14. Методические указания 2
.pdfИндивидуальное задание и его решение
Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой k = - |
4 |
. |
|
||
1 |
3 |
|
|
|
Воспользуемся формулой (47) из лекции 12, то есть уравнением
прямой в R2 , проходящей через точку |
A с угловым коэффициентом |
||||||||||||||||
k1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
: x |
|
= - |
4 |
(x -1)+ 4 Û 4x + 3x |
|
-16 = 0 . |
|||||||||
1 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||
б) Пусть k2 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
угловой коэффициент прямой L 2 . Воспользуемся |
||||||||||||||||
условием перпендикулярности двух прямых в R2 (см. формулу (52) из |
|||||||||||||||||
лекции 12): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 × k = -1 k2 = - |
1 |
= |
3 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 4 |
|
|
|||
Опять применяем формулу (47): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L |
|
: x |
|
= |
3 |
(x -1)+ 4 Û 3x - 4x |
|
+13 = 0 . |
|||||||||
2 |
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 19
x2
C |
D
H
B
O
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
||
а) Для нахождения уравнения стороны BC применим формулу (50) из |
|
|
||||||||||||||||||||||
лекции 12 (уравнение прямой в R2 , проходящей через две точки): |
|
|
||||||||||||||||||||||
BC : |
|
x1 +1 1 +1 |
|
= 0 |
|
x1 +1 2 |
|
= 0 3(x +1)− 2(x |
2 |
−1)= 0 3x − 2x |
2 |
+ 5 = 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 −1 4 −1 |
|
|
|
|
x2 −1 3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из полученного уравнения находим угловой коэффициент прямой BC: |
|
|
||||||||||||||||||||||
kBC |
= |
3 |
. б) Пользуясь условием ортогональности (52) из лекции 12, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
найдем угловой |
коэффициент k |
|
высоты |
AH : |
|
k |
|
= − |
= − |
. |
|
|
||||||||||||
AH |
|
AH |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kBC |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулу (47) из лекции 12, запишем уравнение высоты
68
Индивидуальное задание и его решение
AH , проходящей через известную точку A(2,0) и имеющей
известный угловой коэффициент k AH = − 2 : 3
AH : x2 = − 2 (x1 − 2)+ 0 2x1 + 3x2 − 4 = 0 . 3
в) Так как AD — медиана треугольника ABC , то точка D делит сторону BC пополам, следовательно, координаты точки D равны полусумме соответствующих координат точек B и C , то есть D(0, 52) . В очередной раз воспользуемся формулой (50):
AD : |
|
x1 − 2 |
0 − 2 |
|
= 0 |
|
x1 − 2 − 2 |
|
= 0 |
5 |
(x − 2)+ 2x |
|
= 0 5x + 4x |
|
−10 = 0 |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 −0 |
5 |
− 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
5 2 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 20
Напомним, что точка C симметрична точке A относительно прямой L , если она лежит на прямой L1 , перпендикулярной к L и
проходящей через точку от A до L (см. рисунок). B — проекцию A проектирующей прямой
прямой L , а через k1 —
A, и расстояние от C до L равно расстоянию Прежде чем находить точку C, найдём точку на L . Для этого составим уравнение L1 . Обозначим через k угловой коэффициент
прямой L1 . Так как k = −3 и L1 ^ L , то
k = − |
1 |
= |
1 |
|
, а так как A(1,2) ÎL |
|
, то по формуле (47) имеем: |
|||||||||||||
|
|
1 |
||||||||||||||||||
1 |
|
k |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
: x |
|
= |
1 |
(x −1)+ 2 x −3x |
|
+ 5 = 0 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Далее, из того, |
что B = L1 Ç L , |
вытекает, что координаты точки |
|||||||||||||||||
B находятся из системы: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3x + x |
|
+ 2 = 0 |
|
x1 |
= −1,1; |
x2 =1,3 |
B(−1,1;1,3) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
2 |
+ 5 = 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
−3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Индивидуальное задание и его решение
Теперь мы можем определить координаты точки C(c1, c2 ) .
