14. Методические указания 2
.pdfИндивидуальное задание и его решение
9) Замечая, что (x2 - 2cosx)’ = 2x + 2sinx = 2(x + sinx), делаем соответствующую замену переменной, пользуясь формулой (3):
∫ |
|
x + sinx |
dx = |
x 2 - 2 cos x = t |
dt |
= |
1 |
∫ |
dt |
= |
||||
|
|
|||||||||||||
x 2 - 2cosx |
2( x + sin x)dx = dt ( x + sin x)dx = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
||||||
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ln | t | +C = |
1 |
ln | x2 − 2 cos x | +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) Для вычисления этого интеграла рекомендуется изучить п.7 параграфа «Техника замены переменной в неопределённом интеграле» (см. лекцию 2):
∫ |
|
1 |
- |
x |
|
dx = |
|
x |
= t |
= ∫ |
1 - t |
2tdt =2∫ |
1 - t |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
t(t 2 +1) |
|
|||||
|
|
x ( x +1) |
|
x = t 2 dx = 2tdt |
|
|
t 2 +1 |
|
|
dt |
|
tdt |
|
|
|
|||
= 2 |
∫ |
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
|
= 2(I1 − I2 ). |
t 2 |
+1 |
t 2 |
+ |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
Интеграл I1 — это формула 9’ из таблицы интегралов. Интеграл I2 вычисляется аналогично интегралу I1 из примера 8).
Решение задачи 3
1) Этот интеграл вычисляется по схеме, реализующей соотношение
(5). Полагаем u=x и dv=e3xdx. Первое из этих равенств
продифференцируем, |
а второе — |
проинтегрируем: du=dx, |
||||||||||
v = ∫e3x dx = |
1 |
e3x . Получаем: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫xe 3 x dx = |
x |
e3 x - |
1 |
∫e3 x dx = |
x |
e3 x - |
1 |
e3 x + C . |
||||
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
3 |
|
3 |
9 |
|
|
2) Для вычисления этого интеграла рекомендуется изучить п.1 параграфа «Техника интегрирования по частям в неопределённом интеграле» (см. лекц. 2):
|
|
|
|
u = x2 du = 2 xdx |
|
|
|
|||||||||
∫ x2 cosxdx = |
|
= x 2 × sinx - 2∫ xsinxdx = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
dv = cosxdx v = sinx |
|
|
|
||||||||
= |
|
u = x du = dx |
|
|
= x2 × sinx + 2x × cosx - 2∫ cosxdx = |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
dv |
= sinxdx |
v = -cosx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= x 2 × sinx + 2x × cosx - 2sinx + C . |
|
|
|
|||||||||||||
3) Применяя теорему 6, получим: |
|
|
|
|||||||||||||
∫ ln 5xdx = |
|
u = ln5x du = |
5 |
dx |
|
= x × ln 5x - ∫ x |
dx |
= xln5x - x + C. |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dv = dx v = x |
|
|
|
x |
108
Индивидуальное задание и его решение
4) Согласно формуле (5) имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
u = arccos2x du = − |
|
|
|
2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
I = ∫arccos2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x arccos2x + ∫ |
|
|
|
= x arccos2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1−4x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dv = dx v = x |
|
|
1−4x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Интеграл I1 вычисляется по формуле (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2xdx |
|
|
|
1 − 4x2 |
|
|
= t |
|
|
|
1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
I1 = ∫ |
|
|
= |
−8xdx = dt |
= − |
∫ |
|
|
|
= − |
|
∫t |
2 dt = − |
|
2t 2 |
+C = − |
|
|
|
|
1 − 4x2 |
+C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 − 4x |
2 |
|
|
|
2xdx = |
|
|
dt |
|
|
4 |
|
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Окончательно получаем: I = x arccos 2 x − |
|
|
1 − 4 x 2 + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) Для вычисления этого интеграла рекомендуется изучить п.2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параграфа «Техника интегрирования по частям в неопределённом |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграле» (см. лекц. 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u = arctgx du = |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = ∫ x arctg xdx = |
1 + x22 |
= |
|
arctgx − |
∫ |
|
|
|
dx = |
arctgx − |
I1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx = dv v = ∫ xdx = |
|
x |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
вычислении |
|
интеграла |
|
|
|
I1 |
|
используется следующий приём |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«разбавления числителя»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
1 + x 2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I1 = ∫ |
|
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ dx |
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x − arctgx + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
1 |
+ x2 |
|
|
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
I = |
x2 |
arctg x − |
1 |
(x − arctg x) + С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) Интеграл такого вида вычисляется так же, как и интегралы, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
упомянутые в п.3 параграфа «Техника интегрирования по частям в |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределённом интеграле» (см. лекцию 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u = cos(ln x) du = − |
sin(ln x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = ∫cos(lnx)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= x cos(ln x) + ∫sin(ln x)dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = dv v = ∫ dx =x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = cos(ln x)
= x cos(ln x) + u sin(ln x) du x dx = x cos(ln x) + x sin(ln x) − ∫cos(ln x)dx = dx = dv v = ∫ dx = x
=x(cos(ln x) +sin(ln x)) − I.
