14. Методические указания 2
.pdfИндивидуальное задание и его решение
· y′′ = 0 12x2 - 4 = 0 x2 = |
1 |
x1 |
= - |
|
1 |
|
, x2 |
= |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
· Строим таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
- ¥, - |
1 |
|
- |
1 |
|
|
|
|
|
- |
|
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
, + ¥ |
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
y′′ |
|
+ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
перегиб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перегиб |
|
|
|
|
|
4) Рассмотрим функцию y = ln x . x
·D ( y) = (0,+∞) .
·y¢ = 1 - ln x .
x2
· |
y¢¢ = |
2x ln x - 3x |
= |
2 ln x - 3 |
. |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|||||
· |
y′′ = 0 2 ln x −3 = 0 ln x = |
x = e3 . |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
∙Составим таблицу:
|
x |
(0, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
, + ∞) |
|
|
|
e3 |
|
e3 |
|
e3 |
||||||||||||||
|
y′′ |
– |
|
0 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
перегиб |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y′′ на интервале (0, |
|
) |
|||||||||||||||
Отметим, что для определения знака функции |
e3 |
может быть взята точка e−10 , а на интервале (e3 , + ∞)— точка e10 .
Решение задачи №6
Под полным исследованием функции и построением графика понимается следующая последовательность действий:
∙нахождение D ( y) — области определения функции;
∙определение интервалов возрастания и убывания и локальных экстремумов функции; построение соответствующих элементов графика;
∙определение асимптот графика функции; построение ветвей графика, уходящих на бесконечность;
∙исследование на выпуклость; уточнение поведения графика.
1)Рассмотрим функцию y = x4 − 2x2 − 9 .
4 4
∙D ( y) = R .
∙Определяем интервалы возрастания и убывания функции и экстремум
функции: y¢ = x3 - 4x ; y′ = 0 x × (x2 - 4)= 0 x = -2 , |
x |
= 0 , x = 2 – |
1 |
2 |
3 |
критические точки. Составляем таблицу: |
|
|
98
Индивидуальное задание и его решение
x |
(− ∞, − 2) |
–2 |
|
(− 2, 0) |
0 |
|
(0, 2) |
2 |
|
(2, + ∞) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
– |
0 |
|
+ |
0 |
|
|
– |
0 |
|
+ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
− |
25 |
|
|
− |
9 |
|
|
− |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
min |
|
|
max |
|
min |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙Переходим к определению асимптот графика. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет. По теореме 21 у многочлена степени выше первой наклонных асимптот также нет.
∙Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:
y′′ = 3x2 − 4 ; |
y′′ = 0 |
x2 = |
4 |
|
x = − |
2 |
|
, |
x = |
2 |
|
– точки, подозрительные на |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
перегиб. Составляем таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− ∞, − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, + ∞ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
y′′ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
161 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
161 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
перегиб перегиб
∙Построим теперь график функции:
2) Рассмотрим функцию y = 2 + 12 . x2 − 4
∙D ( y) = (− ∞, − 2) (− 2, 2) (2, + ∞).
99
Индивидуальное задание и его решение
∙Определяем интервалы возрастания и убывания функции и локальные
экстремумы функции: |
y′ = |
− 24x |
; |
y′ = 0 |
x = 0 – |
критическая точка. |
||||
|
||||||||||
(x2 − 4)2 |
||||||||||
Составим таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(− ∞, − 2) |
|
(− 2, 0) |
|
0 |
(0, 2) |
|
(2, + ∞) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
+ |
|
+ |
|
0 |
– |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙Переходим к определению асимптот графика. По теореме 21 вертикальные асимптоты порождаются корнями знаменателя дробно-рациональной функции. Таким образом, x = −2 и x = 2 — вертикальные асимптоты
графика функции y = 2 + |
12 |
. Точно так же, как в пунктах 1) и 2) задачи |
|
x2 − 4 |
|||
|
|
№4, показывается, что наклонная асимптота имеет вид y = 2 .
