RUDN-I

1.2. Элементарные преобразования матриц

11

коэффициентом λ).

При λ = −1 это соответствует вычитанию одной строки из другой.

Аналогичные преобразования, затрагивающие столбцы матрицы, назовем элементарными преобразованиями 2-го рода.

Две матрицы A и B одного размера назовем эквивалентными и обозначим A ≈ B, если они получены одна из другой с помощью конечного

числа элементарных преобразований.	ru

Упражнение. Показать, что введенное понятие эквивалентности мат-
риц обладает следующими свойствами:					.
1)	рефлексивность: A ≈ A
2)	симметричность: A ≈ B B ≈ A
3)	транзитивность: A ≈ B, B ≈ C A ≈ C
(см. упражнение 1.6).
Пример 1.		1 1 −2 6		1 1 −2 6 .
		( 2 2 −4 12 ) ≈ (		0 0 0 0	)
		.	matematem.. .. ... ..

Определение 1. Ступенчатыми мы называем матрицы размера (m × n) следующего вида:

				λ		. . .
				01	λ2 . . .
														(1)
		A =		. .				.		,	m = n,
			.. .. ...					..
				0	0 . . .			λn
				λ1		. . .
				0	λ2 . . .						..
www .. ..				...	..		|	..	...
				. .		—		.
				—	—			—
				0	0	0		0
				0	0 . . .			λn			m > n,			(2)
		A =							,
			. . .					.
								..
			.. .. ..
				0	0 . . .			0
		λ	λ2	. . .	|				. . .
		01		. . .					. . .
							|							(3)
A =		. .			.		|						, m < n,
	0 0 . . . λm								. . .

12		Тема 1.	Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
		λ1 . . .	| . . .								ru
	.. .. ..		..		.. ..		..
		0 λ2 . . .	| . . .
		. .	.		.		.
	.. .. ...		..	| .. ...			..
		0 0 . . .	λr			. . .
A =				|					,	r < m, r < n, (4)
				|
	— — —		— — — —				—
			0	|	0 . . .		0	.
	0 0 . . .
		matematem. . .
	. . .		.		. .		.
		0 0 . . .	0		0 . . .		0

где числа λ1, λ2, . . . все ненулевые, элементы, обозначенные — любые.

Пример 2.

		1	1						1		0		2	4		1
A =		0	2		, B =				0	−3		7		0 ||		2			,
		0	0						0		0	0		4	|		5
															|	−
		— —							0		0	1/2		1
																1/3
							3	2		||		3
							0	1			−1
							0	0				0
							0	0		|		0
				C =
										|

Частный случай ступенчатой матрицы — простейшая матрица.

Определение 2. Простейшими мы будем называть матрицы следую-

щего вида:
www				1	0	. . .		0
				0	1	. . .		0				(5)
		.. ..				..		..
	A =									,	m = n,
	.		.. ..			...		..
				0	0	. . .		1
				1	0	. . .		0
				0	1	. . .		0
				. .		...		.
		.. ..						..
		— —				—		—
				0	0	0		0
				0	0	. . .		1			m > n,	(6)
	A =								,
		. .					.	.
				0	0	. . .		0

1.2. Элементарные преобразования матриц														13
			1 0 . . .	0				. . .
			0 1 . . .	0	| . . .								ru
		. .		.	|		.			.				(7)
A =			. .		|						,	m < n,
				. .					.
		.. .. ...		..	| .. ...				..
		0 0 . . .		1				. . .
		1	0 . . .	0			. . .
		0	1 . . .	0 ||			. . .
			matematema21 a22 . . . a2n
	.. .. ...			..	| .. ...					..	.
		0	0 . . .	1				. . .
A =					|							,		(8)
					|
	— — —			— — — —						—
		0	0 . . .	0	|		0 . . .			0
	.. .. .. ..				|		.. ..			..
							. .			.
	. . . .
		0	0 . . .	0			0 . . .			0

т.е. в левом верхнем углу стоит единичная матрица.

Ступенчатые (простейшие) матрицы играют важную роль в теории систем линейных уравнений.

Теорема 1. Всякая ненулевая матрица эквивалентна ступенчатой.

Замечание 1. При доказательстве теоремы 1 будет использован метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований (прямой ход метода Гаусса).

