RUDN-I

9.9. Теоретические упражнения к теме 9

191

9.9. Теоретические упражнения к теме 9

9.1. Пусть

	m			n			m+n
	P (z) = plzl, Q(z) = qjzj, R = P · Q, R(z) =							rkzk
	l=0			j=0		ru		=0
	∑			∑			∑k
Вывести равенства
		m		n
	rk =	=0		δl+j, kplqj, k = 0, 1, . . . m		.+ n.
				j=0
		∑l		∑
где δi, k — символ Кронекера (δi, k = 1, если i = k, δi, k						= 0, если i ̸= k).
9.2. (схема Горнера деления многочлена на двучлен). Пусть
		n	plzl, pn ̸= 0, P (z) = (z − c)Q(z) + R,
	P (z) =	=0
где		∑l
					n−1
				Q(z) =	qjzj
					=0
					∑j
Вывести формулы для коэффициентов qj, (j = n − 1, n − 2,								. . . , 1, 0) и
остатка R:
	qn−1 = pn, qn−2 = pn−1 + cqn−1, . . . , q0 = p1 + cq1, R = p0 + cq0.
9.3. Пусть P и Q — многочлены с вещественными коэффициентами,
		P = QH + R,			degR < degQ
			matematem

9.4.Показать, что НОД. и НОК двух многочленов являются единственными с точностью до постоянного множителя.

9.5.Пусть R есть НОД, а S есть НОК многочленов P, Q. Показать, что

RS = P Q.

9.6.Показать, что если целое число c является корнем многочленатакжеwww

∑n

P (z) = plzl, pn ≠ 0

l=0

с целыми коэффициентами, то число c будет делителем коэффициента p0 (указание: использовать результат упражнения 9.2).

192

Предметный указатель

Алгебраическая операция

	— коммутативная	matematem
	— ассоциативная

Алгебраическое дополнение Алгебраическая форма комплексного числа Ассоциативность отображений

— умножения матриц

— умножения чисел по модулю

Б

Безу теорема

В

Виета формулы

Г

Гаусса метод

— прямой ход

— обратный ход Гаусса–Жордана метод Гомоморфизм групп

	Горнера схема	.
	Группа
	— абелева
	www
	— биекций
	— перестановок

Д

Двойственности принцип Декартово произведение множеств Делители нуля

Е

Евклида алгоритм Единичный элемент группы

.	ru

101

103

102

50, 57

142

35

77

133

172

180

7

13

15

92

117

168

104

104

104

105

29

30

128

168

104

Предметный указатель

193

З

Знак перестановки

И

Изоморфизм групп Инверсия в перестановке

К

Классы вычетов Классы смежности

— эквивалентности Кольцо

— вычетов

— коммутативное

— многочленов Комплексное число

— сопряжение matematem

Комплексного числа алгебраическая форма

— аргумент, модуль

— показательная форма

— тригонометрическая форма

Корень из комплексного числа

— многочлена

Крамера правило

Кратность корня многочлена Кронекера символ

М www

Л
Лагранжа формула
	.
Линейная комбинация

Матриц произведение

— равенство

— сумма, разность

— транспонирование

— эквивалентность Матрица

— блочно–треугольная

.	ru

42

117

41

132

109

31

124

136

125

162

141

154

142

144

149

147

152

172

69, 88

173

62

110

10

71

8

9

10, 78

11

7

66, 68

194

— вырожденная, невырожденная
— диагональная			ru
— единичная
— квадратная
— кососимметричная
— нулевая		.
— обратная	matematem
— прямоугольная
— простейшая
— системы
— — расширенная
— ступенчатая
— симметричная
— транспонированная
— треугольная
Матрицы главная диагональ
— побочная диагональ
Матричное уравнение
Минор
Многочлен
— матричный
— над полем вещественных чисел
— над полем комплексных чисел
Многочлена корень
— разложение на линейные множители
— на линейные и квадратичные множители
Многочленов деление
— наибольший общий делитель
.
— наименьшее общее кратное

— равенствоwww

— сложение

— умножение Множеств декартово произведение

— пересечение (произведение)

— равенство

— разность

— симметрическая разность

— сумма (объединение) Множество, элементы множества

— пустое Муавра формула

83

63

8, 74

8

10

7

82

7

12

16

16

11

10

10

62

8

8

73, 86

50, 57

158

79

158

158

172

175

177

164

168

171

158

162

162

30

28

28

28

28

28

27

28

150

Предметный указатель

Н			ru
Неизвестные базисные
— свободные
Нейтральный элемент группы
Нормальная подгруппа		.
О	matematem
Обратная матрица
Обратный элемент группы
Однородная система уравнений
Определитель
— блочно–треугольный
— Вандермонда
— верхне–треугольный
— верхний блочно–треугольный
— диагональный
— нижне–треугольный
— нижний блочно–треугольный
— произведения матриц
Определителя кососимметричность
— полилинейность
Определителя разложение по строке
— столбцу
Основная теорема алгебры
Отношение бинарное
— порядка
— эквивалентности
.

Отображение множеств

— биективноеwww

— инъективное

— обратимое

— обратное

— сюръективное

— тождественное (единичное) Отображений композиция (суперпозиция)

П

Перестановка

— нечетная, четная Перестановки транспозиция

195

21

21

104

113

82

104

17

47, 50

66

64

62

66

63

63

68

80

53

55

57, 60

57, 60

174

31

33

31

33

33

33

36

36

33

35

35

40

42

42

196

— четность
Подгруппа				ru
— инвариантная
— нормальная
— циклическая
Подмножество			.
Поле
— вычетов по простому модулю
		matematem
— комплексных чисел
Произведение матриц
— чисел по модулю
— подмножеств в группе
— элементов группы
Р
Радиус–вектор точки
Решение системы
Рефлексивность
С
Симметричность
Система линейных уравнений
— совместная, несовместная
— однородная, неоднородная
— определенная, неопределенная
— преобразованная
— эквивалентная
Сопряженное комплексное число
Столбец, строка	.

