RUDN-I

6.4. Циклические подгруппы

111

Следствие. Если порядок конечной группы G есть простое число, то G не имеет подгрупп, отличных от H0 = {e} и H1 = G.

Доказательство. Действительно, из (5) следует, что для любой подгруппы H в G ее порядок |H| является делителем числа p = |G|. Но для простого числа p делителями являются только числа 1 и p, что соответствует подгруппам H0 = {e} и H1 = G (подгруппа H1 с числом элементов, равным |G|, совпадает с G).

6.4.

Циклические подгруппы

.

ru

Пусть G — группа, a

G. Для m

Z

=

{

0,

±

1,

±

2, . . .

}

введем степени

am по правилам

a0 = e, an = a · . . . · a , a−n = a−1 · . . . · a−1

при

n N.

n

|

n

}

Итак, a

m

| {z }

{z

G, a G, m Z. Обозначим

Ha = {am : m Z} G.

(1)

Если a = e — единица группы, то, очевидно, He

= {e}.

matematem

Теорема 1. Пусть G — группа, a G. Множество Ha (1) образует подгруппу группы G, причем коммутативную. Справедливы равенства 1) (am)−1 = (a−1)m, m N;

2) am · an = an · am = am+n, m, n Z.

Упражнение 1. Доказать теорему 1 (см. упражнение 6.6).

Определение 1. 1) Подгруппа Ha вида (1) называется циклической
подгруппой, порожденной.	элементом a G.
2) Если при этом Ha = G, то вся группа G называется циклической.
Для циклической подгруппы Ha возможны два случая:
a) am ̸= e, m N;		(2)
b) m N : am = e.
Теоремаwww2. Пусть Ha — циклическая подгруппа (1) группы G.

1) В случае a) имеем am ≠ an при m, n Z, m ≠ n; т.е. подгруппа Ha

112		Тема 6. Алгебраические операции. Группы
бесконечная.
2) В случае b) обозначим
	m0 = min{m N : am = e}.			(3)
Тогда Ha содержит m0 различных элементов:			.
		Ha = {e, a, . . . am0−1},		(4)
	matematem			из элемен-
т.е. имеет порядок m0		(для m Z am совпадает с однимru
тов (4)).

Упражнение 2. Доказать теорему 2 самостоятельно (см. упражнение 6.7).

Теорема 3. Пусть G — конечная группа, порядок которой p = |G| — простое число. Тогда группа G — циклическая.

Доказательство. Рассмотрим любой элемент a G, a ≠ e. Тогда Ha = {am; m Z} — циклическая подгруппа группы G, причем Ha ≠ {e}. По следствию теоремы Лагранжа это означает, что Ha = G, т.е. вся группа G — циклическая.

Пример. Фиксируем матрицу A					GLn, т.е. A			Mn, det A = 0 и рас-
смотрим Ha	= {A	m							̸
			: m Z}. Это циклическая подгруппа в группе
GLn.
Пусть, например, n = 2, A = Aφ ;						− sin mφ
Aφ = cos φ	− sin φ , Aφm =			cos mφ					= Amφ, m Z.
sin φ	cos φ			sin mφ		cos mφ

(проверьте это равенство!), т.е. HAφ = {Amφ : m Z}.

A3π/2 =www0 1

,

Aπ/4

2

= A2π

= I,

HAπ/2 =

I, Aπ/2, Aπ, A3π/2 .

0

−1

,

Aπ2

= I — единичная

В частности, если φ.= π, то Aπ =

−1

0

матрица, HAπ = {I, Aπ}.

Если φ = π/2, то Aπ/2

=

0

−1

,

Aπ/2

2

= Aπ

=

−1

0

, Aπ/3

2 =

1

0

0

−1

−1 0

{

}

6.5. Фактор–группа по нормальной подгруппе

113

6.5.Нормальные подгруппы. Фактор–группа по нормальной подгруппе

	ru
Определение 1. Подгруппа H группы G называется нормальной, если
для любых h H, x G элемент вида x−1hx H. Итак,
h H, x G x−1hx H.		(1)

α = (1, 3, 2) = β23 (транспозицияmatematem2-го и 3-го элементов). Это подгруппа,
Замечание 1. Любая подгруппа H абелевой группы	G нормальна, т.к.
h H, x G имеем x−1hx = x−1xh = eh = h H. .

Пример 1. Подгруппа H0 всех четных перестановок из G = Sn является нормальной.

Действительно, пусть α H0, тогда sign α = 1 и для любой β G имеем β−1 ◦ α ◦ β H0, поскольку

sign (β−1 ◦ α ◦ β) = sign (β−1) · sign α ·sign β = sign (β−1) · sign β = 1

| {z }

1

(мы учли, что при умножении перестановок их знаки перемножаются и что sign (β−1) = sign β).