Доказательство. Переставляя, если нужно, строки (или столбцы), можем считать, что в матрице A = aij элемент a11 ≠ 0. Обозначим λ1 = a11, тогда

	λ1	a12 . . .		a1n	,	λ1 ̸= 0,
wwwA ≈ ...		||	A1
A =.				...		, λ1 ̸= 0.
	... ... ...
	am1 am2 . . .			amn

Шаг 1. Из i-ой строки, i = 2, . . . , m, вычтем 1-ую строку с таким коэффициентом, чтобы под λ1 стояли нули (коэффициент равен ai1 = λ1). Тогда

	λ	a12		. . .			a1n
	01

0|

14			Тема 1.	Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
где
		(1)	(1)
A1	=	a22...	...... a2...n		— матрица размера (m	−	1)	×	(n	−	1).
			. . . amn(1)
		am(1)2

Если A1 = O, то уже получили ступенчатую матрицу вида (4) (r = 1).

A2	= a33...	.......	matematema3...n
Шаг 2. Если A1		̸= O, то к ней применим тот же прием: пустьru
				λ...2			(1)	, λ2			.
		A1 =				....	.. a2...n				= 0,
				am(1)2		. . . amn(1)					̸
т.е.
				λ1	a12		. . . a1n
		A ≈	... ...				... ...			, λ2 ̸= 0,
					(1)		(1)
				0 am2			. . . amn

Из i-ой строки, i = 3, . . . , m, вычтем 2-ую строку с нужным коэффициентом, так чтобы под λ2 стояли нули:

			λ1	a12 . . .			a1n
			0	λ2 . . .			a2(1)n
	A ≈		0.	0.	|						,
							A2
			. .
			. .		|
			0	0
где					|
(2)	(2)		— матрица размера (m − 2) × (n − 2).
am(2)3	. . . amn(2)

Если A2www= O, то уже получили ступенчатую матрицу вида (4) с r = 2. Если A2 ≠ O, процедуру можно продолжить. На каждом шаге размеры матрицы в правом нижнем углу уменьшаются на единицу. В итоге возможны 4 случая:

1) Процедура продолжается, пока не исчерпаем одновременно все строки и столбцы. Это возможно при n = m. Тогда придем к ступенчатой матрице вида (1).

1.2. Элементарные преобразования матриц

15

2) Процедура продолжится, пока не исчерпаем все столбцы. Это возможно при m > n. Тогда придем к ступенчатой матрице вида (2).

3) Процедура продолжится, пока не исчерпаем все строки. Это возможно при m < n. Тогда придем к ступенчатой матрице вида (3).

			ru
Замечание 2. Если m < n, то в результате применения метода Гаус-
		.
са матрица A приводится к ступенчатой матрице вида (3) или (4)
(см. доказательство теоремы 1).
	0 matematem0 . . . λm 1 0 . . .

4) На некотором r-ом шаге (при r < m, r < n) справа внизу получим нулевую матрицу Ar = O. Значит, A эквивалента ступенчатой матрице вида (4).

Замечание 3. При доказательстве теоремы 2 будет использован обратный ход метода Гаусса.

Теорема 2. Всякая ступенчатая матрица эквивалентна простейшей.

Доказательство. Для определенности, пусть A — ступенчатая матрица вида (3)

		λ	λ2	.. .. ..				| .. .. ..
		01
A =	... ...			...	...		...	|| ... ...			...		, λ1, λ2, . . . , λm ̸= 0.
								|
		0	0	. . . λm		1				. . .
								|
					−
	0		0	. . .	0		λm			. . .

Из строк с номерами (m − 1), (m − 2), . . . , 2, 1 вычтем m-ую строку с такими коэффициентами, чтобы над λm стояли нули. Тогда

		λ	λ2	. . .		0	. . .
		01		. . .		0	| . . .
A ≈	... ...			...	...	...	|| ... ...	...	.
	.				−		|
www		0 0		. . .	0	λm	| . . .
		0	0	. . .	λm 1	0	. . .
Затем из строк с номерами				(m−2), . . . , 2, 1			вычтем	(m−1)-ую с такими

коэффициентами, чтобы над λm−1 стояли нули (при этом m-ый столбец уже не изменится) и т.д. В результате

		λ	0 . . .	0	0	|		. . .
		01	λ2 . . .	0	0			. . .
A ≈	... ... ...			...	...	|| ...		...	...	.
				−		|
						|
	0 0 . . .			0	λm			. . .

16 Тема 1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Наконец, умножим 1-ую строку на 1/λ1, 2-ую строку на 1/λ2, ..., m-ую

строку на 1/λm. Тогда											ru
		1	0 . . .	0	0			. . .
		0	1 . . .	0	0	| . . .
A ≈	... ... ... ... ...					|| ... ...			...	.
						|
						|
		0	0 . . .	1	0			. . .		.
		0	0 . . .	0	1			. . .

