14. Методические указания 2
.pdfИндивидуальное задание и его решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
При |
x = |
|
|
получаем 1-гармонический ряд |
∑ |
, |
который |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n=1 n |
|
||||
расходится (см. примеры 5 и 7). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n |
|
|||||
|
|
|
5 |
|
|||||||||
При |
x = - |
|
|
|
|
|
исходный ряд принимает вид: ∑ |
|
|
. |
Этот ряд |
||
3 |
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
условно сходится (см. пример 20).
Мы получили полное описание области сходимости исходного ряда:
усл.сходится |
расходится |
||
расходится |
абс.сходится |
расходится |
|
− |
5 |
|
5 |
|
3 |
|
3 |
3) Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся формулой (9). Так как
|
cn |
|
= |
|
|
n! |
|
, то |
|
cn+1 |
|
= |
|
(n +1)! |
|
= |
n!(n +1) |
. Вычислим предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n+1 |
|
|
|
4n × 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
cn+1 |
= lim |
n!(n + 1) × 4n |
= lim |
(n + 1) |
= ¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
cn |
|
|
|
n→∞ 4n × 4 × n! |
n→∞ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
То есть R = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
= 0 и исходный ряд сходится в одной точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cn+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) Сначала сделаем |
|
замену |
переменных y = x + 3 . Исходный |
ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
примет |
|
|
|
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
. |
Здесь |
|
|
|
|
cn |
|
|
= |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n3 + |
2n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim n |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
=1. |
|
R = |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
(см. |
||||||||||||||||||||||||
|
lim n |
|
cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
2n |
lim n |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
|
cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теорему 10).
148
Индивидуальное задание и его решение
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
||
|
При |
|
y =1 |
получим ряд |
∑ |
|
, который сходится (т.к. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n3 + |
2n |
||||
1 |
|
1 |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
||
~ |
при n → ∞, ряд ∑ |
|
сходится как 3-гармонический ряд |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
n3 + 2n n3 |
n=1 n3 |
|
|
|
|
|
|||||
(см. пример 7, пункт 1 задачи 1)). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n |
|
|
||||
|
При |
y = −1 получим ряд ∑ |
|
|
|
|
|
, который сходится абсолютно |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n=1 n3 |
+ 2n |
|
|
(так как ряд составленный из модулей членов знакочередующегося ряда сходится (см.теорему 8)).
|
|
∞ |
y |
n |
|
|
|
|
||
Область сходимости ряда ∑ |
|
|
|
определяется неравенствами |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
n=1 n3 |
+ 2n |
|
|
|
|
|||
−1 ≤ y ≤1. Возвращаясь |
к переменной |
x |
получим: |
− 4 ≤ x ≤ −2 . |
||||||
Исходный ряд абсолютно сходится, если |
x [− 4;−2], |
и расходится, |
||||||||
если x [− 4;−2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абс.сходится |
|
абс.сходится |
|
||||||
расходится |
абс.сходится |
|
расходится |
|
||||||
|
-4 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
Решение задачи 4
1) Подставив в формулу (21) 0,05 вместо x , получаем разложение в степенной ряд функции
|
0,052 |
|
0,053 |
|
(−1)n |
|
ln(1,05) = ln(1 + 0,05) = 0,05 − |
|
+ |
|
+ ... + |
|
0,05n+1 + ... |
2 |
3 |
|
||||
|
|
|
n +1 |
Этот ряд является знакочередующимся. Следовательно, по теореме 9 остаток ряда мы можем отбросить, начиная с члена, модуль которого будет меньше требуемой точности вычисления ε . Имеем:
0,05>0,0001; |
0,052 |
= 0,00125 >0,0001; |
0,053 |
≈ 0,0000417 <0,0001. |
|
2 |
3 |
||||
|
|
|
Поэтому остаток данного ряда можно отбросить, начиная с третьего
149
Индивидуальное задание и его решение
члена. |
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
|
|
|
приближенное |
значение |
||||||||||
ln(1,05) ≈ 0,05 − 0,00125 = 0,04875 ≈ 0,0488. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2) Напомним, |
|
что |
|
cos100 = cos |
π |
. |
|
Воспользуемся |
формулой (24). |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
|
π |
|
|
вместо x , получаем следующее разложение: |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
π |
|
2 |
π 4 |
|
|
|
|
|
π 2n |
|
|
|
|||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos |
=1 - |
18 |
|
+ |
|
18 |
+ |
... + (-1) |
n |
|
18 |
+ ... |
|
|
|||||||||
|
|
2! |
|
4! |
|
|
(2n)! |
|
|
||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ясно, |
что этот ряд знакочередующийся. Так как 18 |
< 0,001 = ε , то |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
по теореме 9 для достижения нужной точности можно отбросить все члены полученного ряда, начиная с третьего. То есть
cos π ≈1 − 0,01522 = 0,98478 ≈ 0,985 с точностью ε = 0,001. 18
3) Используя формулу (23), получим разложение подынтегральной
функции в степенной ряд: sin x2 = x2 − x6 + x10 + ...
3! 5!
