RUDN-I

8.1. Алгебраическая форма комплексного числа

141

Цель создания теории комплексных чисел: расширение поля вещественных чисел R до более широкого поля комплексных чисел C, построенного

1)был выполнен принцип соответствия: вещественное числоru можно понимать как частный случай комплексного числа; причем введенные опе-

рации с комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в применении к вещественным числам дают.те же результаты, что уже известны для вещественных чисел;

2)любые алгебраические уравнения были разрешимы в поле комплекс- ных чисел.таким образом, чтобы

8.1.Понятие комплексного числа. Комплексные числа в алгебраической форме

§1. Понятие комплексного числа

Определение 1. Комплексными числами мы называем упорядоченные пары вещественных чисел: z = (a, b), где a, b R, для которых введены следующие понятия равенства, суммы, произведения и отождествления с вещественными числами:

1◦.	(a1,	b1) = (a2, b2) a1 = a2, b1 = b2;		(1)
2◦.	(a1,	b1) + (a2,	b2) = (a1 + a2, b1 + b2);	(2)
3◦.	(a1,	b1) · (a2,	b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2);	(3)
4◦.	пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a.

Замечание 1. Понятия равенства, суммы, произведения (1)—(3) в при-

менении к вещественным числам a = (a, 0) дают те же результаты, что
известны для вещественныхmatematemчисел (выполнен принцип соответствия).
Действительно,		.
1)		(1)	;
	(a1, 0) = (a2, 0) a1 = a2
2)	(a1, 0) + (a2,	(2)	0), т.е. имеем верное равенство при отож-
		0) = (a1 + a2,
дествлении 4◦: a1 + a2 = a1 + a2;
3)	(a1, 0) · (a2,	(3)	0 · 0, a1 · 0 + 0 · a2) = (a1a2, 0), т.е. имеем
		0) = (a1 · a2 −

верное равенствоwwwпри отождествлении 4◦: a1a2 = a1a2.

Теорема 1. Множество C всех комплексных чисел образует поле относительно введенных операций сложения и умножения.

142 Тема 8. Поле комплексных чисел

Доказательство. 1) Самостоятельно проверить, что C есть абелева группа относительно сложения, что умножение коммутативно и ассоциативно (см. упражнение 8.1). Роль нуля при сложении играет число (0, 0) (отождествляемое с вещественным нулем, см. аксиому 4◦). Роль единицы

играет число (1,

0) (отождествляемое с вещественной единицей), т.к.

(a,

b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0,

a · 0 + b · 1) = (a,

b),

a, b C.

= (a1

, b1)

a2

matematem, −b2 = a1a2 + b1b2

, −a1b2 + b1a2 .

(5)

2) Для z = (a, b)

C противоположное, очевидно, равноru−z = (−a,

−b).

Покажем, что при z ̸= (0, 0) обратное к нему имеет вид.

z−1 =

a

,

−b

.

(4)

(a2 + b2

a2 + b2 )

Действительно,

(a, b)

a

,

−b

=

a2 + b2

,

−ab + ba

= (1, 0).

· (a2 + b2

a2 + b2 ) (a2 + b2

a2 + b2

)

Следствие 1. Корректно определено вычитание комплексных чисел

опр.

(a1, b1) − (a2, b2) = (a1, b1) + (−a2, −b2) = (a1 − a2, b1 − b2).

Следствие 2. Для любой пары z1 = (a1, b1), z2 = (a2, b2) ≠ (0, 0) определено частное

z1	опр.	· z2−1 =
	= z1
z2

www
· (	a22.+ b22	a22 + b22	) (	a22 + b22		a22 + b22	)

§ 2. Комплексные числа в алгебраической форме

Обозначим через i комплексное число вида (0, 1). Его называют мнимой единицей:

i = (0, 1).