Действительно, так как точка B делит отрезок AC пополам, то координаты точки B равны полусумме координат точек A и C, то есть:
|
1 + c1 |
= −1,1 |
||
|
|
|||
|
2 |
|
c1 = −3,2; c2 = 0,6 C(−3,3; 0,6) . |
|
|
|
2 + c |
|
|
|
|
|
2 |
=1,3 |
2 |
|
|||
|
|
|
70
Индивидуальное задание и его решение
ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
ПО КРИВЫМ И ПОВЕРХНОСТЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Задача 1
Найти координаты какой-либо точки, принадлежащей данной кривой: x 2 + 3xy + y + 4 y 2 −9 = 0 .
Задача 2
Определить тип кривой и построить ее:
4x 2 + 9 y 2 +8x −18 y − 23 = 0 .
Задача 3
Найти область, ограниченную линиями:
y 2 = x и x + y =2.
Задача 4
Найти полярное уравнение и построить кривую
(x 2 + y 2 )2 =18xy .
Задача 5
Лежит ли точка А(-1,1,2) на поверхности, полученной вращением параболы y 2 = 2x + 2 вокруг оси Ох? Если нет, найдите, по крайней мере одну точку на этой поверхности.
|
|
|
|
|
|
Задача 6 |
||||
Опишите |
область, которая получается в сечении фигуры |
|||||||||
|
(x −1)2 |
+ ( y −5)2 |
+ |
(z +1)2 |
=1 плоскостью хОу. |
|||||
32 |
|
|||||||||
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Задача 7 |
||||
Найдите |
точки |
пересечения прямой |
{x = 2 + t, y = −1 + 3t, z = −4t} с |
|||||||
гиперболическим параболоидом z = |
x 2 |
− |
y 2 |
. |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
71
|
|
|
Индивидуальное задание и его решение |
|
|
|
||||||||||
|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть, |
например |
y = 0 , тогда x 2 −9 = 0 |
x = ±3 . Получили |
||||||||||||
две точки А(3,0) и В(-3,0), принадлежащие данной кривой. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Выделим полные квадраты при х и при у: |
|
|
|
|
|||||||||||
4x 2 +8x + 4 + 9 y 2 −18 y + 9 − 4 −9 − 23 = 0 4(x +1)2 + 9( y −1)2 = 36 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x +1) |
2 |
|
( y −1)2 |
=1. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
9 |
+ |
|
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Y |
у |
|
|
|
|
|
Введем |
новую |
систему |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
координат |
|
|
′ |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
XO Y , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полученную |
параллельным |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переносом старой системы на |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Х |
вектор |
|
−1 |
. При этом |
||||
|
|
|
|
|
|
|
OO′ = |
|
||||||||
|
|
|
O′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
-1 |
O |
|
|
|
х |
связь |
|
между |
координатами |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точек плоскости в старой и |
||||||
|
|
|
X = x +1 |
|
|
|
|
|
новой |
|
системах выражается |
|||||
формулами: |
. |
Подставляя |
это |
в |
полученное |
уравнение, |
||||||||||
|
|
|
Y = y −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем каноническое уравнение X 2 |
+ Y 2 |
=1. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 3 |
|
|
|
|
|
|||||
Найдем точки пересечения этих линий, первая из которых является |
||||||||||||||||
параболой, а вторая – прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y 2 = x |
y |
2 = x |
|
y 2 |
= 2 − y y 2 + y − 2 = 0 y1 = −2 , |
|||||||||||
|
+ y |
|
= 2 − y |
|||||||||||||
x |
= 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y2 |
=1. |
Следовательно, |
x1 = 4 , |
x2 |
=1. |
Получили точки пересечения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(−2,4) и (1,1) . |
|
|
|
|||||
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
построении |
|
области |
||||
|
|
|
|
|
|
сначала |
|
изображаются |
точки |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
пересечения, прямая |
проводится |
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
через полученные |
точки, |
а для |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
построения параболы нужно найти |
|||||||||
О |
1 |
|
|
|
х |
|
||||||||||
-2 |
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индивидуальное задание и его решение
ещё её вершину, которая в данном случае совпадает с началом координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = π |
|
Для |
|
|
|
получения |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полярного |
|
|
|
уравнения |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
используем формулы (63): |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 4 =18r 2 cos ϕsin ϕ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
r 2 = 9 sin 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ϕ = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = 3 |
sin 2ϕ. Так как синус |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
ϕ = |
3π |
|
|
|
|
|
|
|
— периодическая функция, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
можно |
построить |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
таблицу |
|
значений |
|
на |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
периоде, |
|
который |
для |
|
|
||||||
|
|
функции sin 2ϕ составляет интервал от 0 доπ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
0 |
|
|
π |
|
π |
|
|
3π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
0 |
|
3 |
|
0 |
|
- |
|
0 |
|||
На |
промежутке |
между |
|
и |
π |
функция |
sin 2ϕ < 0 , |
то есть функция |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = 3 |
|
|
|
не определена на π; π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin 2ϕ |
. Аналогичным образом функция ведёт |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
себя |
на |
промежутках π, |
3π |
|
|
и |
|
3π |
,2π . Полученные |
точки |
соединим |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плавной кривой, которая носит название лемнискаты Бернулли.