Очевидно, что полученный ряд (так же как и ряд (23)) сходится на всей числовой прямой. Применяя теорему 13 о почленном интегрировании степенных рядов, получаем:
0,5 |
2 |
0,5 |
|
2 |
|
x6 |
x10 |
|
x3 |
x7 |
|
x11 |
|
|
0,5 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫sin x |
|
dx = ∫ |
|
- |
+ |
|
- |
|
+ |
|
|
|
= |
|||||||||||
|
x |
|
5! |
+ ... dx = |
|
|
|
+ ... |
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3! |
|
|
|
3 |
|
3!×7 5!×11 |
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
0,53 |
- |
0,57 |
|
+ |
0,511 |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
3!×7 |
|
|
5!×11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный ряд удовлетворяет всем условиями признака Лейбница.
Так как |
0,511 |
|
< 0,0001, то по теореме 9 для достижения нужной |
|
|||
5!×11 |
|
150
Индивидуальное задание и его решение
точности можно отбросить все члены полученного ряда, |
начиная с |
||
|
0,5 |
|
|
третьего. То есть |
∫sin x2 dx ≈ 0,0417 |
− 0,0002 = 0,0415 . |
|
|
0 |
|
|
4) Применим |
формулу (26). |
Получим разложение |
функции |
41 + x3 = (1 + x3 )0,25 в степенной ряд для x (−1;1) :
(1 + x3 )0,25 =1 + 0,25x3 + 0,25(0,25 −1) x6 + ... + 0,25(0,25 −1)...(0,25 − n +1) x3n + ...
2! n!
По теореме 13 этот ряд можно почленно интегрировать по отрезку
[0;0,6]:
0,6 |
3 |
|
0,25 |
0,6 |
|
|
3 |
|
0,25(0,25 −1) |
|
6 |
|
∫(1 + x |
|
) |
|
dx = ∫ |
1 |
+ 0,25x |
|
+ |
|
x |
|
+... dx = |
|
|
|
2! |
|
||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
0,25(0,25 −1) |
|
x |
7 |
|
|
0,6 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
= x + 0,25 |
+ |
|
+ ... |
|
= 0,6 + 0,0081 − 0,00019 + ... . |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
2! |
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как третий член меньше 0,001, то его и все последующие члены
0,6
можно отбросить. Поэтому ∫(1 + x3 )0,25 dx ≈ 0,608.
0
Решение задачи 5
1) Построим график функции f (x), периодически продолженной на всю числовую ось:
y
π
|
|
|
|
|
|
|
x |
− 3π |
− 2π |
−π |
0 |
π |
2π |
3π |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку функция f (x) |
четная, |
то все коэффициенты |
bn = 0 . По |
||||||||||
формулам (45) найдем коэффициенты: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
π |
1 |
0 |
1 |
π |
2 |
π |
x2 |
|
π |
=π ; |
||
|
|||||||||||||
a0 = |
|
∫ f (x)dx = − |
|
∫xdx + |
|
∫xdx = |
|
∫xdx = |
|
|
|
|
|
π |
π |
π |
π |
π |
|
|
|||||||
|
|
−π |
|
−π |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151
Индивидуальное задание и его решение
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
dv = cos nx |
u = x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
an = |
|
|
∫ f (x) cos nxdx = |
∫x cos nxdx = |
v = |
1 |
sin nx |
du = dx |
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
π |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
x sin nx |
|
π |
|
1 |
π |
|
|
|
2 1 |
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
∫sin nxdx |
= |
|
|
|
|
|
cos nx |
= |
|
|
|
(cosπn −1) = |
|
|
|
|
((−1)n −1) |
|||||
π |
n |
|
|
|
n |
π n |
2 |
πn |
2 |
πn |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Итак, разложение функции f (x)= x в ряд Фурье имеет вид:
∞
f (x)=π + ∑ 2 ((−1)n −1) cos nx .
n=1 πn2
2) Период функции |
f (x), продолженной на всю числовую ось, равен |
||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
x |
|
|||
|
|
-1
По формулам (45*), учитывая нечетность функции, найдем коэффициенты Фурье функции f (x):
a0 = 0 ; an = 0 ;
|
2 |
1 sin |
nπx |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
(1 + (−1)n+1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b = |
dx = − |
cos nπx |
|
= |
(1 − cosπn) = |
||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|||||||||||
n |
∫ |
|
nπ |
|
|
|
nπ |
nπ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
f (x)= −1 при |
−1 < x < 0, имеет |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, ряд Фурье функции |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 при |
0 < x <1; |
||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= ∑∞ |
2 |
(1 + (−1)n+1 )sin nπx . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 nπ |
|
|
|
|
|
|
|
152
Индивидуальное задание и его решение
1. Студент ищет формулу в трех справочниках. Пусть Ai , i =1, 2, 3 – событие, означающее, что нужная формула содержится в i-м справочнике. Выразить через Ai следующие события:
A – формула содержится только в одном справочнике, B – формулы нет ни в одном справочнике,
C – формула содержится хотя бы в одном справочнике.
A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3
B= A1 A2 A3
C= A1 + A2 + A3
2.Брошены 2 игральные кости. Описать пространство элементарных событий и найти вероятности следующих событий:
а) сумма выпавших очков равна 7, б) сумма очков равна 8, а произведение 12, в) сумма очков не превышает 3, г) разность очков меньше 2,
д) сумма очков расположена в промежутке[2, 4].
Исходы равновозможны. Благоприятствующими событию A являются следующие исходы: (1, 6), (2,5), (3, 4), (4,3), (5, 2), (6,1). Всего этих исходов A = 6 . Таким образом,
P(A)= A = 6 = 1 . n 36 6
153