RUDN-I

6.7. Теоретические упражнения к теме 6

121

a + b N, Z, Q, R есть

0

есть

a − b

ru

a · b

a ÷ b

.

A · B

GLn = {AmatematemMn :

2) Геометрические векторы.

Операция

M

Ассоциа-

Нейтральный

Коммута-

тивность

элемент

тивность

−→

→−

1

2

,

V

3

a + b

V

, V

→−

−→

a − b

[−→a ,

−→b ]

3) Матрицы.

Операция

M

Ассоциа-

Нейтральный

Коммута-

тивность

элемент

тивность

A + B

Mn, Mmn

A − B

Mn, Mmn

A · B

.

Mn

www

det A ̸= 0}

A · B SLn = {A Mn :

det A = 1}

4) Множества.

Операция

M

Ассоциа-

Нейтральный

Коммута-

тивность

элемент

тивность

122		Тема 6.		Алгебраические операции. Группы
A B	P (U) = {A : A U}
A \ B
A ∩ B
A B							ru
5) Отображения.						.
Операция		M		Ассоциа-	Нейтральный			Коммута-
				тивность	элемент					тивность
f ◦ g	M(A) = {f : A → A}
f ◦ g	S(A) = {f : A → A,
		f биективно}
6.2. Показать единственность нейтрального элемента в группе.
		matematem

6.3. Показать, что каждый элемент группы имеет лишь один обратный.

6.4. Отображение f : R2 → R2 назовем движением, если оно биективно и сохраняет расстояние между точками на плоскости. Привести примеры движений и показать, что множество S0(R2) всех движений образует подгруппу в группе S(R2) всех биективных отображений R2 → R2.

6.5. Движение f : R2 → R2 назовем самосовмещением фигуры F R2, если f(F ) = F .

1) Привести примеры самосовмещений равнобедренного треугольника,
.
правильного треугольника, квадрата.
2) Показать, что для любой фигуры F множество всех самосовмещений
образует подгруппу в группе движений.
6.6. Пусть G — группа, a G. Введем множество
Ha = {am : m Z = {0, ±1, ±2, . . .}},
полагая
a0 = e, am = a · a · . . . · a , a−m			= a−1		· a−1 · . . . · a−1 , m N.
|		{z }	|			{z		}
m сомножителей			m сомножителей
Показать,wwwчто Ha является коммутативной подгруппой группы G (указа-

ние: получить равенства aman = anam = am+n, (am)−1 = a−m, m, n Z).

6.7. Теоретические упражнения к теме 6

123

Такую подгруппу называют циклической, порожденной элементом a G.

1)am ≠ e, m Nm, 2) nm N : am =.e.ruG

Впервом случае показать, что a ≠ a (m ≠ n), т.е. подгруппа Ha — бесконечная. Во втором случае обозначим m0 = min{m N : am = e}.

Показать, что Ha = {e, a, . . . , am0−1}, причем все указанные элементы различны.6.7. Пусть Ha является циклической подгруппой группыРассмотреть два возможных случая: (см. упр. 6.6).

6.8.Пусть H1, H2 — подгруппы группы G. Показать, что H = H1 ∩ H2 также является подгруппой группы G.

6.9.Пусть f : G → S — гомоморфизм групп, Kerf = {g G : f(g) = eS}

— ядро гомоморфизма.

1) Показать, что Kerf является подгруппой группы G.

2) Показать, что x−1gx Kerf для любых x G, g Kerf.

3) Показать, что отображение f инъективно тогда и только тогда, когда

Kerf = {eG}.

6.10.Пусть f : G → S — гомоморфизм групп. Показать, что образ f(G) отображения f является подгруппой группы S.

6.11.Пусть G — группа. Показать, что отображение f : G → G, f(g) = g−1 является изоморфизмом тогда и только тогда, когда группа G абелева.

6.12.Пусть G — группа, a G. Показать, что отображение f : G → G, f(g) = aga−1 является гомоморфизмом.

