Тема 6. Интегральные уравнения. Классификация линейных интегральных уравнений. Интегральный оператор. Теоремы Фредгольма. Теорема о разрешимости (общий случай). Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма и Вольтерра.

Классификация линейных интегральных уравнений

Рассмотрим на плоскости переменных (t,τ) квадрат

П ={(t,τ); a ≤ t ≤ b, a ≤τ ≤ b}.	(6.1)
Пусть в П определена непрерывная функция K (t,τ) .
Определение 6.1. Уравнение вида
y(t) = ∫b K (t,τ) y(τ)dτ + f (t),	(6.2)
a
где y(t) – искомая функция, а f (t) – заданная на отрезке [a, b]	функция,
называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода.
Определение 6.2. Уравнение вида
∫b K (t,τ) y(τ)dτ = f (t),	(6.3)
a
где y(t) – искомая функция, а f (t) – заданная на отрезке [a, b]	функция,
называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода.
Определение 6.3. Функция K (t,τ) называется ядром	интегрального

уравнения.

Определение 6.4. Функция f (t) называется свободным членом интегрального уравнения.

Если ядро K (t,τ) имеет специальный вид

K (t,τ)		k(t,τ),		a ≤τ ≤ t,
		=	0,	t <τ ≤ b,
то уравнения (6.2) и (6.3) принимают вид
y(t) = ∫t		k(t,τ) y(τ)dτ + f (t),			(6.4)
	a
∫t	k(t,τ) y(τ)dτ = f (t).				(6.5)
a

91

Определение 6.5. Уравнение вида (6.4) называется интегральным уравнением Вольтерра второго рода.

Определение 6.6. Уравнение вида (6.5) называется интегральным уравнением Вольтерра первого рода.

Функция k(t,τ) называется ядром интегрального уравнения Вольтерра.

Таким образом, уравнения Вольтерра являются частным случаем уравнений Фредгольма.

Мы будем изучать интегральные уравнения второго рода. Введем в эти уравнения параметр µ и перепишем их в следующем виде:

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ + f (t),		(6.6)
a
y(t) = µ∫t	k(t,τ) y(τ)dτ + f (t).	(6.7)
a

Определение 6.7. Уравнение (6.6) называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода с параметром.

Определение 6.8. Уравнение (6.7) называется интегральным уравнением Вольтерра второго рода с параметром.

Определение 6.9. Если в уравнении (6.6) (соответственно (6.7)) f (x) ≡ 0, то

уравнение (6.6) (соответственно (6.7)) называется однородным. В противном случае уравнение (6.6) (соответственно (6.7)) называется неоднородным.

При изучении уравнений (6.6) и (6.7) мы будем предполагать, что функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], ядро K (t,τ) непрерывно в П, ядро k(t,τ)

непрерывно в треугольнике T = {(t,τ); a ≤ t ≤ b, a ≤τ ≤ t}. Эти	функции и
параметр µ будем считать вещественными.
Определение 6.10. Решением интегрального уравнения	называется

непрерывная на отрезке [a, b] функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Интегральный оператор

Определение 6.11. Пусть y(t) – непрерывная функция на отрезке [a, b], т.е. принадлежит пространству C[a, b]. Для любой такой функции y(t) интеграл

92

∫b K (t,τ) y(τ)dτ

a

также представляет собой функцию из пространства C[a, b]. Обозначим ее z(t). Таким образом каждой функции y(t) C[a, b] ставится в соответствие некоторая определенная функция z(t) C[a, b]. Запишем это соответствие в виде Ky = z и будем называть K интегральным оператором. По определению

(Ky)(t) = ∫b K (t,τ) y(τ)dτ = z(t).

a

Нетрудно видеть, что оператор K обладает свойствами линейности:

1)K (cy) = cKy, где c – число, y(t) C[a, b] (однородность);

2)K (x + y) = Kx + Ky, где x(t), y(t) C[a, b] (дистрибутивность).

Эти свойства можно совместить в одной записи

K (αx + βy) = aKx + βKy,

которая именуется линейностью. Здесь α, β – числа, x(t), y(t) C[a, b].

Итак, мы установили, что K – линейный оператор в C[a, b]. Запишем

уравнение (6.6) в этих обозначениях:	(6.7)
y = µKy + f .

Определение 6.12. Введем единичный оператор I равенством Iy = y. Тогда

уравнение (6.7) можно записать в виде:
Ly = f ,	(6.8)
где
L = I − μK	(6.9)

линейный (в смысле сформулированного определения) в C[a, b] оператор.

Определение 6.13. Уравнение (6.8) (а следовательно и уравнение (6.6)) называется линейным (так как искомая функция подвергается действию линейного оператора).

Определение 6.14. Функцию f при этом называют правой частью

уравнения.
Однородное уравнение в операторной форме имеет вид:
Ly = 0.	(6.10)

93

Перечислим основные свойства уравнений (6.8) и (6.10), которые следуют из их линейности.