Врезультате получили: I=x(cos(lnx)+sin(lnx))-I. Решаем это уравнение относительно I:
2I = x(cos(ln x) +sin(ln x)) I = 1 x(cos(ln x) +sin(ln x)) +С. 2
109
Индивидуальное задание и его решение
Решение задачи 4
1) Вычислим данный интеграл, заменив производную знаменателя:
|
7 x - 4 |
|
t = 2 x + 2 x = |
t - 2 |
|
|
|
|
7 |
t − 2 |
- 4 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
dx = |
|
|
1 |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
dt = |
||
x 2 + 2x + 5 |
|
dt = 2dx dx = |
dt |
t - 2 |
|
2 |
|
t - 2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
+ 5 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
∫ |
|
|
|
7t −14 −8 |
|
|
|
|
dt = ∫ |
|
|
7t − 22 |
|
|
dt = ∫ |
7t − 22 |
dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
t |
|
- 4t + 4 |
+ t - 2 + 5 |
|
t - 4t + 4 + 4t +12 |
|
t +16 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 7∫ |
|
|
|
t |
|
dt −22∫ |
|
dt |
= |
7 |
ln(t2 +16) − |
22 |
arctg |
t |
+C = |
|||||||||||||||||||
|
t2 |
+16 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+16 2 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
= |
7 |
|
ln(4x 2 |
+ 8x + 4 + 16) - |
11 |
arctg |
2 x + 2 |
+ C = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
7 |
ln(x 2 + 2 x + 5 ) - |
11 |
arctg |
+ C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Под знаком интеграла имеем правильную рациональную дробь (см. определение 4 из лекции 3). Разложим её на простые дроби (см. определение 5 из лекции 3), учитывая, что знаменатель дроби представляет собой произведение двух сомножителей x(x2+2x+5). Тогда, согласно формуле (9), имеем:
7 x −15 |
|
A |
|
Bx + C |
2 |
. |
|
x3 + 2x 2 + 5x = |
x + x2 + 2 x + 5 7 x -15 = A(x + 2x + 5) + (Bx + C )x |
||||||
|
При x=0: -15=5А А=-3. Для определения коэффициентов В и С приравняем коэффициенты при степенях x2, x1:
|
0 = A + B B = −A = 3 |
|
= 2 A + C C = 7 − 2 A =13 . |
7 |
Тогда:
∫ |
|
|
7 x −15 |
= -3∫ |
dx |
+ ∫ |
|
|
3x +13 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
||||
x |
3 |
+ 2 x |
2 |
|
|
|
x |
|
x |
2 |
+ |
2 x + |
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
+ 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для |
вычисления |
интеграла |
|
|
∫ |
|
|
|
3x +13 |
|
dx применяем технику, |
|||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x + 5 |
|||||||
которую использовали в примере 1). Имеем: |
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
7 x −15 |
= -3∫ |
|
dx |
+ ∫ |
|
|
3x +13 |
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
+ |
2x + |
5 |
||||||||||
|
|
|
+ 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= −3ln | x | + |
3 |
ln | x 2 + 2x + 5| +5arctg |
x +1 |
+ C. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
110
Индивидуальное задание и его решение
3) Применяя формулу (9), разложим стоящую под интегралом дробь на простые дроби:
x 2 + 1 |
A |
|
B |
|
C |
2 |
+1=A(x+3)+B(x+3)(x– |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
( x -1) 2 × ( x + 3) = |
(x -1) 2 + x -1 + x + 3 |
|||||||||
|
|
1)+C(x–1) 2.
При x=1: 2=4A A=1/2; при x=-3: 10=16C C=5/8;
при x2: 1=B+C B=1– C=1–5/8=3/8.