6.13.Показать, что.отображение f : Sn → G симметрической группы на группу G = {−1, 1} (с обычной операцией умножения), определенное

формулой matematem

www	, α2, . . . , αn) Sn,
f(α) = sign α, α = (α1

является гомоморфизмом. Найти его ядро.

124

Тема 7. Кольца и поля

	.	ru
7.1. Понятие кольца. Примеры колец
matematem
§ 1. Понятие кольца

Определение 1. Кольцом K называется непустое множество, на котором заданы две алгебраические операции: сложение (обозначается знаком +) и умножение (обозначается знаком ·), удовлетворяющие следующим аксиомам.

K1◦ — аксиомы сложения:

— ассоциативность:

a + (b + c) = (a + b) + c, a, b, c K;	(1)
— коммутативность:
a + b = b + a, a, b K;	(2)
— существование нуля:
θ K, a + θ = θ + a = a, a K;	(3)

— для любого a K существует противоположный элемент (−a) K:

a + (−a) = (−a) + a = θ.		(4)
K2◦ — ассоциативность.	умножения
a(bc) = (ab)c, a, b, c K;		(5)
K3◦ — закон дистрибутивности
a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca a, b, c K;		(6)

Иными wwwсловами: кольцо K является абелевой группой относительно сложения (аксиомы K1◦); умножение ассоциативно (аксиома K2◦); сложение и умножение связаны формулами дистрибутивности (аксиомы K3◦).

7.1. Понятие кольца. Примеры колец		125
Определение 2. 1) Кольцо K называется коммутативным, если
умножение в нем коммутативно:	ru
e K : ae = ea = a, a K.		(8)
ab = ba, a, b K.		(7)
2) Кольцо K называется кольцом с единицей, если в нем существует
единичный (нейтральный) элемент для умножения
matematem	кольца часто обо-
Замечание 1. Единичный элемент и нулевой элемент.

значают как числа 1 и 0 (соответственно).

Приведем некоторые следствия из аксиом кольца.

1◦. Нулевой элемент кольца единственный.

2◦. Для каждого элемента a K противоположный элемент (−a) K

— единственный.

3◦. Уравнение x + a = b имеет единственное решение

	x = b + (−a) = (−a) + b.	(9)
Его называют разностью элементов b и a и обозначают
	опр.	(10)
	x = b − a = b + (−a).
4◦. Единичный элемент кольца с единицей единственный.
Свойства 1◦—4◦ обоснованы в п. 6.2.
5◦. Умножение дистрибутивно относительно вычитания
.	a(b − c) = ab − ac,	(11)
(a − b)c = ac − bc a, b, c K;		(12)
awww= (a − b) + b ac = (a − b)c + bc (a − b)c = ac − bc.
Доказательство. По свойству 3◦

b = (b − c) + c,
тогда по аксиоме K3◦
ab = a(b − c) + ac	3◦
	a(b − c) = ab − ac.

Аналогично,

126	Тема 7. Кольца и поля
6◦.	a K.		(13)
a · 0 = 0 · a = 0,
0 · c = bc − bc = 0, c K.			ru
Действительно, положим c = b в (11)
a · 0 = ab − ab = 0, a K.		.
Аналогично, положим a = b в (12)

9◦. Элемент a в кольцеmatematemK с единицей называется обратимым, если су-
7◦.	Для любых элементов a, b K
		(−a)b = a(−b) = −ab.					(14)
Действительно
	(−a)b + ab	K3◦	(13)			(−a)b = −ab,
		= ((−a) + a)b = 0	· b = 0
	a(−b) + ab	K3◦	(13)			a(−b) = −ab.
		= a((−b) + b) = a	· 0 = 0
Следствие 1.		(−a)(−b) = ab,	a,	b K.			(15)
Следствие 2. В кольце с единицей
		(−1)a = a(−1) = −a,		a K.			(16)
8◦.	В кольце с единицей, содержащем не менее двух элементов,						1 = 0
							̸ .