|
Решение задачи 5 |
|
|
|
||
z |
|
|
Сначала изобразим получившееся |
|||
|
|
тело. Построим график параболы в |
||||
|
|
плоскости хОу. Затем, вращая |
||||
|
-1 |
параболу вокруг оси Ох, получим |
||||
О |
у |
пространственную |
фигуру |
— |
||
|
|
параболоид вращения (частный случай |
||||
|
|
эллиптического параболоида). Ясно, |
||||
х |
|
что |
сечения |
этого |
параболоида |
|
|
плоскостями, перпендикулярными оси |
|||||
|
|
Ox и проходящими через точку (x,0,0) |
||||
|
|
при |
x > −1 |
будут |
окружностями |
73
Индивидуальное задание и его решение
y2 + z2 = 2x + 2 . Это и есть уравнение построенного параболоида вращения. Точка A(−1;1;2) не удовлетворяет данному уравнению и, таким образом,
не принадлежит данной поверхности. Примером точки, лежащей на заданной поверхности, может служить вершина параболлоида с координатами (−1;0;0). Другая точка поверхности — B(0;1;1).
Решение задачи 6
Заданное уравнение определяет эллипсоид, сечение которого любой плоскостью является эллипсом. Пересекая данный эллипсоид плоскостью
хОу, которая имеет уравнение z = 0 , получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(x −1)2 |
+ (y −5)2 + |
1 |
=1 (x −1)2 + (y − 5)2 |
= |
3 |
(x −1)2 + (y −5)2 |
=1. |
|||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
22 |
|
32 |
|
|
4 |
|
27 4 |
3 4 |
|
||||||||||||||
|
Итак, искомое сечение |
представляет собой эллипс в плоскости хОу с |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
центром в точке |
(1;5), с большой |
полуосью a = |
3 |
|
|
3 |
и |
малой |
полуосью |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
b = |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Чтобы |
найти |
нужные |
точки |
пересечения, |
надо |
решить |
систему |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x = 2 + t |
|
|
|
|
x = 2 + t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −1 + 3t |
|
y = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
уравнений: |
|
= − |
|
|
|
|
|
z = −4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
(2 + t )2 |
(−1 + 3t )2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
− 4t = |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем:
|
|
|
|
|
|
(2 + t )2 |
(−1 + 3t )2 |
|
|
|
4 + 4t + t 2 |
1 − 6t + 9t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
− 4t = |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4t = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15t 2 − 48t −10 = 0 t = |
24 ± |
|
|
|
|
|
= |
|
|
24 −11 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
24 +11 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
576 +150 |
t |
|
6 |
, t |
|
6 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
1 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 −11 |
|
|
|
19 −11 |
|
|
|
44 |
|
−96 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
6 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Система |
имеет |
два |
|
|
решения: |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
54 +11 |
|
19 +11 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
6 |
− |
44 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
15 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
Индивидуальное задание и его решение
ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
ПО ТЕХНИКЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ
Задача №1
Вычислить производные следующих функций.
