14. Методические указания 2

Индивидуальное задание и его решение

×

2 × 0 +1×(-2) + 0 ×1

2

2

2

b

a

cos j =

=

= -

j = arccos

-

= p - arccos

.

×

5 × 4 +1

a

b

5

5

5

							2			0			4
Имеем также: c = 2a - b = 2							1		-	- 2		=	4	.	По определению 19 из
							0			1
													-1

лекции 7:

×b

×

= - 8

-1 = -

9

np

=

cos(

) =

×

c

=

c

b

.

b

c

c

c

c

b

5

5

c

b

b

Решение задачи 9

Согласно определению 20 из лекции 7 векторы

и

ортогональны

b

a

тогда и только тогда, когда

×

= 0 . Имеем:

a

b

×

= 2 × (-1) + (-6) ×3 + 4x = -20 + 4x = 0 x = 5 .

a

b

коллинеарны (см.

задачу 6,б), если координаты этих

Векторы

c

и

d

векторов пропорциональны. Имеем:

x

=

y

= −1 . Отсюда

2

- 6

1

x

= -1 x = -2;

y

= -1 y = 6 .

2

- 6

Решение задачи 10

Площадь

ABC

равна

половине

площади

параллелограмма,

- 6

- 3

построенного

на векторах

AB = - 3

и

AC =

2 . Из теоремы 15

(см.

2

3

лекцию 8) следует, что площадь параллелограмма равна

×

.

По

AB

AC

формуле (34) из лекции 8 вычислим векторное произведение:

−6

−3

i

×

=

−3

2

= −13

+12

− 21

.

AB

AC

i

j

k

j

2

3

k

Тогда S ABC =

1

+12

=

1

=

1

-13i

j

- 21k

169 +144 + 441

754 .

2

2

2

Найдем высоту h

треугольника, опущенную из вершины A (сделать

самостоятельно чертеж):

3

h =

2

S ABC

=

754

=

,

=

, т.к.

BC

5

BC

35 .

BC

35

1

48

Индивидуальное задание и его решение

Решение задачи 11

Применяя теоремы 17 и 16 из лекции 9, имеем:

				=			1																																=			1						(											,																	)		, где
	V										A A										A A												A A																		A A										A A						,		A A
	nup					6						1				2		1						2										1		4					6											1		2								1			4					1				4
																			2																						− 2																								3
						A1 A2							=						3 , A1 A3																	=					4 , A1 A4 =																							−1 .
																																																																	4
																		−1																							5
Вычисляем смешанное произведение векторов:
																										2										3							−1																														121
																						=					− 2									4					5							=121;																						=							.
	A A				A A										A A																																															V
1		2				1				3						1		4																																															nup									6
																										3										−1					4
Поскольку Hnup =				3Vnup												, то нужно вычислить S A A A																																																			:
		S A A A
																																																						1										2	3
						1		2		3
																																		2							- 2
																								i
									´																=				3															4			= 19								- 8									+14
			A1 A2										A1 A3																																									i								j									k;
																											j
																																		-1							5
																								k
												=					1																													=				1													=			3
	S A A A																						361+ 64 +196																																	621														69
				1		2				3						2																																2																	2
																																121×3								× 2
																	Hпир							=																				=				121												.
																								6 ×3 × 69																								3				69

Решение задачи 12

Рассмотрим векторы AD, AB, AC . Следующие утверждения равносильны:

1)четыре точки лежат в одной плоскости;

2)векторы AD, AB, AC лежат в одной плоскости, то есть компланарны;

3)объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен нулю;

4)AD AB AC = 0 .

Имеем:

	- 4			- 9				- 9
AD = 3		,	AB = 6		,	AC =		5	.
	1			3				4

Вычисляем: AD AB AC = -36 + 27 + 9 = 0 . Таким образом, точка D лежит в плоскости ABC .

49

Индивидуальное задание и его решение

			- 5
											¹ 0 .
Вычислим теперь AE =			4	. Здесь AE AB AC = -36
			- 3

Следовательно, точка E не лежит в плоскости ABC .

50

Индивидуальное задание и его решение

ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (линейные образы)

Задача 1

а) Найти параметрические уравнения прямой L , проходящей через

		− 2
точку	A(2,1,1) параллельно вектору τ =	2	.
		4

б) При каком значении параметра t точка B(1,2,3) принадлежит этой прямой?

в) Принадлежит ли точка C(2,0,5) этой прямой?

