Теорема 4.18. Если пространство Х сепарабельно, то единичный шар в X ′ слабо предкомпактен.

Доказательство. Пусть Х1={x1,x2,…}, счетное всюду плотное в Х

множество, и пусть fn X ′ последовательность, состоящая из

элементов

единичного шара в X ′ ( то есть

fn

≤1)

Рассмотрим последовательность f1(x1), f2(x1)…. Так как

fn

≤1, она

ограничена

x1

:

fn (x1)

≤

fn

x1

≤

x1

.

По теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся

подпоследовательность

f11(x1), f12(x1), ….

Рассмотрим последовательность

f11(x2), f12(x2), ….

Она ограничена, как часть ограниченной последовательности

f1(x2), f2(x2), ….

поэтому на ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность

f21(x2), f22(x2), ….

Рассмотрим последовательность

f21(x3), f22(x3), …,

она ограничена и можно выделить сходящуюся подпоследовательность

f31(x3), f32(x3), f33(x3), ….

Повторяя это рассуждение , получим последовательности:

f11(x), f12(x), …,

(4.7.1)

f21(x), f22(x), … ,

(4.7.2)

f31(x), f32(x), …,

(4.7.3)

………………,

(...….)

fk1(x), fk2(x), ….

(4.7.k)

каждая из которых (начиная со второй) является частью предыдущей и n- ая последовательность сходится в точке xn.

Рассмотрим ”диагональную последовательность” f11(x), f22(x), f33(x), …

При х=х1 она сходится как подпоследовательность последовательности (4.7.1), при х=х2 она сходится, так как

f22(x2), f33(x2), …

есть подпоследовательность последовательности (4.7.2), вообще при х=хк она сходится, так как

fkk(xk), f(k+1)(k+1)(xk), …

75

есть подпоследовательность последовательности (7.4.k). Таким образом, последовательность сходится на множестве Х1, следовательно, по предыдущей теореме, она слабо сходится, и теорема доказана.

Определение 4.18. Пусть Х — банахово пространство, а X ′ – к нему

сопряженное. Последовательность элементов	xn X	называется слабо
сходящейся к элементу х Х, если
f (xn ) → f (x) , n → ∞
w
для каждого f X ′ (в обозначении: xn →x ).
Очевидно, слабая сходимость элементов	xn X	эквивалентна слабой

сходимости функционалов Fxn ( f ) X ′′, определяемых равенствами

Fxn ( f ) f (xn ).

Поэтому все утверждения предыдущего пункта переносятся на этот случай. В частности,

1.Если последовательность слабо сходится, то она ограничена по норме (обратное утверждение, вообще говоря, неверно).

2.Из сильной (обычной) сходимости следует сходимость слабая.

Действительно, пусть xn → x и f X ′. Тогда

f (x) − f (xn ) = f (x − xn ) ≤ f x − xn → 0 ,

следовательно, f (xn) →f (x).

Пример последовательности, сходящейся слабо, но не сходящейся сильно.

Пусть X= l2 . Тогда X ′= l2 . Это означает, что для всякогоf X ′ существует последовательность

∞

чисел {η1,η2 ,....} такая , что ∑|ηi2 |< ∞ , и f (x) = ∑ηiξi . Возьмем xn={0,0,…,0,1,0,…},

i=1

f(xn)=ηn → 0 при n →∞, т.е. xn → 0 слабо, но при n ≠m xn − xm = 2 , поэтому{xn} сильно не сходится.

Упражнения.

1.Доказать, что в конечномерном пространстве и в l1 слабая сходимость элементов совпадает с сильной сходимостью.

2.Доказать, что (сильно) замкнутое линейное подпространство необходимо слабо замкнуто.

76

3.Если {xn} сильно предкомпактна и слабо сходится к х0, то она сильно сходится к х0.

4.Доказать, что линейный (сильно) непрерывный оператор является слабо непрерывным.

5. Если Х сепарабельно, то X ′ слабо сепарабельно	в том смысле, что
найдется счетное множество функционалов Ф X ′,	такое, что каждый

функционал f X ′ может быть представлен как предел слабо сходящейся последовательности функционалов из Ф.

6.Для того, чтобы множество М X ′функционалов было слабо компактно, необходимо, а если Х’ сепарабельно или рефлексивно, то достаточно, чтобы М было сильно ограничено, т.е. f ≤const для любого f М.

7.Банахово пространство Х рефлексивно тогда и только тогда, когда единичная сфера слабо компактна.