∙Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:
y′′ = |
72x2 + 96 |
> 0 |
точек перегиба нет. Построим таблицу: |
||||
(x2 − 4)3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(− ∞, − 2) |
(− 2, 2) |
(2, + ∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
+ |
– |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
∙Построим теперь график функции:
100
Индивидуальное задание и его решение
Решение задачи №7
|
Для того чтобы найти частную |
|
производную функции |
z = f (x, y) по |
|||||||||||||||||||||
переменной x , фиксируем переменную |
y |
и дифференцируем |
|
f |
|
как функцию |
|||||||||||||||||||
одной переменной x . |
Наоборот, для того |
чтобы |
найти частную |
|
производную |
||||||||||||||||||||
функции |
z = f (x, y) |
по |
|
переменной |
|
y , фиксируем переменную x и |
|||||||||||||||||||
дифференцируем f как функцию одной переменной y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) z = 4x2 - 3y2 + 5xy + 8x - 9 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Имеем: |
|
|
¶z = 8x + 5 y + 8 ; |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= -6 y + 5x - 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) z = sin(5x2 - 3y) + ln |
5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= cos(5x |
2 |
- 3y)×10x + |
|
y |
× |
5 |
; |
¶z |
= cos(5x |
2 |
- 3y)× (- 3) |
|
|
y |
|
|
5x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
¶x |
|
|
|
|
|
|
5x y |
¶y |
|
+ |
|
|
|
× - |
y |
2 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
3) z = e2 x × sin 2 y + arctg 2x + 7 y .
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= 2e2 x ×sin 2 y + |
1 |
× |
|
1 |
|
× 2 ; |
∂z |
= e2 x × 2 × cos 2 y + |
1 |
× |
|
1 |
|
× 7 |
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 + (2x + 7 y) |
|
|
|
¶y |
1 + (2x + 7 y) |
|
|
|
|||||||
2 |
2x + 7 y |
2 |
2x + 7 y |
Решение задачи №8
Для того чтобы найти градиент функции z = z(x; y) в точке необходимо:
· найти частные производные |
∂z |
и |
∂z |
функции z = z(x; y); |
¶x |
|
|||
|
|
¶y |
·вычислить найденные частные производные в точке M (x0 , y0 );
·вычислить градиент функции z = z(x; y) в точке M (x0 , y0 ):
|
¶z (x , y |
|
) |
||
grad z(x , y ) = |
¶x |
0 |
0 |
. |
|
0 0 |
|
¶z |
(x , y |
0 |
) |
|
|
||||
|
|
¶y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы найти производную функции z = z(x; y) в точке по направлению вектора e , необходимо:
·вычислить градиент функции z = z(x; y) в точке M (x0 , y0 );
·пронормировать вектор e , то есть найти единичный вектор e 0 =
M (x0 , y0 ),
M (x0 , y0 )
e
e
;
101
Индивидуальное задание и его решение
· |
вычислить скалярное произведение ¶z |
|
|
= (gradz |
|
|
|
)× |
|
0 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶e |
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z = x3 ln 3y ; A(1;2) ; |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
Вычисляем частные производные функции z = x3 ln 3y в точке A(1, 2): |
|||||||||||||||||||||
|
¶z |
2 |
|
¶z |
|
|
|
¶z |
|
x3 |
|
|
¶z |
|
|
|
1 |
|
||||
|
¶x = 3x |
|
× ln 3y ; |
¶x (1, 2)= 3ln 6 ; |
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
(1, 2)= |
|
. |
||||||
|
|
|
|
¶y |
y |
|
¶y |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ln 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Таким образом, получаем, что grad z(1, 2) = |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
· Нормируем вектор
|
|
|
|
|
|
|
|
6 /10 |
|
3 / 5 |
|
|
0 = |
|
e |
||||||
|
e |
|
|
|
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
||||||
|
|
|
|
|
|
8 /10 |
|
4 / 5 |
· Имеем: |
¶z |
|
= (gradz |
|
)× |
|
0 |
|
|||||||
|
|
e |
|||||
|
¶e |
|
A |
|
A |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 62 + 82 = 10 |
|
|||||
|
e |
= |
|
. |
Имеем: |
|
e |
|
|
|||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3ln 6 × 3 + 1 × 4 = 9 ln 6 + 2 . 5 2 5 5
|
|
|
|
|
2 |
|
x2 + y2 |
||||
2. z = |
; A(1,1); . |
e |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
·Вычисляем градиент в точке A :
¶z = |
1 |
× (x2 + y2 )−1 2 × 2x = |
|
|
|
|
x |
; |
|
¶z |
= |
1 |
× (x2 + y2 )−1 2 × 2 y = |
|
y |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
¶x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
¶y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|||||||
|
|
¶z (1,1)= |
1 |
= |
1 |
|
; |
|
|
¶z |
(1,1)= |
1 |
= |
1 |
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
¶x |
1 +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
¶y |
1 +1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
grad z(1,1) = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 / |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 + (-1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
· Нормируем вектор. |
e |
: |
|
|
e |
|
= |
= |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
e |
0 = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
-1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶z |
|
= (gradz |
|
)× |
|
0 = |
1 |
|
× |
2 |
|
- |
|
1 |
|
× |
|
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶e |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
5 |
2 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи №9
Для того, чтобы определить локальные экстремумы функции z = z(x; y) двух независимых переменных, нужно выполнить следующие вычисления.
