14. Методические указания 2
.pdfИндивидуальное задание и его решение
ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
|
|
|
|
|
Задача 1 |
|
|
|
|
||
|
3 3 |
−5 |
|
4 |
1 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даны матрицы |
A = 1 |
1 |
2 |
|
, B = |
5 |
, C = 0 |
3 |
1 |
. |
|
|
|
−1 |
7 |
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
1.Вычислить матрицу 4A+5C+7 CT .
2.Выполняется ли равенство AC=CA?
3. |
Вычислить определители |
A |
, |
|
C |
|
, |
|
AC |
|
, |
|
CA |
|
и проверить равенство: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AC |
|
= |
|
CA |
|
= |
|
A |
|
× |
|
C |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
Используя свойства определителей, вычислить определитель |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
5 |
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
−3 |
3 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Решить систему AX=B матричным методом. |
Задача 2
1. Решить системы уравнений по формулам Крамера:
5x1 + 2x2 |
= 4 |
|
|
|
2x −3x |
|
+ x = −7 |
x + 2x |
|
+ 3x |
|
=14 |
|||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
+ 4x2 + 2x3 = −1, x1 + x2 + x3 = 6 . |
|||||||||||||||
7x1 + 4x2 |
= 8 |
|
|
|
|
|
|
x − 4x |
2 |
= −5 |
|
x + x |
2 |
= 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
2. Решить систему уравнений методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x1 −3x2 +5x3 −7x4 =12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3x −5x |
2 |
+ 7x |
3 |
− x |
4 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5x −7x |
2 |
+ x |
3 |
|
−3x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7x − x |
2 |
+ 3x |
3 |
−5x |
4 |
=16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3
Построить точки и векторы: A(1;−2), B(2;−8), AB ; C(1;0;2), D(3;−1;0), CD .
39
Индивидуальное задание и его решение
Задача 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Даны |
векторы |
|
|
a |
|
= |
, b |
= |
. |
Вычислить |
и |
|
изобразить |
в системе |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
координат следующие линейные комбинации векторов |
|
|
|
и |
b |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
+ |
|
, |
|
− |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
линейную комбинацию |
векторов |
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
3 |
, |
|
|
5 |
с |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = |
|
|
|
b = |
0 |
|
c = |
−3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
0 |
|
||||
коэффициентами α = 3, |
β = 4, |
γ = −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 6
Будут ли векторы линейно зависимы или линейно независимы в случаях:
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
−1 |
|
а) |
|
|
2 |
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
= |
|
, |
b = |
|
a |
= 1 |
, |
|||
|
|
|
1 |
|
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
b = |
2 |
; в) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
− 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= 1 , b = 2 , |
|
= |
−1 ? |
||||
|
a |
c |
|||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
Задача 7
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Даны три вектора |
|
= |
2 |
, |
b = |
1 |
, |
|
= |
1 |
. Доказать, что система { |
|
, b , |
|
} |
|||
|
|
|||||||||||||||||
a |
c |
a |
c |
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
1 |
1
образует базис в R3 . Найти разложение вектора d = 0 по этому базису.
4
Задача 8
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
Даны два вектора |
|
= |
1 |
|
и |
|
= |
− 2 |
. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, угол ϕ между векторами |
|
|
b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
a |
a |
a |
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и b , а также прb (2a −b ) .
40
Индивидуальное задание и его решение
Задача 9
|
|
|
2 |
|
|
|
−1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При каком значении x вектор |
|
= |
− 6 |
ортогонален вектору b = |
3 |
? При |
|||
a |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
каких значениях x и y векторы c = |
−6 |
и d = |
y |
параллельны? |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
Задача 10
Вычислить площадь и высоту треугольника с вершинами A(7;3;4), B(1;0;6) и
C(4;5;7).