г) Построить данную прямую.

Задача 2

а) Составить параметрические уравнения прямой L , проходящей через точки A(2,0,2) и B(1,−1,1) .

б) Используя параметр, найти координаты точек C и D, делящих отрезок AB на три равные части.

Задача 3

Построить плоскости и указать особенности их расположения:

а) 2x1 + 3x2 + x3 − 6 = 0 ; б) 3x1 + 2x2 − 6 = 0 ;

в) 3x3 − 6 = 0 ;

г) 9x1 −3x2 + x3 = 0 ; д) 3x1 − x2 = 0 .

Задача 4

а) Составить уравнение плоскости Π , которая проходит через точку

1

A(2,3,0) и имеет нормальный вектор n = 5 .

2

51

Индивидуальное задание и его решение

б) Принадлежит ли этой плоскости точка B(−1,1,2) ?

Задача 5

Cоставить уравнение плоскости Π , проходящей через три точки

A(3,0,1) , B(2,3,2) и C(1,1,−1) .

Задача 6

Составить уравнение плоскости Π , проходящей через точку A(2,0,1)

x1 = t +1
и прямую L : x2 = 2t + 2 .
	x = 3
	3
		Задача 7
Составить уравнение		плоскости	Π ,	проходящей через две
		x1 = t + 2		x1 = t −1
параллельные прямые L1		: x2 = 3t +1	и L 2	: x2 = 3t + 2 .
		x = 2t −3		x = 2t +1
		3		3

Задача 8

Составить уравнение плоскости Π , проходящей через точки A(3,1,2)

				− 4
и	B(1,−1,0) параллельно вектору		=	1	.
		c
				2

Задача 9

Составить уравнение плоскости Π , проходящей через две точки A(2,2,3) и B(1,1,1) перпендикулярно плоскости Σ: x1 + 4x2 + 6x3 +1 = 0 .

Задача 10

Составить уравнение плоскости Π , проходящей через точку A(0,3,1) параллельно плоскости Σ: 2x1 + x2 + x3 + 4 = 0 .

52

Индивидуальное задание и его решение

Задача 11

При каком значении параметра a плоскости Π : 3x1 + 4x2 + x3 + 2 = 0 и

Σ: x + ax

2

+ 4x

+ 2 = 0 будут перпендикулярны?

1

3

Задача 12

При

каких

значениях

параметров

a

и b

плоскости

Π : 2x + 2x

2

+ x

+ 4 = 0

и

Σ: ax + 4x

2

+ bx + 2 = 0

будут

1

3

1

3

параллельны?

Задача 13

x = 2t + 2

Найти

точку

пересечения

прямой

1

плоскости

L : x2 = 4t + 3 и

x

= t + 3

3

Π : x1 + 2x2 +3x3 + 9 = 0 .

Задача 14

x1 = 2t + 2

Найти угол между прямой L : x2 = t + 4

и плоскостью

x

= 2t +3

3

Π : 2x1 + 2x2 +1 = 0 .

Задача 15

Найти проекцию точки A(2,1,3) на плоскость

Π : 2x1 +3x2 + x3 − 24 = 0 .

Задача 16

x1 = 2t + 3

Найти проекцию точки на прямую = +

A(0,1,1) L : x2 t 1 .

x3 = 2t −1

Задача 17

53

Индивидуальное задание и его решение

Дана прямая L : 4x1 + 3x2 −12 = 0 . Найти угловой коэффициент этой

прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат. Построить эту прямую.

Задача 18

Дана прямая L : 4x1 + 3x2 −12 = 0 и точка A(1,4) . Составить уравнение:

а) прямой L1 , проходящей через точку A параллельно прямой L ;

б) прямой L 2 , проходящей через точку A перпендикулярно прямой L .

Задача 19

Даны вершины A(2,0) , B(−1,1) и C(1,4) треугольника ABC. Составить:

а) уравнение стороны BC;

б) уравнение высоты AH;

в) уравнение медианы AD.

Задача 20
Найти точку, симметричную	точке A(1,2) относительно		прямой
L : 3x1 + x2 + 2 = 0 .
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Решение задачи 1
	− 2
а) В данной задаче известны направляющий вектор τ = 2			прямой
	4
L и точка A L . Используя	материал раздела «Параметрические
уравнения прямой в R3 » (см.,	в частности, формулу (42)	из лекции
10), получаем:
x1 = −2t + 2
L : x2 = 2t +1 .
x = 4t +1
	3

54

Индивидуальное задание и его решение

б) Подставляя в полученные параметрические уравнения прямой L вместо x1 , x2 и x3 соответствующие координаты точки B, имеем:

1 = −2t + 2		t =1 2
2 = 2t +1		t =1 2 .
	3 = 4t +1	t =1 2

Таким образом, на прямой L точке B отвечает параметр t =12 .