Утверждение 6.1. Однородное уравнение (6.10) всегда разрешимо.

Действительно, уравнение (6.10) имеет по крайней мере тривиальное решение y(t) = 0, t [a, b]. Но оно может иметь и нетривиальные решения.

Если нетривиальные решения существуют, то их линейная комбинация также является решением уравнения (6.10). Т.е. справедливо

Утверждение 6.2. Решения однородного уравнения (6.10) образуют линейное пространство.

Обратимся теперь к уравнению (6.8). Это уравнение не всегда имеет решение. Решение, вообще говоря, существует лишь в том случае, если правая часть f (t) удовлетворяет некоторым требованиям. Однако

справедливо

Утверждение 6.3. Если решение уравнения (6.8) существует, то оно единственно в том и только в том случае, когда соответствующее однородное уравнение (6.10) имеет лишь тривиальное решение.

Доказательство. Пусть u(t) – решение, существование которого мы

предположили.

Необходимость. Пусть решение u(t) единственно. Если допустить, что однородное уравнение (6.10) имеет нетривиальное решение ϕ(t), то функция u(t) +ϕ(t) будет решением неоднородного уравнения, отличным от u(t).

Приходим к противоречию. Следовательно, нетривиальных решений уравнения (6.10) не существует.

Достаточность. Пусть уравнение (6.10) имеет лишь тривиальное решение. Допустим на момент, что уравнение (6.8) наряду с u(t) имеет

решение v(t). Тогда функция ϕ(t) = u(t) − v(t) была бы нетривиальным решением уравнения (6.10), вопреки предположению. Значит, решение u(t) единственно. Теорема доказана.

Теоремы Фредгольма

Определение 6.15. Ядро K(t,τ) называется простым, если оно либо

непрерывно в квадрате П, либо непрерывно в треугольнике T и обращается в нуль на множестве П \ T.

94

Теорема 6.1 (об однозначной разрешимости). Для того, чтобы интегральное уравнение с простым ядром K (t,τ) и свободным членом

f C[a, b] :

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ + f (t),

a

имело решение и притом единственное, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ

a

имело лишь тривиальное решение.

Теорема 6.1′ (об однозначной разрешимости). Для того чтобы интегральное уравнение (с простым ядром K (t,τ) )

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ + f (t),

a

имело решение (какова бы ни была функция f (t) C[a, b] ), необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ

a

имело лишь тривиальное решение. При этом для каждой фиксированной функции f (t) решение определяется однозначно.

Теорема о разрешимости (общий случай)

В теории интегральных уравнений наряду с неоднородным интегральным уравнением

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ + f (t),

a

рассматривают так называемое транспонированное уравнение.

Определение 6.16. Транспонированным интегральным

называют уравнение

y(t) = µ∫b K (τ, t)z(τ)dτ + g(t).

a

Теорема 6.2(о разрешимости в общем случае). 1) Для того, чтобы интегральное уравнение

уравнением

(6.11)

95

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ + f (t),	(6.12)
a

( K C(П), f C[a, b]; решение ищется в C[a, b] ) было разрешимо, необходимо

и достаточно, чтобы функция f (t) была ортогональна всем	решениям
соответствующего однородного транспонированного уравнения
z(t) = µ∫b K (τ, t)z(τ)dτ.	(6.13)
a

2) Если это условие (условие ортогональности) выполнено, то общее решение уравнения (6.12) представляется в виде

y(t) =ϕ(t) +Y (t),

где ϕ(t) – общее решение соответствующего однородного уравнения

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ,	(6.14)
a

аY (t) – некоторое частное решение уравнения (6.12).

3)Уравнения (6.13) и (6.14) имеют при этом одинаковое конечное число линейно независимых решений, и общее решение каждого из них получается

в виде соответствующей линейной комбинации. Таким образом, например, если указанное число равно s и ϕ1 , ϕ2 , …, ϕs – упомянутые линейно

независимые решения уравнения (6.14), то его общее решение имеет вид

s

ϕ(t) = ∑αiϕi (t).

i=1

Теорема 6.3 (альтернатива Фредгольма). Либо неоднородное уравнение (6.6) имеет одно и только одно решение для любой функции f (t) C[a, b],

либо соответствующее однородное уравнение имеет по крайней мере одно нетривиальное решение.

Замечание 6.1. Значения параметра µ , при которых уравнение (6.6) имеет единственное решение, будем называть регулярными.

Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма

Альтернатива Фредгольма утверждает разрешимость (и притом однозначную) уравнения

y(t) = µ∫b K (t,τ) y(τ)dτ + f (t),	(6.15)
a

при регулярных значениях µ. Но в ней ничего не говорится о том, когда µ

регулярно. Из нижеследующей теоремы следует, что достаточно малые значения µ являются регулярными.

96