8.Показать, что последовательность {xn} непрерывных на [a,b] функций слабо сходится в C[a,b] к некоторой непрерывной функции х0(t) тогда и только тогда, когда эта последовательность равномерно ограничена и

lim xn(t)=x0(t) при каждом t [a,b]. n→∞

9. Показать, что в Lp (a,b) последовательность xn(t) сильно сходится к x0(t)

тогда и только тогда, когда она слабо сходится к x0

(t) и lim

xn

=

x0

.

n→∞

10.Норма

x

непрерывна по отношению к слабой сходимости в Х тогда и

только тогда, когда Х конечномерно.

11.Множество М (сильно) ограничено в нормированном Х тогда и только тогда, когда оно слабо ограничено, т.е. при любом f X ′ числовое множество f(M) ограничено.

12.Нормированное пространство Х называется слабо полным, если для любой

слабо фундаментальной последовательности xn X (т.е. для нее lim f(xn) n→∞

существует при любом f X ′) найдется элемент х0 Х к которому xn слабо сходится. Доказать, что (сильно) полное пространство Х не обязано быть слабо полным.

Указание. Рассмотреть пространство А(D) – совокупность комплекснозначных функций x(z), которые определены на открытом множестве D комплексной плоскости, ограничены и непрерывны на

замыкании D и аналитичны на D (определение аналитичности см. [19]).

77

Упражнения.

1. Доказать, что

Действительно, если

Показать, что А(D) полное по норме x = sup |x(z)|, но не являются ни слабо z D

полным, ни рефлексивным. Такими же являются и пространства l∞ , с, с0,

L∞ (a,b), C(a,b).

Спектр и резольвента оператора.

Пусть А линейный (не обязательно ограниченный) оператор из комплексного банахова пространства Х в Х с областью определения DА, и пусть λ – комплексное число.

Определение 4.19. Число λ называется точкой резольвентного множества оператора А, если оператор (А-λI)-1 существует, определен во всем Х и ограничен.

Определение 4.20. Оператор (А-λI)-1 называется резольвентой оператора А и обозначается

Rλ(A)=(A-λI)-1

Определение 4.21. Все точки, не принадлежащие резольвентному множеству, составляют спектр оператора А.

Резольвентное множество оператора А обозначается ρ (А), его дополнение, то есть, спектр – σ (А).

Интересны те точки, где резольвента не существует.

Определение. 4.22. Мы знаем, что (А-λI)-1 не существует тогда и только тогда, когда существует х DА, х≠0 и (А-λI)х=0, или Ах=λх;

Вэтом случае число λ называется собственным значением оператора А,

ах – собственным вектором, отвечающим собственному значению λ.

Совокупность всех собственных значений называют точечным спектром.

Если известна резольвента, то можно найти решение уравнения:

Ах-λх=у, у Х.

λ ρ( A), то x = Rλ ( A) y.

σ ( A′)=σ (A). Для простоты считать, что А ограничен.

78

2.Доказать следующее свойство резольвенты (тождество Гильберта):

если λ, µ , (А), то Rλ-Rμ=(λ-μ)RλRμ=(λ-μ)RμRλ.;

3.Показать, что для замкнутого линейного оператора дифференцирования Ах(t)= x′(t) в Х=Y=С[0,1] верно, что

а) спектр пустой, если DА={x: x′(t) C[0,1], x(0)=0};

б) спектр состоит из одних собственных значений и заполняет всю плоскость, если DА={x: x′(t) C[0,1]};

в) спектр состоит из одних собственных значений, образующих последовательность 2iπ n (n=0,±1,±2,....), если

DА={x: x′(t) C[0,1], x(0)=x(1)}.

Теорема 4.18. Если оператор А линеен, всюду определен и ограничен в Х, то весь его спектр находится в круге λ ≤ A .

Следствие. Спектр всякого линейного, всюду в Х определенного ограниченного оператора есть непустое множество, если Х≠{0}.

Упражнения.

1.Доказать, что для любого A, принадлежащего множеству линейных ограниченных операторов Z(X), действующих из X в X, где Х полно,

существует ρ (А)= lim n An , причем ряд 1+А+А2+…+Аn+… сходится, n→∞

если ρ (А)<1 и расходится, если ρ (А)>1.

2.Доказать, что указанный ряд сходится тогда и только тогда, когда при некотором n выполняется An <1.

3.Доказать, что совокупность всех обратимых операторов из Z(X) образует открытое множество.

79