Т www

Транзитивность

Транспозиция

У

Умножение матриц

— элементов группы

Ф

Фактор–множество

Фактор–группа

42

107

113

113

111

27

129

138

141

72

132

115

104

144

17

11, 31

11, 31

7, 16

17

17

17

17

17

154

8

11, 31

42

72

104

30, 32

116

Предметный указатель

Фредгольма альтернатива
Х				ru
Характеристика поля
Э			.
Эйлера формула
Эквивалентности отношение
		matematem
Эквивалентные матрицы
— системы уравнений
Элемент определителя
Элементарные преобразования матрицы
— — системы
Элементы группы
— кольца
—матрицы
— поля
Я
Ядро гомоморфизма
www	.

197

22

138

149

31

11

17

51

10

17

104

124

7

129

118

198

Список литературы

[1] Кострикин А. И. Введение в алгебру.		ru
Часть 1.	Основы алгебры. М. : Физматлит, 2001.
Часть 2.	matematem
	Линейная алгебра. М. : Физматлит, 2001.
Часть 3.	Основные структуры алгебры. М. : Физматлит,.		2001.

[2] Винберг Э. Б. Курс алгебры. М. : Факториал, 2002.

[3] Баскаков А. Г. Лекции по алгебре. Воронеж, ВГУ, 2004.

[4] Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М. : МГУ, 1998.

[5] Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М. : Физматлит, 2007.

[6] Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М. :Наука, 1971. [7] Воеводин В. В. Линейная алгебра. М. :Наука, 1980.

[8] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М. : Наука, 1970.

[9] Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М. :Физматгиз , 1975.

[10] Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные векторные
	.
пространства. М. :Наука, 1969.
www

199

Оглавление

Предисловие авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
	.	7
Тема 1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса . . . . . . .
1.1.	Прямоугольные и квадратные матрицы . . . . . . . . . . . .	7
1.2.	Элементарные преобразования матриц . . . . .ru. . . . . . .	10
1.3.	Системы линейных уравнений. Основные понятия . . . . .	16
1.4.	Теоретические упражнения к теме 1 . . . . . . . . . . . . .	24
Тема 2. Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . .		27
2.1.	Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . .	27

2.2.Отношения эквивалентности.

Фактор-множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.Отображения множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.	Теоретические упражнения к теме 2 . . . . . . . . . . . . .	38
Тема 3. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		40
3.1.	Понятие перестановки. Число перестановок . . . . . . . . .	40
3.2.	Транспозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42
3.3.	Теоретические упражнения к теме 3 . . . . . . . . . . . . .	46
Тема 4. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		47

4.1.Определители второго и третьего порядка . . . . . . . . . . 47

4.2.Понятие определителя n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.Общие свойства определителей n-го порядка . . . . . . . . . 52

4.4.Миноры и алгебраические дополнения. Разложение опре-

		matematem	57
	делителя по строке и столбцу . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.	Примеры вычисления определителей . . . . . . . . . . . . .		62
4.6.	.		69
	Теоретические упражнения к теме 4 . . . . . . . . . . . . .
Тема 5. Алгебра матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			71
5.1.	Определение умножения матриц. Примеры . . . . . . . . .		71
5.2.	Свойства умножения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . .		74
5.3.	Свойства умножения квадратных матриц . . . . . . . . . .		79

5.4.Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5.Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.6.Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7.Дополнение. Определитель как полилинейная кососимметрическая функция строк (столбцов) матрицы . . . . . . . . 93www

5.8. Теоретические упражнения к теме 5 . . . . . . . . . . . . . 96

200	Оглавление

Тема 6. Алгебраические операции. Группы . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.Алгебраические операции. Понятие группы. Примеры групп101

6.2.Некоторые свойства групповой операции . . . . . . . . . . . 105

6.3.Понятие подгруппы. Смежные классы группы по подгруппе107

6.4. Циклические подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5.Нормальные подгруппы. Фактор–группа по нормальной подгруппе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 113

6.6.Гомоморфизм и изоморфизм групп . . . . . . . . . . . . . . 117Тема 7. Кольца и поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124ru

7.1. Понятие кольца. Примеры колец . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2.Понятие поля. Примеры полей . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.3.Кольцо и поле вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.4. Теоретические упражнения к теме 7	. . . . . . . . . . . . . 138
Тема 8. Поле комплексных чисел . . . .	. . . . . . . . . . . . . . 140
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . 140

8.1.Понятие комплексного числа. Комплексные числа в алгебраической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.2.Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.3.Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4.Возведение в степень и извлечение корня из комплексного

matematem	. .	.	.	150
числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Свойства операции сопряжения комплексных чисел	. .	.	.	154

8.6. Теоретические упражнения к теме 8 . . . . . . . . . .	. .	. 155
Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел . . . . .	. .	. 158

9.1.Условия равенства многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.2.Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.3.Деление многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.4.Наибольший общий делитель двух многочленов . . . . . . . 168

9.5.Корни многочлена. Основная теорема алгебры многочленов. Разложение многочлена на множители . . . . . . . . . 172

9.6.Разложение на множители многочленов с вещественными

Оглавлениеwww. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
	коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.7.	Формулы Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.8. Доказательство основной теоремы алгебры		. . . . . . . . . 185
9.9.	Теоретические упражнения к теме 9 . . .	. . . . . . . . . . 191
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . 192
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . 198