— простейшая матрица вида (7). Для остальных видов ступенчатых матриц доказательство аналогично.

Вывод из теорем 1 и 2. Всякая ненулевая прямоугольная матрица A эквивалентна некоторой простейшей матрице.

Замечание 4. Если m < n, то методом Гаусса матрица A приводится к простейшей матрице вида (7) или (8).

Действительно, сначала (согласно замечанию 2) мы приводим матрицу A к ступенчатому виду (3) или (4), а затем обратный ход метода Гаусса дает простейшую матрицу вида (7) или (8).

1.3. Системы линейных уравнений. Основные по-

нятия

Напомним, что системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

am1x1 matematem+ am2x2 + . . . + amnxn = bm

a11x1

+ a12x2

+ . . . + a1nxn

= b1

a21x1

+ a22x2

+ . . . + a2nxn

= b2

..

..

..

.

..

..

(1)

.

.

.

.

Здесь

.

a11

a12 . . . a1n

b1

A =

a21

a22 . . .

a2n

матрица

B =

b2

столбец

... ... ...

...

—

системы,

...

—

правых

частей,

am1 am2 . . .

amn

bm

a11	a12	. . . a1n	|	b1
a21	a22	. . . a2n		b2			расширенная
(A |wwwB) = ...	...	... ...	||	...		—	матрица системы,
am1	am2	. . . amn	|	bm

1.3. Системы линейных уравнений. Основные понятия					17
x1, x2, . . . , xn — неизвестные числа.
		0
		0		ru
Если B =		0
		...
			, то система (1) называется однородной.

Определение 1. Упорядоченный набор чисел (α1, .α2, . . . , αn) называется решением системы (1), если при подстановке xk = αk, k = 1, 2, . . . , n, уравнения системы (1) превращаются в равенства.

Определение 2. Система (1) называется совместной (разрешимой), если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если у нее нет решений.

Замечание 1. Однородная система (1) всегда совместна. Легко указать одно из ее решений: x1 = x2 = . . . = xn = 0.

Определение 3. Совместная система (1) называется определенной, если ее решение единственно и неопределенной, если она имеет не только одно решение.

Определение 4. Две системы уравнений называют эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования системы и ее расширенной матрицы.

Опишем элементарные преобразования системы (1) и соответствующие
элементарные преобразования ее расширенной матрицы.
		matematem
	Система (1)		(A | B)
			Расширенная матрица системы
	.
1◦	Перестановка	уравнений	Перестановка 2-х строк матрицы
			(A | B)
2◦	Перенумерация неизвестных		Перестановка столбцов матрицы)
			(A | B) (кроме последнего)
3◦	Умножение обеих частей урав-		Умножение строки матрицы
	нения на число на λ ̸= 0		(A | B) на число λ ̸= 0
4◦	Добавление к одному уравне-		Добавление к одной строке
	ниюwwwдругого, умноженного на		матрицы (A | B) другой строки,
	число λ		умноженной на число λ

18		Тема 1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса
		Результат:			Результат:
	преобразованная система (1)		1) преобразованная матрица
	эквивалентна исходной (1)e.		(A			ru
				| B) эквивалентна исходной
			e	e	(A |	B);
			2) она является расширенной
			матрицей преобразованной сис-
Пояснения:		matematemb2				e .
					темы.
						(1)

1) Всякое решение системы (1) превращает ее уравнения в числовые ра-

венства, которые остаются верными после элементарных преобразова-

e

ний. Значит, решение системы (1) является и решением системы (1).

e

2) Обратно: система (1) получается из системы (1) с помощью обратных

e

элементарных преобразований. Значит, каждое решение системы (1) будет и решением системы (1).

e

Итак, (1) (1) — системы эквивалентны.

Вывод. Решение системы (1) методом Гаусса можно провести следующим образом.

1◦. Выписать расширенную матрицу системы (1) (A | B).

2◦. Методом Гаусса провести элементарные преобразования матрицы (A | B) так, чтобы привести основную матрицу A к простейшему виду (при этом последний столбец в матрице (A | B) остается на месте).

В результате A

A

матрице вида (5), (6), (7) или (8)

|

≈

e

— простейшей

b1

≈ .

|

..

e

e

e

e

bm

п. 1.2; (A

B)

(A

B), где B =

— элементы последнего

e.

столбца (после преобразований). В

зависимости от простейшего вида A

e

e

матрицы A возможны следующие случаи.

Случай 1

(может возникнуть при m = n).

e

1

0

. . .

0

0

0

. . .

1

основная матрица

0

1

. . .

0

...

...

преобразованной системы;

wwwA = ... ...

