Тема 5. Гильбертово пространство. Понятие ортогональности. Проекция элемента на подпространство. Ортогональные и ортонормированные системы. Ортогонализация системы линейно независимых элементов. Изоморфизм произвольного сепарабельного гильбертова пространства с пространством l ². Пространство L2 .

Понятие ортогональности

Определение 5.1. Элементы x и y гильбертова пространства H называются ортогональными (обозначается x y), если (x, y) = 0.

Из свойств скалярного произведения следует:

1.нулевой элемент ортогонален любому x H;

2.x x только когда x = 0;

	n
3. если x y1, y2, ... , yn, то	x ∑λi yi , т.е. если	x ортогонален
	i=1

каждому элементу некоторого множества A H, то x ортогонален и любому элементу линейной оболочки множества A;

4. если x yn (n = 1, 2, ...) и yn → y, то x y (следует из непрерывности скалярного произведения);

Из свойства 4) следует свойство

5. Если множество A всюду плотно в H, а x ортогонален каждому

элементу	из A, то x = 0. По определению плотного множества
x = lim xn ,	где xn A. А так как x xn для всех n, то по свойству 4)
n→∞

xx и по свойству 2) x = 0.

Вгильбертовом пространстве верна обобщенная

Теорема 5.1 (Пифагора).										Если x = ∑xn и все слагаемые попарно
										n
ортогональны, то		x		2 = ∑		xn				2 .
				n

∞

Теорема 5.2. Для того чтобы ряд ∑xn , составленный из попарно

n=1

ортогональных элементов, сходился (в смысле сходимости по норме),

∞		2 .
необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд ∑	xn
n=1

80

Определение 5.2.	Элемент	y	называется	ортогональным
подпространству H1 H (обозначается			y H1), если	y ортогонален

каждому x H1.

Определение 5.3. Подпространства H1 и H2 гильбертова пространства H называются ортогональными (обозначается H1 H2), если x y, каковы бы

ни были x H1, y H2.

Из этого определения и из свойства 2) для ортогональных элементов следует, что два ортогональных подпространства имеют единственный общий элемент – нулевой.

Проекция элемента на подпространство

Теорема 5.3. Пусть L – подпространство гильбертова пространства H. Тогда любой элемент x H может быть представлен единственным образом в виде x = y + z, где y L, z L.

Доказательство.

Если x L, то можно взять y = x, z = 0.

Если x L, то в качестве y будем искать такой элемент из L , для которого расстояние до x , т.е. ||x – y||, является минимальным.

Пусть d = inf				x − y				. Зададим числа dn = d + 1/n (n = 1, 2, ...). Из определения
y L
точной нижней грани следует, что для любого n существует yn L, для
которого

||x – yn|| ≤ dn.

(5.1)

Используя равенство ||x + y||2 + ||x – y||2 = 2(||x||2 + ||y||2), получим

||(x – yn) + (x – ym)||2 + ||(x – yn) – (x – ym)||2 = 2(||x – yn||2 + ||x – ym||2 ),

или

||2x – (yn + ym)||2 + || yn – ym||2 = 2(||x – yn||2 + ||x – ym||2 ).

(5.2)

Так как

1 (yn + ym)

L, то

x − 1 ( yn

+ ym )

≥ d , откуда

2

2

2

x − 1 ( yn + ym )

2

2x − ( yn + ym )

= 4

≥ 4d 2 .

(5.3)

2

Из (5.2), учитывая (5.1) и (5.3), получаем || yn – ym||2 < 2(dn 2 + dm 2) – 4 d 2.

81

При m, n → ∞ имеем dn, dm → d, откуда || yn – ym|| → 0, следовательно, последовательность {yn} – фундаментальная. Так как H – полное

пространство, существует y = lim yn , причем	y L (так как L замкнуто по
n→∞	следует, что ||x – y|| ≤ d, а по
определению подпространства). Из (5.1)
определению точной нижней грани здесь возможно только равенство:

||x – y|| = d.

Мы нашли нужный нам y. Теперь докажем, что элемент z = x – y ортогонален

любому элементу u из L, т.е. что z L.
При любом вещественном λ элемент y + λu L, следовательно,
С другой стороны,		||x – y – λu||2 ≥ d2.	(5.4)
||x – y – λ u||2 = ((x – y) – λ u, (x – y) – λ u) =
	= ||x – y||2 – 2λ(x – y, u) + λ2||u||2 = d2 – 2λ(z, u) + λ2||u||2.
Отсюда и из (5.4) следует λ2||u||2 – 2λ(z, u) ≥ 0. При любом λ > 0			получаем
λ	2
(z, u) ≤ 2	||u|| , а при λ → 0 (z, u) ≤ 0. Так как мы рассматриваем произвольный
элемент	u, то будет верным и (	z, –u) ≤ 0. Но так как ( z, –u) = –(z, u), то

получаем неравенство (z, u) ≥ 0. Отсюда следует, что (z, u) = 0, и тем самым

доказано, что z L.						x = y + z.
Теперь	докажем	единственность		представления			Пусть
одновременно x = y1		+ z1, где y1 L, z1		L. Тогда
		y – y1 = z1 – z.						(5.5)
Но так	как y – y1 L, z1 – z L		(а	это следует	из	свойства	3)	для
ортогональных элементов), имеем			z1 – z y – y1,		а из	равенства		(5.5)

вытекает, что z1 – z z1 – z. Отсюда z1 – z = 0, и y – y1 = 0, а, следовательно, z1 = z, y = y1. Теорема доказана.

Определение 5.4. Для любого элемента x H и подпространства L проекцией элемента x на подпространство L ( PrL x ) называется элемент y L, такой, что

x – y L.

Таким образом, x = PrL x + z, где z L.

Существование и единственность проекции доказаны в теореме 5.2.

Из определения 5.4 следует, что PrL x = 0 тогда и только тогда, когда x L.

Пусть L – одномерное пространство, порождаемое элементом e H с || e || = 1, тогда оно состоит из элементов вида λe, где λ – произвольное число. Следовательно, проекция x на L имеет такой же вид: PrL x = λ0e, т.е.

82