1) y = 3x + 7x3 + x x - 2 x6
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
x |
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
y = 5 + |
+ |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x3 x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) y = |
5x - 6 |
+ |
2x |
- 5x sin 7x + 4 |
|
× e−x |
|||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
7x + 8 |
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
sin x − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 x |
|
||||||||
4) |
y = |
|
+ x arcsin x + |
||||||||||||||||||||
|
sin x + cos x |
32 x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)y = ctg(ln x)+ arcsin(5x)
6)y = (10x3 + 8)2 + sin(5x - 7)
|
8 |
(4x3 + 3)+ cos2 8x5 + 5−sin x |
||
7) |
y = tg |
3 |
||
8) |
y = etg (4 x+3) + cos3 (2x2 + 4x + 3)+ ln ctg |
x |
||
|
||||
|
|
|
2 |
9)y = 32arccos5 (2 x )
10)y = arcctg8 ln(2x3 + 2x2 + x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
x +1 |
|
|
|
|||
|
5 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
11) |
y = (x + |
9) |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x6 - 4x2 + 5 |
||||||||||||||||||
12) |
y = e−5 x ×tg |
|
3x |
|
+ cos2 2x4 + 3−tg 2 x |
|||||||||||||
|
- x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
ctg(3x + 2)3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
13) |
y = ln cos(5x - 6) |
|
+ |
|
|
|
||||||||||||
|
x4 + 5x + 6 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
× ln |
2x +1 |
+ etg (4 x+3) |
||||||||||
|
y = x + |
|
|
|
|
|
||||||||||||
14) |
|
2x |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x - 7 |
15)y = (3x - 4)tgx
16)y = (sin x)cos x
Задача №2
Вычислить производные y′ = y′(x) функций, заданных неявно, и функций, заданных параметрически.
75
Индивидуальное задание и его решение
1)x2 + y2 −3x2 y = 3
2)xy + x2 − 23x = 5 y y
|
5t |
|
|
||
x = e |
|
|
|
|
|
3) |
|
−6t |
|
|
|
|
|
|
|
||
y = e |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
t |
|
x = 3cos |
|
||||
4) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
y = 4 sin |
t |
||||
|
Задача №3
Исследовать функции на непрерывность. Указать точки разрыва и характер разрыва.
|
|
|
< 0, |
||||
|
|
x −3, x |
|||||
1) |
y = |
x +1, 0 ≤ x ≤ 4, |
|||||
|
|
|
|
|
|
x > 4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 + x, |
|||||
2) |
y = |
x − 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
(x +1)2 |
|
|
|||||
3) |
y = |
x3 + 4 |
|
|
|||
(x −1)(x + 2) |
|
3x
4)y = 2 x +3
Задача №4
Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя.
1) lim |
x2 |
+ 3x + 2 |
|
x3 +1 |
|
x → −1 |
2) |
lim |
|
x2 |
− 2x |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
e x 2 |
||||||
3) |
lim |
x3 |
+ 2x + 5 |
|||||||
|
|
− 4x + 7 |
||||||||
|
x →∞ 2x8 |
|||||||||
4) |
lim |
|
sin 4x |
|
|
|||||
|
|
|||||||||
|
x→0 tg3x |
|||||||||
5) |
lim |
arctg3x |
|
|||||||
|
||||||||||
|
x →0 ln(1 − 3x) |
76
Индивидуальное задание и его решение
6) |
lim |
|
|
|
|
|
|
e2 x −1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x →0 arctg(x2 + 2x) |
|||||||||||||||||||||
7) |
lim |
e3x − e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||||||||
8) |
lim |
|
|
|
|
x +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 − 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x2 + 2 − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10) |
lim |
|
|
x4 + 7x2 + 4x + 9 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2x4 − 7x +112 |
|||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
11) |
lim |
sin 8x + sin 5x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
sin 3x |
|||||||||||||||
12) |
lim |
|
|
|
|
x3 − x4 + 7x −19 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x →∞19x5 + 66x2 − 99x +1 |
||||||||||||||||||||
13) |
lim |
ln(2 + x)− ln 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
lim |
|
5x + 2 |
−2 x |
|||||||||||||||||
14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5x |
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
Задача №5
Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя.
1) |
lim |
|
3x2 + 3x + 7 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2x + 9 |
|||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
lim |
|
4x4 − 3x2 + 8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x →∞ 2x4 − 5x + 9 |
|||||||||||||||
3) |
lim |
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 |
||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
||||||||||||
4) |
lim |
|
e x −1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x →0 arctg4x |
|||||||||||||||
5) |
lim |
ln(1 + 4x) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
sin x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
||||||
6) |
lim |
|
|
|
|
22 + x |
||||||||||
|
|
sin(x − 3) |
||||||||||||||
|
x →3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
+ 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
x − 6 |
||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x3 + 8 |
||||||||||||||
|
x →− |
2 |
|
|
|
77