·Определить стационарные точки (в которых функция может достигать
|
¶z |
= 0 |
|
экстремума), для чего надо решить систему уравнений |
|
¶x |
|
|
¶z |
. |
|
|
|
|
= 0 |
|
¶y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
102
Индивидуальное задание и его решение
· Найти вторые частные производные |
¶2 z |
|
¶2 z |
¶2 z |
|
¶x2 |
, |
|
, |
. |
|
|
|||||
|
|
¶x¶y |
¶y 2 |
·Вычислить значения вторых частных производных в выбранной стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через
A, B и C.
·Составить выражение D = AC - B2 . При этом:
а) если > 0 , то экстремум в стационарной точке есть (при A > 0 это будет минимум, а при A < 0 – максимум);
б) если < 0 , то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет; в) если = 0 , то имеет место более сложный случай, требующий привлечения частных производных порядка выше второго (этот случай выходит за рамки нашей программы).
1)z = 2x3 + 2 y3 - 36xy + 430 .
· Прежде всего, определяем |
¶z |
и |
|
¶z |
: |
¶z = 6x2 - 36 y , |
¶z |
= 6 y2 - 36x . |
||
|
|
|
||||||||
|
¶x |
|
¶y |
¶x |
¶y |
|||||
|
|
|
¶z |
= 0 |
|
|
||||
Составляем систему уравнений: |
|
¶x |
нашем случае |
|||||||
|
¶z |
, которая в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
запишется так: |
|
|
|
|
|
|
2 |
- 36 y = 0 |
|
2 |
- 6 y = 0 |
6x |
|
x |
|
||
|
2 |
|
|
2 |
. |
|
- 36x = 0 |
|
- 6x = 0 |
||
6 y |
|
y |
|
Решаем эту систему уравнений и получаем две пары решений:
1) x1 = 0 ; y1 = 0 ; 2) x2 = 6 ; y2 = 6 .
·Находим частные производные второго порядка:
¶2 z |
= 12x ; |
¶2 z |
= -36 ; |
¶2 z |
= 12 y . |
|
|
¶x2 |
¶x¶y |
¶y2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
· Исследуем первую стационарную точку. Имеем: A = 0 , |
B = −36 , |
C = 0 , |
|||||
D = AC - B2 = -362 < 0 . Следовательно, |
точка (0,0) не |
является |
точкой |
||||
экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|
·Исследуем вторую стационарную точку. Имеем: A = 72 , B = −36 , C = 72 , D = AC - B2 = 72 × 72 - 362 = 3888 > 0 . Следовательно, точка (6,6) является
точкой экстремума. Так как A = 72 > 0 , то это точка минимума и zmin = -2 .