|
|
|
|
Задача 11 |
|
|
|
|
Вершины треугольной пирамиды находятся в точках A1 (4;6;5) , |
A2 (6;9;4) , |
|||||||
A3 (2;10;10) и |
A4 (7;5;9) . |
Вычислить: |
а) |
объем |
пирамиды; б) |
высоту, |
||
опущенную из вершины A4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 12 |
|
|
|
|
Выяснить, лежат ли точки D(1;0;1), E(0;1;–3) в плоскости ABC, где A(5;–3;0), |
||||||||
B(–4;3;3), C(–4;2;4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ |
|
|
||||
|
|
Решение задачи 1.1 |
|
|
||||
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
что CT = |
|
|
|
|
|
|
|
Напомним, |
2 |
3 |
1 |
— |
матрица, |
транспонированная к |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
матрице C (см. определение 3 из лекции 1), то есть такая, первый столбец которой совпадает с первой строкой матрицы C; второй столбец — со второй строкой, третий столбец — с третьей строкой. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число, а чтобы сложить матрицы одинаковых размеров, нужно сложить одноименные
41
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индивидуальное задание и его решение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
элементы |
этих |
|
|
|
|
матриц |
(см. |
|
определение |
7 |
из |
лекции |
|
3). Поэтому |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
- 20 |
|
|
|
|
5 |
10 |
|
10 |
|
|
7 |
0 |
21 |
|
24 |
22 |
11 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4A+5C+7 CT |
= |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
+ |
|
0 |
15 |
5 |
|
+ |
|
14 |
21 |
7 |
|
= |
|
18 |
40 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
- 4 |
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
20 |
|
|
|
|
|
7 |
28 |
|
|
|
37 |
8 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
14 |
|
|
|
76 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две матрицы можно перемножать, если число элементов в строке первой |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы равно числу элементов в столбце второй из перемножаемых матриц |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(см. в лекции 3 определение 9 и диаграмму перед ним). Поэтому матрицы AC |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и CA можно вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 - 5 1 2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 ×1 + 3 ×0 - 5 ×3 |
3 × 2 + 3 ×3 - 5 ×1 3 × 2 + 3 ×1 - 5 × 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ×3 |
|
|
1× 2 +1×3 + 2 ×1 1× |
2 +1×1 + 2 × |
|
|
|||||||||||||||
|
AC = 1 |
1 |
|
|
2 0 3 |
|
|
1 |
|
1×1 +1× 0 |
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
×1 -1× 0 |
+ 7 ×3 |
|
|
2 × 2 -1×3 + 7 ×1 2 × |
2 -1×1 + 7 × |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-12 |
10 |
-11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
7 |
|
7 |
|
|
11 |
и, аналогично, CA = 5 |
2 |
|
|
13 . Значит, AC ¹ CA. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
23 |
|
8 |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулу (4), а затем формулу (3) для вычисления |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определителей третьего и второго порядка (см. лекцию 1), получаем: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
3 |
|
- 5 |
|
= 3 × |
|
|
1 |
2 |
|
- 3 × |
|
1 |
2 |
|
- 5 × |
|
1 |
1 |
|
= 3 ×9 - 3 ×3 - 5 × (-3) = 33 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 7 |
|
|
2 7 |
|
|
2 -1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
2 |
2 |
|
= 1× |
|
3 1 |
|
- 2 |
|
0 1 |
|
+ 2 |
|
0 3 |
|
= 1×11 - 2 ×(-3) + 2 × (-9) = -1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
0 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
-12 10 -11 |
|
= -12 ×(217 - 88) -10 × (217 - 253) -11× (56 -161) = -33 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AC |
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
8 |
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
9 |
3 |
13 |
|
= 9(30 - 78) - 3(75 - 234) +13(30 - 36) = -33 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
CA |
|
5 |
2 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
18 |
6 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь очевидно, что AC = A × C = CA . Иного и не могло быть в силу выполнения свойства 9 определителей (см. лекцию 2).
42
Индивидуальное задание и его решение
Решение задачи 1.4 |
|
Вычтем из элементов первой строки определителя |
утроенные |
элементы второй строки, прибавим к элементам третьей строки удвоенные элементы второй строки и, наконец, вычтем из элементов четвертой строки элементы второй строки. Согласно свойству 7 определителей (см. лекцию 2) величина определителя при этом не изменится, а сам определитель преобразуется к виду:
0 |
-1 |
- 2 |
-10 |
D = 1 |
2 |
3 |
4 . |
0 |
1 |
9 |
10 |
0 1 2 0
Разложим этот определитель по элементам первого столбца, что возможно вследствие теоремы 1 (см. лекцию 3):
-1 - 2 -10
D = - 1 9 10 .
1 2 0
Прибавив к элементам второй и третьей строк элементы первой строки, получаем:
D = - |
|
-1 |
- 2 |
-10 |
|
= -70. |
|
|
|||||
|
0 |
7 |
0 |
|
||
|
|
0 |
0 |
-10 |
|
|
Решение задачи 1.5
Так как A ¹ 0 , то обратная матрица существует (теорема 3 из лекции 4). Чтобы найти A−1 , нужно найти все алгебраические дополнения aij* :
a |
= |
1 2 |
|
= 9; a |
= - |
1 2 |
= -3; a |
|
= |
1 1 |
= -3; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
-1 7 |
12 |
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a21 = - |
|
3 |
- 5 |
|
= -16; a22 = |
|
3 |
|
|
- 5 |
|
= 31; a23 |
= - |
|
3 |
3 |
|
= 9; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
-1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 -1 |
|
|
||||||
a |
= |
|
3 |
- 5 |
|
=11; a |
|
= - |
|
3 |
- 5 |
|
|
= -11; a |
33 |
= |
|
3 |
3 |
|
= 0. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
1 |
2 |
|
32 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
По формуле (12) из лекции 4 имеем: |
|
9 |
|
|
-16 |
11 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 = |
1 |
|
|
× ( A )T |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
- 3 31 |
|
|
|
|
-11 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
- 3 |
|
|
9 |
0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(проверить самостоятельно соотношение A−1 × A = I ).