Пример 2. В группе GLn = {A Mn : det A ≠ 0} подгруппа SLn = {A Mn : det A = 1} является нормальной.

Действительно, если A SLn т.е. det A = 1, то для B GLn имеем по теореме об определителе произведения матриц

det(B−1AB) = det B−1 · det A · det B = det A = 1,

т.е. B−1AB SLn.

Пример 3. В S3 рассмотрим подгруппу H1 = {e, α}, где e = (1, 2, 3),

e

www

H

, α−1

= α

H

H

т.к.

◦

◦

.

1

1. Однако

1

не является

нормальной. Например, при β = (2, 1, 3) S3 имеем β−1 = β = (2, 1, 3) и для α H1 получим

β−1 ◦ α ◦ β = (2, 1, 3) ◦ (1, 3, 2) ◦ (2, 1, 3) = (3, 2, 1) ̸H1.

Определение 2. Подгруппу H группы G назовем инвариантной, если

x, y G, xy H влечет, что yx H.
Очевидно, что для инвариантной подгруппы
xy H yx H.	(2)

114 Тема 6. Алгебраические операции. Группы

Теорема 1. Подгруппа H группы G нормальна тогда и только тогда, когда она инвариантна.

Доказательство. ru

1) Пусть H нормальна; x, y G таковы, что h = xy H. Тогда, в силу нормальности H, h1 = x−1hx H. Но h1 = x−1(xy)x = (x−1x)yx = eyx = yx. Итак, xy H yx H, т.е. H инвариантна. .

2) Обратно, пусть H инвариантна. Для h H, x G рассмотрим y = x−1h G. Тогда xy = x(x−1h) = (xx−1)h = eh = h H. Отсюда в силу ивариантности H следует, что и h1 = yx H. Но h1 = yx = (x−1h)x = x−1hx. Итак, x G, h H x−1hx H, т.е. H нормальна.

Следствие. Для нормальной подгруппы H группы G отношения эквивалентности R1 и R2, введенные в теореме 2 п. 6.3, совпадают: R1 = R2. Значит, совпадают и соответствующие классы эквивалентности: AR1 (x) = AR2 (x), x G (см. формулы (3) и (4) п. 6.3).

Вывод. Для нормальной подгруппы H группы G левый и правый смежные классы группы G по подгруппе H одинаковы: xH = Hx, т.е.

{y G : y = xh, h H} = {y G : y = h1x, h1 H}.

(3)

Доказательство следствия. Для x, y G имеем в силу инвариантности нормальной подгруппы H

(x, y) R1 y−1x H xy−1 H (x, y) R2,

т.е. R1 = R2.

Обратный вывод также справедлив.
Упражнение. Пусть подгруппаmatematemH группы G такова, что xH = Hx для
любого x G. Показать,.	что H нормальна (см. упражнение 6.10).

Пусть Gwww- группа, A, B — подмножества G.

Определение 3. Произведением AB называется множество всевозможных произведений ab, где a A, b B. Итак,

AB = {ab : a A, b B}.

В частности, если A = {a} состоит из одного элемента, то AB = aB =

{ab : b B}, если B состоит из одного элемента B = {b}, то AB = Ab (см., например, смежные классы xH и Hx).

6.5. Фактор–группа по нормальной подгруппе

115

Определение 4. Скажем, что подмножества A и B группы G коммутируют, если AB = BA.

в общем случае мы не гарантируем, что xh = hx для любогоru					h H.
Свойства произведения подмножеств в группе.G
1◦. Произведение подмножеств ассоциативно:
			(AB)C = A(BC).		(4)
Действительно, групповая операция ассоциативна, поэтому
(AB)C = {(ab)c : a A, b B, c C} =
			= {a(bc) : a A, b B, c C} = A(BC).
2◦. Для A G
			eA = Ae = A,		(5)
где e — единичный элемент группы.
3◦. Если H — подгруппа группы G, то
			HH = H.		(6)
Действительно, для любой подгруппы H имеем
			eH=H
	e	HmatematemeH HH = H HH.
		.		H. Значит, по
С другой стороны, если h HH, то h = h1h2, где h1, h2
www

Замечание 2. В абелевой группе G любые подмножества A и B коммутируют.

Замечание 3. Нормальная подгруппа H группы G коммутирует с любым элементом x G в том смысле, что xH = Hx (т.е. верно (3)), хотя,

свойству подгруппы h H, т.е. HH H. Итак, верно равенство (6).