Имеем	· 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1. Итак,
1) i2 = i · i = (0, 1)(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0
i2 = −1.	(6)

8.2. Алгебраическая форма комплексного числа	143
2) z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0,	1) = a + b · i. Итак,
z = (a, b) = a + b · i.	(7)

Число a называют вещественной частью комплексного числа z и обозначают a = Re z. Число b называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают b = Im z. Числа вида b · i (т.е. с a = 0) называют чисто

мнимыми. Формула (7) дает запись комплексного числа в алгебраической
форме. В этой записи имеем, опираясь на правила (1), (2),ru		(3)
	.		(8)
a1 + b1i = a2 + b2i a1 = a2, b1 = b2;
(2)	+ b2)i;		(9)
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1
(3)	+ a2b1)i.		(10)
(a1 + b1i)(a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2

Замечание 4. Формулаmatematem(11) позволяет производить деление комплекс-

Замечание 2. Тот же результат в (10) получим, умножая двучлен на двучлен по правилам арифметики и учитывая, что i2 = −1:

(a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + (b1a2 + a1b2)i + b1b2i2 =

| {z }

−b1b2

= (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.

Замечание 3. Пусть z = a + bi; число z = a + (−b)i = a − bi называют сопряженным к z. Согласно (10)

z · z = (a + bi)(a − bi) = (a2 + b2) + 0 · i = a2 + b2.

Итак,

(a + bi)(a − bi) = a2 + b2.

(11)

ных чисел по следующей.

схеме (домножая числитель и знаменатель дро-

би на число, сопряженное знаменателю):

a1 + b1i

(a1 + b1i)(a2 − b2i)

(10),

(11)

=

=

a2 + b2i (a2 + b2i)(a2 − b2i)

=

(a1a2 + b1b2) + (b1a2 − a1b2)i

=

a1a2 + b1b2

+

b1a2 − a1b2

i.

a22 + b22

a22 + b22

www

a22 + b22

Применение этой схемы дает нужный результат и не требует запоминания громоздкой формулы деления (5).

144	Тема 8. Поле комплексных чисел

8.2.Комплексная плоскость

Комплексные числа z = (a, b) = a + bi естественно изображать в виде

b

*qz = (a, b) .

ru

точек на плоскости, имеющих декартовы координаты

(a, b) см. рис. 1.

Y

6

matematem

-

Рис. 1

O

a

X

Изображение комплексных чисел точкой комплексной плоскости

При этом вещественные числа a = (a, 0) изображаются точками оси абсцисс — ее называют вещественной осью. Чисто мнимые числа bi = (0, b) изображаются точками оси ординат — ее называют мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Таким образом, переход от вещественных чисел к комплексным можно трактовать как выход с вещественной оси в комплексную плоскость.

Точке плоскости (a, b) однозначно сопоставляется ее радиус-вектор {a, b}, который начинается в начале координат (0, 0) и заканчивается в данной точке. Таким образом, комплексное число z = a + bi можно

изображать радиус-вектором на плоскости с координатами {a,							b}. При
этом для z = a + bi число
	.	опр. √					(1)
			a	2	2	,
		r ≡ |z| =			+ b
называемое модулем комплексного числа имеет геометрический смысл
www

расстояния от точки (a, b) до начала координат или, что то же самое, длины радиус-вектора {a, b}.

Замечание 1. Соответствие между комплексными числами z = (a, b) и изображающими их радиус-векторами {a, b} согласовано с операциями сложения комплексных чисел и сложения векторов. Действительно, пусть

z1 = (a1, b1) ↔ {a1, b1}, z2 = (a2, b2) ↔ {a2, b2},

тогда

z1 + z2 = (a1 + a2, b1 + b2) ↔ {a1 + a2, b1 + b2} = {a1, b1} + {a2 + b2},

8.2. Комплексная плоскость

145

т.е. сумме комплексных чисел отвечает сумма изображающих эти числа векторов. Иными словами, комплексные числа складываются по правилу параллелограмма (см. рис. 2).

		Y		6	qz1 + z2			.	ru
					z1
					q@I
					@@
	z1 − z2 q@I@			*qz2
		@				-
		O				X			Рис. 2
Сложение комплексных чисел по правилу параллелограмма
Соответственно,		matematem

z1 − z2 ↔ {a1, b1} − {a2, b2},

т.е. вычитание комплексных чисел соответствует правилу треугольника (см. рис. 2, для разности z1 − z2 радиус-вектор равен вектору, направ-

ленному из точки z2 в точку z1).

Выводы:

1) |z1 −z2| равен расстоянию между точками, изображающими z1 и z2 на комплексной плоскости.

2) Для комплексных чисел выполнены неравенства треугольника

.	а)	|z1 + z2| ≤ |z1	| + |z2|;	(2)
	б)	||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.