Тогда:
I = ∫ |
x2 + 1 |
1 |
∫ |
dx |
|
3 |
∫ |
dx |
|
5 |
∫ |
dx |
|||
|
dx = |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
. |
||||
( x -1)2 × ( x + 3) |
2 |
( x -1)2 |
8 |
x -1 |
8 |
x + 3 |
Теперь исходный интеграл I вычисляется по формулам (7):
I = − |
1 |
+ |
3 |
ln | x −1| + |
5 |
ln | x +3 | +C. |
2(x −1) |
|
|
||||
|
8 |
8 |
Решение задачи 5
1) Под знаком радикала выделим полный квадрат и вычислим данный интеграл по формуле (4) и по формуле 11 таблицы интегралов:
∫ |
|
|
dx |
|
= ∫ |
|
dx |
|
= ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln | x +1 |
+ ( x +1)2 |
+ 2 | +C = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 2 |
+ 2 x + 3 |
x 2 + 2x +1 + 2 |
( x +1) 2 + 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln | x +1+ x2 + 2x +3 | +C.
2) Выделив полный квадрат под знаком радикала, сделаем в данном интеграле замену переменных (см. теорему 5):
|
|
4x -3 |
|
|
4x -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x -3 |
|
|
|
x + |
3 |
|
=t |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
I = ∫ |
|
|
|
dx= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
x =t - |
3 |
dx = dt |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 +3x -4 |
|
2 |
|
3 |
|
3 2 |
|
25 |
|
3 2 |
25 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
+2× |
|
|
× x + |
|
|
- |
|
|
|
|
|
x + |
|
- |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
4t − 9 |
|
|
dt = ∫ |
|
4t |
|
|
dt − 9∫ |
|
dt |
|
|
= I1 + I2 ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
25 |
|
|
25 |
|
|||||||||||
|
|
t 2 − |
25 |
|
|
|
|
t 2 − |
|
|
|
|
t 2 − |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
111
Индивидуальное задание и его решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I1 = ∫ |
|
|
|
4tdt |
|
|
|
|
= |
t |
|
|
− |
|
|
|
=u |
= 2∫ |
du |
|
|
= 4u |
|
|
+C = 4 t2 − |
25 |
|
+C; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t2 − |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
2tdt = du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
I2 = −9∫ |
|
|
dt |
|
|
|
|
= −9 ln |
t + |
t 2 − |
25 |
|
|
|
(см. |
формулу 11 таблицы интегралов). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t 2 − |
25 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Возвратившись к старой переменной x, окончательно получаем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I = 4 x + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
−9 ln |
x + |
|
|
|
+ |
|
x + |
|
|
− |
|
|
|
+С = |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 x 2 +3x − 4 −9 ln | x + 3 + x 2 +3x − 4 | +C. 2
3) Для вычисления этого интеграла рекомендуется изучить п.3 параграфа «Техника замены переменной в неопределённом интеграле» (см. лекцию 2):
∫sin3 2xdx = ∫sin2 2xsin 2xdx = ∫(1−cos2 2x)sin 2xdx = |
|
cos2x =t |
|
|
= − |
1 |
∫(1−t 2 )dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2sin 2xdx = dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
= − |
1 |
( |
dt − |
∫ |
t 2 dt ) |
= − |
1 |
|
(t − |
t 3 |
) + С = |
t 3 |
− |
t |
|
|
+ С = |
cos 3 |
|
2 x |
− |
cos 2 x |
+ С |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + 6 = t |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
sin |
2 |
t |
1 |
|
1 − cos |
2 |
t |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4) ∫tg 2 (5x + 6)dx = |
dx = |
1 |
|
dt |
|
= |
|
|
∫tg 2tdt = |
|
|
∫ |
|
|
dt = |
|
∫ |
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
|
cos 2 t |
5 |
|
|
cos 2 t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
∫ |
|
|
|
− ∫ dt |
= |
|
|
tg t |
− |
|
|
|
t + C = |
|
|
|
|
tg (5 x + 6) - |
|
(5 x |
+ 6) + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||
5 |
cos 2 t |
5 |
5 |
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
Индивидуальное задание и его решение
ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЁНЫМ, КРАТНЫМ И КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ
Задача 1
Вычислить определённые интегралы:
|
3 |
|
|
e |
ln |
5 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
1) ∫(5 + 7x − 8x3 )dx ; |
2) ∫ |
|
dx ; |
|
|
|
|
3) ∫2xe8 x dx . |
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y = 9 − x 2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1) |
; |
|
|
2) y =1 + x . |
||||||||||||
|
|
|
y |
= 3x + 5 |
|
|
|
|
x = 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить объёмы тел вращения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
y = sin x , 0 ≤ x ≤ π, вокруг оси Ох; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
x = 3 |
|
, 0 ≤ y ≤1, вокруг оси Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Задача 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(x |
|
+ arcsin x), |
|||||||||
Вычислить длину дуги плоской кривой: |
y = |
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤1.