4◦. Для любого x G имеем xH = Hx, если H — нормальная подгруппа группы G (см. выше).

5◦.
Теорема 2. Пусть H — нормальная подгруппа группы G, x,	y G,
A = xH, B = yH. Тогда справедливо равенство
AB = (xy)H.	(7)

116	Тема 6.	Алгебраические операции. Группы
Доказательство. Согласно свойствам 1◦—4◦ имеем
1◦	4◦	1◦	3◦
AB = (xH)(yH) = x(Hy)H = x(yH)H = (xy)(HH) = (xy)H.
6◦.		.	ru
Теорема 3. Множество всех смежных классов группы G по нормаль-
(xH)(x−1H) = (xxmatematem−1)H = eH, (x−1H)(xH) = (x−1x)H = eH.
ной подгруппе H образует группу по отношению к операции умножения
подмножеств группы G.
Обозначим это множество G | H — фактор-множество G по отношению
эквивалентности R = R1 = R2 (см. выше).
Доказательство. 1) Из (7) видим, что при x, y G			(8)
	xH · yH = (xy)H,

т.е. умножение подмножеств есть алгебраическая операция на фактормножестве G | H.

2) Эта операция ассоциативна:

(8)	(8)	G1◦
xH(yH · zH) = xH(yzH) = x(yz)H =
	G1◦	(8)	(8)
	= (xy)zH = (xy)H · zH = (xH · yH) · zH.
3) H = eH является нейтральным элементом:
	(8)
	xH · eH = (xe)H = xH, x G.
Равенство eH · xH = xH также выполнено.
4) x−1H = (xH)−1	.
	, поскольку

Вывод.wwwМножество G | H образует группу. Ее называют фактор-группой группы G по нормальной подгруппе H.

Пример 4. Пусть G = GLn = {X Mn : det X ≠ 0}, H = SLn = {A Mn : det A = 1}. Тогда H — нормальная подгруппа группы G. Классы эквивалентности: XH = HX, где X GLn. Имеем,

XH = {Y = XA : A H} = {Y = XA : det A = 1} =

= {Y Mn : det Y = det X} ≡ BX .

6.6. Гомоморфизм и изоморфизм групп		117
Действительно, если Y XH, то по теореме 1 п. 5.3 об определителе
произведения матриц		ru
−1	1

Y = XA, det A = 1 det Y = det(XA) = det X · det A = det X.

Следовательно, Y BX . Обратно, пусть Y BX т.е. det Y = det X.

Тогда при A = Y X−1 имеем			.
matematem
det A = det Y	· det X = det Y ·	det X	= 1,

т.е. A H. При этом Y = AX, т.е. Y HX = XH. Итак, XH = HX =

BX .

Следовательно, отношение эквивалентности имеет вид: Y ≈ X, если

det Y	=	det X ̸= 0, т.е. при α R\{0} класс эквивалентности есть
R(α)	=	{Y Mn : det Y	= α}. Умножение классов: R(α)R(β) =
R(αβ), α, β R\{0}; G | H			= {R(α) : α R\{0}} — фактор-группа,

совпадающая с мультипликативной группой вещественных чисел (без нуля).

6.6. Гомоморфизм и изоморфизм групп

Пусть G и S — две группы.

Определение 1. Отображение f : G → S называется гомоморфизмом групп, если

f(g1g2) = f(g1)f(g2), g1, g2 G.

(1)

Замечание 1. Здесь g1g2 понимается как групповая операция в G, а f(g1)f(g2) — как групповая операция в S.

www	f : G → S
Определение 2. Гомоморфизм.		называется изоморфизмом
групп, если f — биективное отображение.

Пример 1. Пусть G = GLn — мультипликативная группа невырожденных квадратных матриц n-го порядка, S = R\{0} — мультипликативная группа вещественных чисел. Тогда отображение G → S, заданное формулой f(A) = det A, A G является гомоморфизмом.

Действительно, по теореме об определителе произведения квадратных матриц имеем для A, B G

f(AB) = det(AB) = det A · det B = f(A)f(B).

118 Тема 6. Алгебраические операции. Группы

Пример 2. Пусть G = (R, +) группа вещественных чисел с операцией сложения; S = (R+, ·) — мультипликативная группа положительных чисел R+ = (0, ∞). Тогда отображение

т.е. отображение сюръективно. Итак, f есть изоморфизм (гомоморфизм и одновременно биекция).

	f(x) = ex								(2)
является изоморфизмом f : G → S (здесь e — постоянная Эйлера).
Действительно, для любых x1, x2 R имеем							.	ru
x1	+x2		x1	e	x2
f(x1 + x2) = e		= e				= f(x1)f(x2),
т.е. (2) есть гомоморфизм. При этом
x1 ̸= x2 ex1 ̸= ex2
— отображение инъективно;
y R+ y = ex,				где x = ln y,
Kerfmatematem= SLn = {A Mn : det A = 1},

Определение 3. Пусть f : G → S гомоморфизм групп. Множество

Kerf = {g G : f(g) = eS},

(3)

где eS — единичный элемент группы S, называется ядром гомоморфизма.