103
Индивидуальное задание и его решение
ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
ПО НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛАМ
Задача 1
Воспользовавшись основной таблицей интегралов и простейшими правилами интегрирования, найти интегралы:
∫ |
( x 2 |
+ 2 x − |
2 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
) dx ; |
∫ |
|
|
|
1 − sin |
|
2 x |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x − cos x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
(3cos x − 2 x + |
|
4 |
|
|
) dx ; |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
− x |
2 |
|
x |
|
dx ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
( x 2 |
− 1) |
2 |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
tg x |
dx . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2
Найти интегралы методом подстановки:
1) |
∫sin(2 x- 3)dx; |
5) |
∫sin 2 x cosxdx; |
|
∫ |
|
|
|
x + sinx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2cosx |
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
|
|
|
||||
2) |
∫ |
|
; |
|
|
6) |
∫ |
|
; |
|
|
|
∫ |
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10) |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||
7 x-8 |
x(lnx +1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( x + 1) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ 3 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
|
|
6 x - 11 |
7) |
∫3 x 3 - 8 × x 2 dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
∫ |
|
dx |
|
|
; |
|
8) |
∫ |
|
x + 4arctgx |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 x |
2 |
|
|
|
|
|
1 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3
Выполнить интегрирование по частям:
1) |
∫xe 3 x dx; |
3) |
∫ln 5xdx; |
5) |
∫x arctg xdx; |
2) |
∫x 2 cosxdx; |
4) |
∫arccos 2xdx; |
6) |
∫cos(lnx)dx. |
Задача 4
Вычислить интегралы от рациональных дробей:
1) ∫ |
7 x − 4 |
2) ∫ |
7 x −15 |
|
x 2 + 1 |
||||
|
dx; |
|
dx; |
3) ∫ |
|
dx. |
|||
x 2 + 2x + 5 |
x3 + 2x 2 + 5x |
||||||||
( x -1) 2 × ( x + 3) |
104
Индивидуальное задание и его решение
Задача 5
Непосредственно вычислить следующие неопределенные интегралы:
|
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
4 x − 3 |
|
3) ∫sin 3 2xdx; 4) |
|
∫tg 2 (5x + 6)dx. |
||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
+ 2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + 3x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение задачи 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) Используя свойство линейности (см. теорему 4), получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
∫ |
dx |
|
∫ |
1 |
|
∫ |
1 |
|
|||||||
I = |
(x2 + 2x − |
+ |
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
)dx = |
x2dx + 2 |
xdx − 2 |
+ |
x |
|
dx + |
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= ∫ x 2 dx |
+ 2 ∫ xdx − 2 ∫ |
+ |
∫ x |
|
dx |
+ |
∫ x − |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый, второй, четвертый и пятый интегралы вычисляются по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле 1 из таблицы интегралов, а третий интеграл вычисляется по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле 2. В результате получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I = |
x3 |
|
+ x2 − 2ln | x | + |
2x 2 |
|
|
− 2x− |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Применяем свойство линейности:
I = ∫(3cos x − 2 x + |
|
4 |
|
)dx = 3∫cos xdx − ∫2 x dx |
|
+ x |
2 |
||
1 |
|
|
Первый интеграл вычисляется по формуле 5, второй — третий — по формуле 9’ из таблицы интегралов. получаем:
+ 4 ∫1 +dxx 2 .
по формуле 3, Окончательно
I = 3sinx − 2x + 4arctgx + C. ln2
3) Этот интеграл вычисляем с помощью метода почленного деления:
|
( x 2 |
− 1) |
2 |
|
x 4 − 2 x 2 + 1 |
|
x 4 |
2 x 2 |
dx |
|
|||
∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
|
dx |
= ∫ |
|
dx − ∫ |
|
dx + ∫ |
|
= |
|
x |
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
x |
|
∫x 3 dx − 2 ∫ xdx + ∫ dx = x 4 − x 2 + ln | x | +C .
x4
4)При вычислении данного интеграла применяем основное тригонометрическое тождество:
105
Индивидуальное задание и его решение
|
1 − sin2x |
|
|
|
|
sin2 x − 2 sin x cos x + cos2 x |
|
|
|
|
|
(sin x − cos x)2 |
|||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x − cos x |
|
|
sin x − cos x |
|
||||||||||||||||||
|
sinx − cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ∫(sin x - cos x)dx = ∫sin xdx - ∫cos xdx = -cos x - sin x + C. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I = |
∫ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
x |
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
dx + ∫ |
|
x |
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 - x |
2 |
|
|
1 - x |
2 |
|
|
|
- x |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Для вычисления первого интеграла применяем формулу 8’
dx =
4
dx + ∫ x 3 dx .