в) Подставим теперь в уравнения прямой L вместо x1 , x2 и x3 координаты точки C:

2 = −2t + 2				t = 0
		= 2t +1
0			t = −1 2 .
	5	= 4t +1		t =1

Таким образом, не существует единого числа t, при котором координаты точки C удовлетворяли бы всем уравнениям прямой L . Следовательно, точка C не принадлежит прямой L .

г) Для того, чтобы построить данную прямую L , достаточно построить какие-нибудь две точки, принадлежащие этой прямой (в нашем случае, например, точки A(2,1,1) и B(1,2,3) ) и затем соединить

эти две точки при помощи линейки отрезком прямой:

x3

3

B

1
1 A	1	2	x2

x1 2

Решение задачи 2

а) Решение этой задачи повторяет решение примера 21 из лекции 10.

55

Индивидуальное задание и его решение

L

Направляющий

вектор

прямой

L

можно

−1

τ

B

образом: τ =

AB =

А

вычислить

следующим

−1

−1

x = −t + 2

L : y =−t

(t R).

z = −t + 2

б) Сначало проведем одно общее рассуждение. Пусть M —

точка на

прямой L (заданной уравнениями (42)

из

лекции

10),

соответствующая

значению

t = t1

параметра, а

N

соответствует

значению

t = t2 > t1 .

Вычислим расстояние между

этими

точками.

Имеем:

= (t1t2 - t1t1)

2

+ (t2t2 - t2t1)

2

+ (t3t2 - t3t1)

2

= (t2 - t1 )

t

D

L

MN

B

.

С

А

Таким образом,

расстояние между двумя точками

на L пропорционально разности соответствующих

значений параметра.

Вернемся теперь к нашей конкретной прямой. Ясно, что точке

A соответствует

значение

параметра t1 = 0 ,

а

точке

B

—

t1 1= ,

= (1 - 0)

t

=

(-1)2 + (-1)2 + (-1)2

=

причем

AB

3 .

Поэтому

для

точки C :

1

1

5

1

5

(t - 0) 3 =

=

× 3 t =

,-

AC

C

,

,

а для точки D :

3

3

3

3

3

2

2

4

2

4

(t - 0) 3 =

=

× 3 t =

,-

AD

D

,

.

3

3

3

3

3

Решение задачи 3

а) Построим плоскость 2x1 + 3x2 + x3 − 6 = 0 в отрезках на осях (это

всегда можно сделать, если уравнение плоскости полное, то есть в нем присутствуют все три переменные и свободный член). Построение проводится так же, как и построение плоскости Π1 в примере 31 из

лекции 12. Найдем точки пересечения A , B и C данной плоскости с координатными осями Ox1 , Ox2 и Ox3 :

x2 = x3	= 0	2x1 − 6 = 0	x1 = 3	A(3,0,0) ,
x1 = x3 = 0		3x2 − 6 = 0	x2 = 2	B(0,2,0) ,
x1 = x2	= 0	x3 − 6 = 0	x3 = 6	C(0,0,6) .

56

Индивидуальное задание и его решение

Соединив найденные точки отрезками, получим треугольник ABC , принадлежащий искомой плоскости:

x3

C

B

x2

A

x1

б) Построим	плоскость 3x1 + 2x2 − 6 = 0 (см. также построение
плоскости Π3	в примере 31 из лекции 12):
x2	= x3 = 0	3x1	− 6 = 0	x1 = 2 A(2,0,0) ,
x1 = x3 = 0		2x2	− 6 = 0	x2 = 3 B(0,3,0) ,

x1 = x2 = 0 − 6 = 0 ( равенство противоречиво!) .

Полученное в последнем случае противоречие говорит о том, что наша плоскость не пересекается с осью Ox3 , то есть параллельна ей.

Проведя из точек A и B вверх равные отрезки AC и BD , параллельные оси Ox3 , а затем соединяя точки C и D , получаем

прямоугольник ACDB , принадлежащий искомой плоскости: x3

D

C

B x2

A

x1

57