Действительно, если 1 = 0, то a K, a ≠ 1, a ≠ 0 (т.к. в K не менее двух элементов). Но тогда 1 · a = 0 · a a = 0, что неверно.

2)МножествоwwwG всех обратимых элементов кольца K образует группу по отношению к умножению.

3)Нулевой элемент кольца необратим..

Упражнение 1. Доказать это утверждение (см. упражнения 7.1—7.2).

7.1.	Понятие кольца. Примеры колец	127
§ 2.	Примеры колец (см. п. 6.1)

1) Числа.

Множества Z, Q, R целых, рациональных или вещественных чисел с операциями сложения и умножения чисел образуют кольца, причем коммутативные и с единицей (единицей является число 1).

2) Векторы.

Множество V геометрических векторов с операциями сложения и век-
Роль нуля играет пустоеmatematemмножество , роль противоположного элемента
торного умножения не образует кольца (в смысле определенияru	1), т.к.
векторное умножение не ассоциативно (см. п. 6.1). .

3) Матрицы.

Множество Mn всех квадратных матриц порядка n образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц:

A, B Mn A + B Mn; A · B Mn.

Это кольцо с единицей I Mn (единичная матрица), роль нуля играет нулевая матрица O Mn. Кольцо Mn некоммутативно. Множество GLn всех невырожденных матриц порядка n кольца не образует, т.к. сложение матриц не является на нем алгебраической операцией.

4) Множества.

Множество P(V ) всех подмножеств непустого множества V образует кольцо относительно операций

опр.	опр.
A + B = A B, A · B = A ∩ B

симметрической разности и пересечения (произведения) множеств

A, B P(V ) . A + B = A B P(V ), A · B = A ∩ B P(V ).

для A играет само A :

A A = .

Это кольцо коммутативное и с единицей V :

A · B = B · A, A, B P(V ),

A · V = V · A = A, A P(V ).

В нем нет обратимых элементов, отличных от V .
Упражнениеwww2. Показать, что множество P(V ) с операциями сложения
опр.	опр.
A + B = A B и умножения A · B	= A ∩ B множеств не образует

128 Тема 7. Кольца и поля

кольца. (Действительно, роль нуля при сложении множеств играет : A = A = A, но у A P(V ), A ≠ нет противоположного (−A), такого, что (−A) A = ) (см. упражнение 7.3).

Упражнение 3. Проверить выполнение аксиом кольца в примерах 1—5 (см. упражнение 7.2).

5) Функции.		: [a, b] → R1
5a) Множество F [a,	b] всех функций f			образует кольцо
относительно операций сложения и умножения функций
	опр.			ru
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), x [a, b],
	опр.		.
(f1 · f2)(x) = f1(x) · f2		(x), x [a, b].
Это коммутативное	кольцо с единицей. Роль нуля			играет функция
θ(x) ≡ 0, x [a, b]; роль единицы функция e(x) ≡ 1, x [a,					b].
5b) Множество C[a,	b] всех непрерывных функций из F [a,				b] образует
коммутативное кольцо с единицей.
Пример.	matematem

§ 3. Делители нуля в кольце

Если a = 0 или b = 0, то ab = 0 (см. (13)). Во многих примерах колец (в отличие от обычных чисел) может оказаться, что существуют элементы a, b ≠ 0, но такие, что ab = 0.

Определение 3. Элементы a, b K называются делителями нуля в кольце K, если a ≠ 0, b ≠ 0, но ab = 0.

1) В кольце M2 квадратных.						матриц 2-го порядка делителями нуля яв-
ляются, например, матрицы (см. пример 3 п. 5.1)
A =	0	1	,	B =	2	0	, поскольку AB = O =		0	0	.
	0	0			0	0			0	0

Отметим,wwwчто в этом примере AB = O, BA ≠ O.

