение. Доказать, что функционал				PQ (x) , определенный
формулой	(3.1),		выпуклый; каждая точка x, для	которой PQ (x) < 1,

принадлежит Q; и каждая точка, для которой PQ (x) > 1, не принадлежит Q.

48