таблицы
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралов. Имеем: I |
= arcsin x + |
3 x 3 |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ |
tg x |
dx = ∫ |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
1 |
|
|
dx = |
1 |
∫ |
dx |
|
. |
|||||
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
2 |
x |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
cos x × 2 sin x cos x |
|
2 |
|
cos |
x |
||||||||||||||||||
Применяя формулу 6 из таблицы интегралов, получаем: I = |
1 |
tgx + C. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) Для вычисления интеграла I = ∫sin(2 x − 3)dx |
применяем формулу |
|
|
||||||||||||||||||||||
4 таблицы интегралов (быстрое интегрирование), полагая: g(t)=sin t |
и |
|
|
||||||||||||||||||||||
kx + b = 2x −3. Тогда G(t)= −cos t |
и |
|
I = - |
1 |
cos(2x + t) + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) Для вычисления интеграла ∫ |
|
dx |
|
применяется тот же приём, что и |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7x-8
в предыдущем примере. Полагая g(t) = 1t и kx+b=7x-8, имеем G(t)=ln|t| (см. формулу 2 таблицы интегралов). Тогда по формуле 4 получаем:
I= 1 ln | 7x −8 | +C. 7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t 3 |
|
||||||
3) Здесь |
g(t) = 3 |
t |
|
= t |
3 |
|
и |
kx+b=6x-11. Тогда G(t) = |
и |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫3 |
|
|
1 |
|
3(6x -11)3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
6x -11 |
dx = |
× |
+С = |
|
×(6x -11) |
3 |
+ С (см. формулу 4 таблицы). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
||||||||||||||||
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Применяя теорему 5, делаем соответствующую замену переменных в данном интеграле. Тогда:
106
Индивидуальное задание и его решение
|
dx |
|
|
2 x = t |
|
1 |
|
|
dt |
|
1 |
|
1 |
|
||
∫ |
= |
2dx = dt |
= |
∫ |
|
= |
arctg t + C = |
arctg 2 x + C . |
||||||||
4 x 2 + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dx = |
1 |
dt |
|
2 t 2 |
+1 2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Так как (sinx)’=cosx, то полагаем sinx=t, cosxdx=dt (см. лекцию 2,
параграф «Техника замены переменной в неопределённом интеграле», п.3, а)). Таким образом
∫sin 2 x cosxdx = ∫t 2 dt = 1 t 3 + C .
3
Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем:
∫sin 2 x cosxdx = 1 sin 3 x + C . 3
6) Поскольку под интегралом стоит линейное выражение lnx+1, то делаем замену 1+lnx=t (см. лекцию 2, параграф «Техника замены переменной в неопределенном интеграле», п.1).
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
1 + lnx = t |
|
|
= ∫ |
dt |
|
= ln | t | +C = ln |1 + lnx | +C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(lnx + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7) Применяя формулу (3), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - 8 = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫3 |
|
|
|
dt |
= |
1 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∫3 x3 - 8 × x2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫t |
|
dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
2 |
dx = dt x |
2 |
dx = |
|
dt |
t |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
1 |
|
× |
3 |
×t |
|
+ С = |
1 |
|
(x3 - 8) |
|
+ С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8) |
|
|
|
|
x + 4arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
dx + 4∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = I1 + I 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + x 2 |
|
|
|
1 + x 2 |
|
|
1 + x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для вычисления интегралов I1 и I2 применим теорему 5: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I1 = ∫ |
|
|
|
|
x |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
= t |
dt |
|
= ∫ |
dt |
= |
1 |
∫ |
dt |
= |
1 |
ln | t | +C = |
1 |
ln | 1 + x2 | +С; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2xdx = dt xdx = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2t |
2 |
|
t 2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I2 = 4∫ |
arctgx |
dx = |
|
arctgx = t |
|
= 4∫tdt = 4 × |
|
t 2 |
+ С = 2arctg2 x + С. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
= dt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, |
I = |
1 |
ln |1 + x2 | +2arctg2 x + С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107