Задача 5
Вычислить с помощью двойного интеграла площади плоских фигур, ограниченных линиями:
y = x 2 |
−8x +16 |
; |
x 2 |
− y 2 |
= 4 |
1) |
|
2) |
|
. |
|
y = x +16 |
|
x = 3 |
|
Задача 6
Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
113
Индивидуальное задание и его решение
|
− |
y 2 |
2 |
2 |
2 |
||
|
|
|
|
x |
+ y |
≤ π . |
|
|
2 |
||||||
∫∫ 1 |
x |
dxdy , где D : |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7 |
Вычислить координаты центра тяжести плоской фигуры,
ограниченной |
линиями: |
y 2 = 4x + 4 , |
y 2 = −2x + 4 |
(плотность |
ρ = const ). |
|
|
|
|
|
|
Задача 8 |
|
|
Вычислить объём тела, |
ограниченного |
поверхностями: |
y =1 + x 2 ; |
|
z = 3x ; y = 5 ; |
z = 0 и расположенного в первом октанте. |
|
||
|
|
Задача 9 |
|
|
Вычислить криволинейный интеграл ∫x 2 ydy − y 2 xdx , где L – дуга
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
π |
||
x = |
|
≤ t ≤ |
|||
кривой |
|
|
и 0 |
. |
|
|
sin t |
|
|
2 |
|
y = |
|
|
|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Решение задачи 1
1) Для вычисления интеграла применим формулу НьютонаЛейбница (22) и свойство линейности определённого интеграла (см. также П.25):
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
(5 + 7x − 8x3 )dx = 5 ∫dx + 7 ∫xdx −8 ∫x3dx = 5x |
|
3−2 |
+ |
7x |
|
|
|
− 2x 4 |
|
3−2 |
= |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
−2 |
−2 |
−2 |
−2 |
|
|
|
−2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
=15 − (−10)+ 63 − 28 −162 + 32 = −87,5 .
22
2)Здесь необходимо использовать метод замены переменной и применить формулу (23) (см. также П.26):
|
|
|
|
|
t = ln x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
5 |
|
|
dt = |
dx |
1 |
|
6 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
ln |
|
x |
dx = |
|
|
= ∫t 5 dt = |
t |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
6 |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
x =1 t = 0 |
0 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x = e t =1 |
|
|
|
|
|
|
=1 .
6
114
Индивидуальное задание и его решение
3) Для вычисления этого интеграла применим метод интегрирования по частям, то есть формулу (24) (см. также П.27):
1 |
|
u = 2x du = 2dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
e |
8 |
|
1 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫2xe8 x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
xe8x |
|
|
− |
∫e8x dx = |
|
− |
e8 x |
= |
|||||||||
|
dv = e |
8 x |
dx v |
= |
8x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
4 |
0 |
4 32 |
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
e8 |
|
e8 |
|
1 |
|
|
7e8 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
≈ 652. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
32 |
|
32 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 2
1) Вычислим площадь фигуры с помощью формулы (26) (см. также П.29), для применения которой сначала нужно построить графики заданных функций. Первая линия является параболой, а вторая – прямой. Найдём их общие точки, решив систему уравнений:
|
|
y = 9 − x 2 |
|
|
|
|
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
y = 3x |
|
|
|
у |
y = 3x + 5 |
9 − x 2 = 3x + 5 x 2 + 3x − 4 = 0 x =1;−4 |
|||
|
|
|
1,2 |
||
|
|
|
|
|
|
y = 9 − x2 |
|
|
|
|
. |
|
|
Таким образом в формуле (26) |
|||
|
|
g(x)= 3x + 5 , f (x)= 9 − x 2 , a = −4 , |
|||
-4 |
|
b =1. Имеем: |
|
|
|
|
|
1 |
|
)− (3x + 5)]dx = |
|
О 1 |
|
х |
S = ∫[(9 − x |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
= ∫1 (− x2 − 3x + 4)dx |
||
|
|
|
−4 |
|
|
1
3x = −1 − 3 + − 64 + + = 125
=− − + 4x = 4 24 16 .3 2 3 2 3 6
−4
2)Для нахождения площади этой фигуры будем действоватьx3 2
аналогично:
|
6 |
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
6 |
=1 |
+ x x 2 |
+ x − 6 = 0 |
|
x |
|||||||
|
|
||||||
x |
|
+ x |
y =1 |
у |
y = |
6 |
|
|
x1,2 = −3;2 y1,2 = −2;3 . |
|
x |
|
=1 + x |
Проекция фигуры D, ограниченной |
|
|
|
y |
|||
|
|
|
заданными линиями, на ось Ох – отрезок |
||
|
|
D x = 4 |
|
|
|
О |
2 |
|
4 |
х |
115 |
Индивидуальное задание и его решение
[2;4]. То есть a = 2 , b = 4 , |
f (x)=1 + x , |
g(x)= |
6 |
. Применим формулу |
|||||||||
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(26): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+ x)− |
6 |
|
|
+ |
x 2 |
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|||||||||||
SD = ∫ (1 |
|
dx |
= x |
|
− 6 ln x |
|
= |
||||||
2 |
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 +8 − 6 ln 4 − 2 − 2 + 6 ln 2 = 8 − 6 ln 2 ≈ 3,84 .