Неравенстваwww(2) очевидны геометрически:

а) диагональ параллелограмма, равная |z1 + z2| не больше суммы двух его сторон, равной |z1| + |z2|;

б) длина стороны треугольника, равная |z1 −z2| не меньше разности двух других его сторон, равной ||z1| − |z2||.

Пример.

1) Изобразить на комплексной плоскости числа z, такие что Im z = −1 (см. рис. 3).

146

Тема 8.

Поле комплексных чисел

Y

6

O

X

ru

P

-

HP

@HP

@

HPP

HHPP

@

HHPPPP

Pq

L

@R

Hj

.

−1

Im z = −1

Рис. 3

matematemO X

Значения b = Im z откладываются по оси ординат. Для всех искомых

чисел ординаты одинаковы и равны (−1). Это точки прямой L на рис. 3.

2) Изобразить на комплексной плоскости числа z, такие, что 1 < Re z ≤ 2 (см. рис. 4).

Y		6
								-
O			1				2	X
			1 < Re z ≤ 2						Рис. 4

Значения a = Re z откладываются по оси абсцисс. Для всех искомых чисел 1 < a ≤ 2. Это точки полосы на рис. 4.

3) Изобразить на комплексной плоскости числа z, такие что |z + i| = 1 (см. рис. 5).

			Y	6		= −i.
C радиусаwww1 с центром в точке z0
.		. . .	. . .				-
			@A. . .
. .					A@ . .
	..					A @R.
.. .		−i q				AAU. ..
		. . . . . . . . .
	|z + i| = 1							Рис. 5

Отметим, что |z +i| = |z −(−i)| есть расстояние от точки z до точки (−i) на комплексной плоскости. Поэтому искомое множество — окружность

r1 = r2,

φ1 = φ2 + 2πk, k Z.

8.3. Тригонометрическая и показательная форма

147

8.3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

§ 1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z = a + bi мы изображаем точкой комплексной плоскости с декартовыми координатами (a, b). Но часто бывает удоб-

но использовать вместо декартовых координат полярные: (r, φ), где

комплексногоmatematemчисла z ̸= 0 в тригонометрической форме.

есть запись

r = √a2 + b2 > 0 — полярный радиус;

φ — полярныйruугол, т.е. угол

наклона вектора {a, b} к оси Ox (см. рис. 1). При.r = 0, т.е. z = 0

полярный угол φ не определяется.

Y

6

qz = a + bi

b

r

*

.

φ

Y.

.

-

..

.

O

a

X

Рис. 1

Полярные координаты на комплексной плоскости

Используя выражение декартовых координат через полярные, получим

		a = r cos φ, b = r sin φ	(1)
z = a + bi = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ).
Формула
wwwz1 = z2		z = r(cos φ + i sin φ)	(2)
			(4)
Здесь r = |z| — модуль.	комплексного числа z;		φ = Arg z — аргумент z.

Замечание 1. Изменение φ = Arg z на 2πk, k Z не меняет cos φ, sin φ, т.е. сохраняет комплексное число z (2). Поэтому, если z1, z2 ≠ 0, и

z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2),

(3)

то условие равенства этих чисел имеет вид

148 Тема 8. Поле комплексных чисел

Таким образом, отличные от нуля комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули совпадают, а аргументы совпадают или отличаются на 2πk, k Z.

осуществляется по формулам (1). Обратный переход опирается на формулы, выражающие r и φ через a и b, а именно

Переход от тригонометрической формы (2) к алгебраической: z = a + bi
π	r =π√a2 + b2,	.	rub	(5)

		matematem
φ =	2	(a = 0, b > 0), φ = −	2	(a = 0, b < 0), tg φ =			a	, (a ̸= 0),

т.е. (с точностью до 2πk, k Z) значения угла φ (−π, π] вычисляются по формулам (при a ≠ 0)

	φ = arctg	b	,					если φ — угол I или IV четверти,
		a		b
									(6)
	φ = π + arctg a , если φ — угол II четверти,
	φ = −π + arctg					b	,	если φ — угол III четверти.
						a

§ 2. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Если хотя бы одно из чисел z1, z2 равно 0, то, очевидно, z1z2 = 0. Пусть теперь z1z2 ≠ 0 и z1, z2 заданы в тригонометрической форме (3). Тогда по правилам умножения

=(r1r2)[(cos φ1 cos.φ2 − sin φ1 sin φ2) + i(cos φ1 sin φ1 + sin φ1 cos φ2)] =

=r1r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)]z

(в концеwwwмы использовали известные формулы для косинуса и синуса суммы двух углов). Итак,

r1(cos φ1 + i sin φ1) · r2(cos φ2 + i sin φ2) =

= r1r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)] (7)

Выводы:

1) При умножении ненулевых комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Упражнение. Обосновать вывод 2.