2) В кольце F [a, b] делителями нуля являются функции, носители которых не пересекаются, например, см. рис. 1.

7.2. Понятие поля. Примеры полей

129

y

6

y

6

ru

f1(x)

@@ f2(x)

q

1q

-

@@

1q

-

x Рис. 1

0

1/2

x

0

1/2

ненулевые элементы обратимыmatematem(см. вывод из леммы 2 п. 7.1).

Здесь f1 ̸≡0, f2 ̸≡0

— ненулевые элементы кольца,.но (f1

· f2)(x) ≡ 0,

x [0, 1], т.е. f1 · f2 = θ.

Лемма 2. Делители нуля не имеют обратных элементов.

Упражнение 4. Доказать это утверждение (см. упражнение 7.2).

Вывод. Обратимые элементы кольца не являются делителями нуля.

7.2. Понятие поля. Примеры полей

Определение 1. Полем называется коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый элемент, отличный от нуля, обратим.

Замечание 1. Согласно лемме 1 п. 7.1 нулевой элемент не может быть обратимым. Все остальные элементы поля P имеют обратные, причем для любого a P, a ≠ 0 обратный элемент единственный. Множество элементов G = P \ {0} образует абелеву группу относительно операции умножения.

Замечание 2. Поле не содержит делителей нуля, поскольку все его

1)Числовыеwwwкольца Q, R являются полями; кольцо Z поля не образует, т.к. в нем есть необратимые элементы m Z, для которых m−1 = m1 ̸ Z.

2)Кольцо Mn при n ≥ 2 не является полем, поскольку в нем есть необратимые элементы: вырожденные матрицы A Mn.

3)Кольца F [a, b] и C[a, b] не являются полями, поскольку в них есть делители нуля (см. замечание 2).

4)Приведем пример числового поля, отличного от Q и R. Обозначим

√ .

P = {r = p + q 2, p, q Q} с операциями сложения и умножения чисел.

130

Тема 7. Кольца и поля

√

√

Тогда, если r1 = p1 + q1

2

, r2 = p2 + q2

2

; p1, p2, q1,

q2 Q, то

√

√

r1 + r2 = (p1 + p2) + (q1 + q2) 2 P,

1

1

p

√

q ru√

r1 · r2 = (p1p2 √+

2q1q2) + (p1q2 + p2√q1

)

2 P,

1 = 1 + 0 · 2 P,

0 = 0 + 0 · 2 P.

Ясно, что P есть коммутативное кольцо с единицей. При этом

matematem̸

a c

r = p + q 2

r−

=

√

=

−

.

2 P,

p + q

2

−

−

√

если учесть, что для p, q Q заведомо p ≠ q 2, т.е. p2 − 2q2 R \ {0}.

Приведем некоторые свойства поля, которыми оно обладает в дополнение к свойствам коммутативного кольца с единицей.

1◦. В поле P определена операция деления на любые, отличные от нуля, элементы поля. Пусть a, b P, b ≠ 0. Тогда существует, причем единственный элемент x P , такой что

b · x = x · b = a.	(1)
Этот элемент равен	(2)
x = b−1 · a = a · b−1.

Данное свойство было установлено в п. 6.2 при рассмотрении свойств групповой операции (см. там пункт 4◦). Обозначим элемент x в (2) в виде дроби

x =

a

b

и назовем его частным от деления a на b.

2◦. В поле P действуют известные из арифметики правила обращения с

www

b,

d = 0. Тогда

дробями. Пусть a, b, c, d P,

1)

b

=

d

ad =.bc ;

2)

a

±

c

= ad ± bc ;

b

d

bd

3)

a

c

=

a · c

;

b

· d

b

·

d

4)

−a

=

a

= −

a

.

b

b

b

−

a

c

Докажем, например, 1). Имеем

= ab−1,

= cd−1

, так что

b

d

a

=

c

ab−1 = cd−1 ab−1·bd = cd−1·bd ad = cd−1db = cb = bc.

b

d