—

1.3. Системы линейных уравнений. Основные понятия

19

1

0 . . .

0

|

b1

e

(A B) =

. .

.

|

e.

—

e e

0 0 . . . 1

|

bn

расширенная матрица

0 1 . . . 0

b2

|

0 ·

x1

+ 1

+ . . . + 0

· xn

=rub2

· x2

.. .. ... ..

|

..

преобразованной системы;

e

1 x1 + 0 x2 + . . . + 0 xn = b1

matematem. . . 0

e

0

0

e.

(1)

·.

·.

.

·.

.

.

..

. .

.

.

.

.

.

e

x1

+ 0

= e1

2 = e2

0 ·

· x2 + . . . + 1 · xn = bn,

т.е.

x

1

, x

, . .

. ,

xn

= en — единственное решение.

b

b

b

Замечание 2. В этом случае неоднородная система (1) имеет решение (причем единственное) при любом столбце B правых частей, а соответствующая однородная система имеет только нулевое решение.

Случай 2			(может возникнуть при m > n).
						1	0	. . .		0
						0	1	. . .		0
				... ...				... ...					—
		A =
		e				0	0	0		0						основная матрица
						0	0	. . .		1
						—	—	—		—					преобразованной системы;
				. .					. .
							.
				.. ..				.. ..
		www. .						... .					.
					1		0	. . .		0	|		b1
					0 1			. . .		0			b2
						. .		. . .		.	|		e.
				.. ..				... ..			|		e..
											|		e			—
(A		B) =			0		0			1	|						расширенная матрица
	|				—		—	—		—	|		—				преобразованной системы;
e e				. .						.		e .
					0 0			. . .		0	|		bn+1
				. .						.			.
											|		e
					0		0	. . .		0
													bm

20

Тема 1.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

1

x1 + 0 x2 + . . . + 0 xn = b1

0

·

x1 + 1

·

x2 + . . . + 0

·

xn = b2

e

·.

·.

·.

e.

.

..

.

.

.

.

·

ru

·

·

.

.

.

.

(1)

·

·

·

x1

+ 0

x2

+ . . . + 1

xn

= bn

0

e

x1

+ 0

x2 + . . . + 0

xn

= bn+1

0

·.

..

...

..

..

..

	matematem
	0 x1	+ 0 x2 + . . . + 0 xn	= bm.			n) уравне-
что bn+1		= . . . = bm = 0, то последние.		(m	−
а) Если окажется,				e

ний становятся тождествами: 0 = 0; их можно отбросить и получим ту

же систему, что в случаеe

1. Она имеетe

единственное решение.

б) Если хотя бы одно из чисел bn+1,

. . . , bm не равно 0, то соответству-

ющее уравнение примет вид

e

e

0 · x1 + 0 · x2 + . . . + 0 · xn = bk ̸= 0

— т.е. решений нет. Система

(1)

(1) несовместна.

e

Замечание 3. В этом случае системаe(1) совместна не при любом столб-

це B правых частей, хотя соответствующая однородная система имеет

только нулевое решение (при B = O получим B = O).

Упражнение.

В случае 2 привести пример

столбца правых частей B,

e

при котором система (1) заведомо несовместна.

Случай 3

(m < n).

1

0 . . . 0

a1(m+1) . . .

a1n

основная матрица

0

1 . . . 0

a2(m+1) . . .

a2n

e

e

A =

.. .. ..

..

e ..

..

e..

—

преобразованной

e

. .

. .

.

.

.

системы;

0

0 . . . 1

am(m+1)

. . .

amn

. www.

.

.

.

b1

.

.

.

1

0 ... .

0 e a1(m+1) . . . e a1n

|

—

расширенная

(A B) = . .

.

.

.

e.

матрица

0

1 . . .

0

a2(m+1) . . .

a2n

|

b2

|

..

e ..

...

e..

..

преобразован-

.. .. ...

|

e

e

e

ной системы.

|

e

e

0

0 . . .

e

e

bm

1 am(m+1) . . .

amn

Система (1) эквивалентна системе

e

1 x1 + 0

x2 + . . . + 0 xm + a1(m+1)

xm+1 + . . . + a1n

·

xn

=

b1

0 ·

x1 + 1

·

x2 + . . . + 0

· xm + a2(m+1)

· xm+1 + . . . + a2n

xn

=

b2

e

e

e

·

.

.·

· .

.·

·

.

..

e

..

e.

.

.

.

.

e .

.

e

e

e

0 ·

x1 + 0 ·

· xn

=

x2 + . . . + 1 · xm + am(m+1) · xm+1 + . . . + amn

bm.