43
Индивидуальное задание и его решение
Система уравнений AX = B имеет единственное решение X = A−1B (см. первую часть доказательства теоремы 4 из лекции 4). Таким образом:
x1x2 =x3
|
|
|
|
9 -16 |
11 |
|
|
4 |
|
|
|
|
33 |
|
|
1 |
|||||
X = |
1 |
|
|
- 3 |
|
-11 |
|
× |
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
31 |
|
|
5 |
|
|
|
66 |
|
|
2 . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
33 |
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
- 3 |
9 |
0 |
|
|
|
7 |
|
|
|
33 |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 2.1
|
2x1 - 3x2 + x3 = -7 |
|
|
||||
Решим систему |
x1 + 4x2 + 2x3 = -1 |
(остальные системы |
решаются |
||||
|
|
x |
- 4x |
2 |
= -5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
аналогично). |
|
|
|
|
|
|
|
В соответствие |
с правилом |
Крамера |
(см. теорему 4 из |
лекции 4) |
вычислим главный и вспомогательные определители данной системы:
D = |
|
2 |
- 3 |
1 |
|
= 2 × |
|
4 |
2 |
|
+ 3 × |
|
1 |
2 |
|
+ |
|
1 |
4 |
|
= 16 - 6 - 8 = 2 ¹ 0; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
- 4 0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
1 - 4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
- 4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− 7 |
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− 7 |
|
1 |
|
|
|
2 |
−3 |
− 7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 = |
−1 |
|
4 2 |
|
= −2; |
2 = |
|
1 |
|
|
−1 |
|
2 |
= 2; |
3 = |
|
1 |
4 |
−1 |
|
= −4. |
||||||||||||
|
|
|
−5 |
− 4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−5 0 |
|
|
|
1 |
− 4 |
−5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получаем:
x = |
1 |
= − 2 = -1; x = |
2 |
= |
2 |
= 1; x = |
3 |
= − 4 = -2. |
|
D |
D |
|
D |
||||||
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 2.2
Метод Гаусса — это приведение системы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, производимых над строками системы. Эти преобразования таковы: перестановка уравнений системы; умножение уравнений системы на число, неравное нулю; сложение уравнений системы. Практически удобнее приводить к треугольному виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака равносильности ~, а строки будем символически обозначать буквой С с индексами (например, выражение C2 − 3C1 означает,
что мы ко второй строке прибавили первую, умноженную на число –3) . Итак:
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индивидуальное задание и его решение |
||||||||||||||||||||
1 - 3 |
5 - 7 |
|
12 |
|
|
- 3C |
1 - 3 |
5 |
|
- 7 |
|
12 |
|
|
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 -1 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
- 8 20 |
|
- |
|
|
|
C |
2 |
|||||||||||||
3 - 5 |
|
0 |
C |
2 |
|
1 |
0 4 |
|
36 |
|
|
8 ~ |
||||||||||||||||||||
|
5 - 7 |
1 - 3 |
|
4 |
|
|
- 5C ~ |
|
0 8 |
- 24 32 |
|
- |
56 |
|
C |
3 |
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
4 |
- 7C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
4 |
||||||
|
7 -1 |
3 - 5 |
|
16 |
|
|
|
1 |
|
0 20 |
- 32 44 |
|
- |
68 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 -3 |
5 -7 |
|
12 |
|
|
|
1 - 3 |
5 |
- 7 |
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
-2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 1 |
|
-9 C3 -C2 |
0 1 |
|
|
- 9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 1 |
-3 4 |
|
-7 |
C4 -5C2 |
~ |
0 0 |
|
-1 -1 |
|
2 |
C4 + 2C3 ~ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 5 |
-8 11 |
|
-17 |
|
|
|
|
0 0 |
|
2 -14 |
|
28 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 - 3 |
5 - 7 |
|
12 |
|
|
|
1 |
- 3 5 - 7 |
|
12 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
- 2 5 |
|
- 9 (- |
|
|
0 |
1 - 2 5 |
|
- 9 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 0 |
-1 -1 |
|
2 |
|
(-16) |
~ |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
- 2 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
C4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
0 -16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
- 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, исходная система привелась к треугольному виду:
x1 - 3x2 + 5x3 - 7x4 = 12 |
||
|
x2 - 2x3 |
+ 5x4 = -9 |
|
|
. |
|
x3 + x4 = -2 |
|
|
x4 |
= -2 |
|
Из последнего уравнения получаем x4 = -2 . Подставляя это значение в
предыдущее уравнение, получаем x3 = 0 . Подставляя |
x4 = -2 |
и x3 = 0 во |
второе уравнение, имеем: x2 = -9 - 5 × (-2) = 1. И, |
наконец, |
подставляя |
x4 = -2 , x3 = 0 и x2 = 1 в первое уравнение, находим x1 = 1. |
|
Решение задачи 3
Решить эту задачу самостоятельно, опираясь на заключительный раздел лекции 5.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
a |
+ b =2× |
|
+ |
|
= |
= OA; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
3 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
– b = |
|
|
- |
= |
|
|
= OB ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
a + b |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= |
× |
+ |
= |
= OC. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
45
Индивидуальное задание и его решение
x2
8 A
3 C
− 4 |
0 |
1 |
x1 |
− 2
B
Решение задачи 5
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
-1 |
|
7 |
|
3 |
|
- 4 |
|
-14 |
|
-15 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
6 |
12 |
|
-10 |
|
8 |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3a + 4b - 2c = 3 |
-1 |
+ 4 |
0 |
|
- 2 |
- 3 |
|
= |
- 3 |
|
+ |
0 |
|
+ |
6 |
|
= |
3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
8 |
|
0 |
|
9 |
|
32 |
|
|
|
41 |
Решение задачи 6
а) Воспользуемся критерием линейной независимости двух векторов в
R2 (см формулу (15) из лекции 5). Для этого составим определитель второго порядка из столбцов координат данных векторов:
D = D(a , b ) = 2 - 4 = -4 + 4 = 0 . 1 - 2
Следовательно, векторы a и b линейно зависимы.
б) Проверим, пропорциональны ли соответствующие координаты
векторов a и b : −1 = 1 ¹ 1 . Не пропорциональны! Следовательно, ни один из
- 2 2 1
векторов a и b не может быть выражен через другой. По свойству 1 систем векторов (см. лекцию 5) данные векторы линейно независимы.
в) Согласно критерию линейной независимости трех векторов в R3 (опять см формулу (15) из лекции 5) составим определитель третьего порядка:
46
Индивидуальное задание и его решение
|
|
-1 |
- 2 |
2 |
|
|
2 |
-1 |
|
1 |
-1 |
|
1 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
D = D( |
|
|
|
|
|
)= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
, |
|
, |
|
|
1 |
2 |
-1 |
|
= -1 |
+ 2 |
+ 2 |
= |
||||||||
|
b |
||||||||||||||||||||
a |
c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
-1 |
3 |
|
1 |
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -(6 +1) + 2(3 +1) + 2(1 - 2) == -7 + 8 - 2 = -1 ¹ 0.
Следовательно, векторы a, b, c линейно независимы.
Решение задачи 7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим D( |
|
, |
|
, |
|
) = |
2 |
|
1 |
1 |
|
= 2(1 -1) + 2(2 - 3) = -2 ¹ 0 . Таким образом, |
||||||||||
|
|
|
a |
b |
c |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данная система векторов образует базис вR3 (см свойство 6 систем векторов |
|||||||||||||||||||||||||
из лекции 5). Следовательно, |
|
= x1 |
|
+ x2 |
|
+ x3 |
|
. Найдем коэффициенты x1 , |
|||||||||||||||||
d |
a |
b |
c |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
, |
x |
разложения |
|
= |
|
0 |
|
|
по |
|
этому базису. Для этого перепишем |
||||||||||||
2 |
d |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предыдущее равенство в координатной форме
|
1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
= x1 |
|
|
+ x2 |
|
|
+ x3 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
1 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
откуда получаем систему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + |
2x3 = 1 |
|
|
|||||
|
|
2x1 + x2 + x3 = 0 . |
|
|
||||||
|
|
3x1 + x2 + x3 = 4 |
|
|
Решим эту систему по формулам Крамера:
x = |
1 |
= |
−8 |
= 4; x = |
2 |
= - |
9 |
; x = |
3 |
= - |
7 |
. |
D |
- 2 |
D |
|
D |
|
|||||||
1 |
|
2 |
2 |
3 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получаем нужное разложение d = 4a - 9 b - 7 c. 2 2
Решение задачи 8
Используя определения нормы и угла между векторами (см. определение 18 из лекции 6), находим:
a = 22 +12 + 02 = 5 ; b = 0 + (-2)2 +12 = 5 ;
47