|
|
|
Решение задачи 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
1) |
Для вычисления объёма тела вращения |
|||||||||
|
y =sin x |
|
|
воспользуемся |
формулой |
(28) |
(см. |
||||||
|
|
|
также П.30): |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
π |
|
π |
π |
|
|
|
||
O |
π |
x |
VOx = π∫sin 2 xdx = |
∫(1 − cos 2x)dx = |
|
||||||||
z |
|
|
0 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
π |
|
1 |
|
π |
π2 |
|
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x − |
sin 2x |
= |
≈ 5. |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
0 |
2 |
|
|
|
у |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x = 3 |
y |
z |
О |
х |
|
2) Здесь вращение линии происходит вокруг оси Оу, вследствие чего применяем формулу (29) (см. также
П.31):
1 |
5 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|||||||||||
VOy = π∫3 |
y 2 |
dy = |
3π |
|
|
|
|
= |
3π |
≈1,9 . |
|
y 3 |
|||||||||||
|
|
||||||||||
0 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 4
Кривая задана в декартовых координатах, поэтому будем использовать формулу (31) (см. также П.32). Сначала находим подынтегральную функцию:
y′ = |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 − x 2 − x |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
− x 2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 3 |
|
|
|
1 − x |
2 |
|
|
1 − x |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом подкоренное выражение примет вид:
′ |
2 |
1 |
|
|
2 |
4 − x 2 |
|||||
|
2 |
||||||||||
|
+ |
|
|
|
1 − x |
= |
|
. |
|||
1 +[f (x)] =1 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Тогда
116
Индивидуальное задание и его решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2 costdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
||||||||
l = |
|
|
∫ 4 - x2 dx = |
x = 0 t = 0 |
|
= |
|
|
|
|
∫ |
4 - 4sin 2 t 2 costdt = |
|
|
|
∫cos2 tdt = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
x = 1 t = p |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
∫(1 + cos 2t )dt = |
|
|
|
t + |
|
|
|
sin 2t |
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
≈1. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
3 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Запишем свойство |
нормировки |
для |
двойного |
интеграла: |
|||||||||||||||||||||||
∫∫dxdy = SD . |
Применим его для вычисления площади |
SD |
плоской |
|||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фигуры D с помощью двойного интеграла. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) Чтобы |
использовать свойство нормировки, нужно построить |
|||||||||||||||||||||||||||
|
фигуру D, описать её системой неравенств и перейти к |
|||||||||||||||||||||||||||
|
повторному интегралу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения точек пересечения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параболы и прямой решим систему |
|||||||||||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y = x +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x 2 |
- 8x +16 |
|
|
|||||||
16 |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x +16 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
= x2 − 8x +16 |
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
− 8x +16 = x +16 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −9x = 0 x = 0;9 y |
=16;25 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
1,2 |
|
О |
|
|
4 |
|
|
|
9 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученная фигура D является |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
областью 1-го типа |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ 9 |
|
, поэтому при переходе к повторному |
|||||||||||||||||||||
D : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
2 −8x +16 ≤ y ≤ x +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
интегралу будем использовать формулу (46): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
x+16 |
|
|
9 |
|
|
|
|
x |
+16 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
SD = ∫∫dxdy = ∫dx |
∫dy = |
∫dx × y |
|
x2 −8x+16 = ∫(x +16 - (x 2 - 8x +16))dx = |
||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
D |
0 |
|
x2 −8x+16 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
9x 2 |
|
x3 |
|
|
9 |
|
243 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
=121,5 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= ∫(9x − x )dx = |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) Одна |
из линий, ограничивающих фигуру D, является |
|||||||||||||||||||||||||||
|
гиперболой |
с |
полуосями |
|
|
a = 2 |
и |
b = 2 |
(см. лекцию 13 по |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|