8.3. Тригонометрическая и показательная форма

149

2) При делении ненулевых комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

r1(cos φ1 + i sin φ1)		r1		ru	(8)
r2(cos φ2 + i sin φ2)	=	r2	[cos(φ1	− φ2) + i sin(φ1 − φ2)].

§ 3. Показательная форма комплексного числа

Замечание 2. В частности, для числа z = r(cos φ+sin φ), r ̸= 0 получим
Действительно,			z−1 = r−1[cos(−φ) + sin(−φ)]. .				(9)
z−1 =	1		1(cos 0 + i sin 0)	(8)	1	[cos(−φ) + sin(−φ)].
		=		=
	z		r(cos φ + i sin φ)		r
			matematem

Тригонометрическая форма комплексного числа удобна при выполнении операций умножения и деления. Однако, она выглядит достаточно громоздко. Например, в тригонометрической форме запись чисел 1, −2, ±i имеет вид

1 = 1(cos 0 + i sin 0), −2 = 2(cos π + i sin π),

i = 1 (cos π2 + i sin π2 ), −i = 1 (cos (−π2 ) + i sin (−π2 )) .

Существует более компактная форма записи комплексного числа, сохраняющая информацию о его модуле и аргументе и столь же удобная при умножении и делении комплексных чисел, как тригонометрическая.

Именно, примем следующее соглашение о том, как понимать выражение

eiφ при φ R:	iφ	eiφ	e−iφ
www
Эта формула называется.	e := cos φ + i sin φ.		(10)
	формулой Эйлера. Более глубокая ее приро-

да будет раскрыта в курсе теории функций комплексного переменного. Сейчас мы принимаем ее лишь как удобное обозначение. Заменив в (10) φ R на −φ R, получим

(10)	(11)
e−iφ ≡ ei(−φ) = cos(−φ) + i sin(−φ) = cos φ − i sin φ.

Складывая и вычитая (10) и (11), получим выражения для cos φ и sin φ через экспоненту:

cos φ =	eiφ + e−iφ	, sin φ =	−	.	(12)
2			2i

Замечание 3. При r1

150 Тема 8. Поле комплексных чисел

Эти формулы также называют формулами Эйлера.

Используя (10), запишем число z = r(cos φ + i sin φ), r ≠ 0, в виде

z = reiφ, r = |z|, φ = Arg z.

(13)

Формулу (13) называют записью числа z ≠ 0 в показательной форме.

модули и аргументы (см. выводы 1, 2 и формулы (7), (8)).

. В применении к

Выше были получены условия равенства комплексных чисел (см. (3),
.	matematem	через их
(4)), а также правила их умножения и деления, выраженныеru

показательной форме комплексного числа эти правила дают следующее.

Пусть z1 = r1eiφ1 , z2 = r2eiφ2 , r1,			r2 ̸= 0. Тогда
z1 = z2 r1 = r2, φ1 = φ2 + 2πk, k Z					(14)
— условие равенства комплексных чисел в показательной форме;
z1z2 = (r1r2)ei(φ1+φ2)					(15)
— правило умножения;
	z1	=	r1	ei(φ1−φ2)	(16)
	z2		r2

— правило деления.

= r2 = 1 из (15) получим

eiφ1 eiφ2 = eiφ1+iφ2 ,

т.е. формула Эйлера (10) отвечает основному свойству экспоненты: произведение двух экспонент есть экспонента с суммарным показателем. Это — одно из подтверждений естественности определения (10).

8.4. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа

Простые правила умножения и деления комплексных чисел в показательной форме позволяют легко осуществлять возведение их в целую степень.

Лемма 1. Пусть z = reiφ ≠ 0. Тогда для m Z справедлива формула

Муавра:
www	(1)
zm = rmeimφ.