		.
Пример 1’. Ядро гомоморфизма для отображения из примера 1 имеет
вид:	www
поскольку в этом примере eS = 1.
Пример 2’. В примере 2 Kerf = {0}, т.к. eS = 1 и
			ex = 1 x = 0.
Лемма 1. Пусть f : G → S гомоморфизм групп. Тогда
		1)	f(eG) = eS, т.е. eG Kerf	(4)
		2)	f(g−1) = f(g)−1, g G.	(5)

6.6. Гомоморфизм и изоморфизм групп

119

Доказательство. 1) Пусть u = f(eG). Тогда, согласно (1)

	u = f(eG) = f(eGeG) = f(eG)f(eG) = u2.	ru
Итак, u = u2. Умножим обе части равенства на u−1:
	u−1u = u−1uu eS = eSu = u.
Значит, u = eS.
2) Из равенства g−1g = eG и (4) следует, что f(g−.1g) = f(eG) = eS.
	matematem

Но согласно (1) f(g−1g) = f(g−1)f(g). Итак, f(g−1)f(g) = eS. Значит, f(g−1) = f(g)−1 (см. замечание 1 в п. 6.2).

Лемма 2. Пусть f : G → S гомоморфизм. Тогда 1) Kerf есть подгруппа группы G.

2) Для g G, h Kerf имеем g−1hg Kerf (т.е. Kerf есть нормальная подгруппа группы G).

Доказательство. 1) Покажем, что H = Kerf есть подгруппа в G. Дляh1, h2 H имеем в силу (1) и (3)

f(h1h2) = f(h1)f(h2) = eSeS = eS h1h2 H.

Кроме того, для h H имеем в силу (5)

f(h−1) = f(h)−1 = e−S 1 = eS h−1 H.

Значит, H — подгруппа в G.

2) Если g G, h H = Kerf, то f(h) = eS и, согласно (1), (5)

f(g−1hg) = f(g−1) f(h) f(g) = f(g−1)f(g) = eS,

Леммаwww3. Пусть f : G → S гомоморфизм групп. Отображение f является изоморфизмом групп тогда и только тогда, когда оно сюръективно и Kerf = {eG}.

так что g−1hg H. .	eS
	|{z}

Доказательство. 1) Если f — изоморфизм, т.е. биективный гомоморфизм, то f — сюръективно и инъективно. При этом, согласно лемме 1, eG Kerf, а в силу инъективности f для любого g G, g ≠ eG имеем f(g) ≠ f(eG) = eS, т.е. g ̸Kerf. Итак, Kerf = {eG}.

120 Тема 6. Алгебраические операции. Группы

2) Обратно, пусть f — гомоморфизм и f(G) = S. Нужно проверить, что

	Kerf = {eG} f— инъективно.			ru
т.е. g1−1g2	Kerf = {eG}. Итак, g1−1g2 = eG, т.е. g1	= g2.
Пусть g1, g2 G, f(g1) = f(g2). Покажем, что g1		= g2. Имеем
f(g1−1g2) = f(g1−1)f(g2) = f(g1)−1f(g2) = f(g2)−1f(g2) = eS,
H.	matematem		.
Лемма 4. Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Рассмотрим
отображение f : G → G | H, заданное формулой
	f(g) = gH, g G.			(6)
Это отображение гомоморфно, причем
	Kerf = H.			(7)

Доказательство. 1) Пусть g1, g2 G. Тогда по свойству умножения смежных классов группы G по нормальной подгруппе H (т.е. элементов фактор-группы G | H) имеем

	(6)
f(g1g2) = (g1g2)H = (g1H)(g2H) = f(g1)f(g2),
т.е. f есть гомоморфизм.
2) Ядро этого гомоморфизма
Kerf = {g : f(g) = eG | H } = {g : gH = H} = H,
	.	совпадает с
поскольку в фактор-группе G | H единичный элемент eG | H
www
6.7. Теоретические упражнения к теме 6

6.1. Заполнить по образцу следующие таблицы о свойствах алгебраических операций f : M × M → M.

1) Числа.

Операция	M	Ассоциа-	Нейтральный	Коммута-
		тивность	элемент	тивность