RUDN-I

9.4. Наибольший общий делитель двух многочленов

171

Пример 1.

Найти НОД многочленов

P = z4 + z3

−

3z2

−

4z

−

1

и

Q =

z

3

+ z

2

− z − 1.

R1 =−z2

−3z −1

ru

Решение. Делим P на

Q:

z4 + z3 − 3z2 −4z −1

z3 + z2 − z − 1

z4 + z3 − z2 − z

z

.

2

matematem

Остаток: R1 = −z

− 3z − 1 ̸= 0.

1 шаг. Делим Q на R1:

z3 +

z2 −

z − 1

−2z2 − 3z − 1

z3 + 3z2/2+ z/2

−z/2 + 1/4

−z2/2− 3z/2− 1

−z2/2− 3z/4−1/4

R2 =−3z/4−3/4

2 шаг. Делим R1 на R2:

−2z2 − 3z −1

−3z/4 − 3/4

−2z2 − 2z

8z/3 + 4/3

−z −1

−z −1

R3 =0

Определениеwww2. 1) Многочлен S называется общим кратным многочленов P и Q, если S делится на P и Q (иначе: P и Q являются делителями S).

Вывод: R1 делится на. R2, т.е. НОД= R2 = −	3z	−	3	. Т.к. НОД находится
	4		4
с точностью до постоянного множителя, то можем считать, что НОД=
z + 1.
Ответ: НОД равен (z + 1).

2) Общее кратное S многочленов P и Q называется наименьшим общим кратным (кратко: НОК), если на S делится любое общее кратное

многочленов P и Q.

P (z) = (z − z0)H(z) + R(z).

172 Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел

Следующее утверждение показывает, как найти НОК двух многочленов, если известен их НОД (и обратно).

.			ru
Лемма 1. Пусть R — НОД многочленов P и Q; S — их НОК. Тогда
S =	P Q	.		(9)
	R
Упражнение 2. Доказать равенство (9) (см. упражнение 9.5).				(1)
matematemP (z) = (z − z0)H1(z).
Пример 2. Найти НОК многочленов P и Q из примера 1.

Решение. Согласно примеру 1 НОД для P, Q равен R = z + 1. Разделив P и Q на R, находим H и G, такие что справедливы равенства (9): H = z3 − 3z − 1; G = z2 − 1. Тогда НОК

S = QH = (z3 + z2 −z −1)(z3 −3z −1) = z6 + z5 −4z4 −5z3 + 2z2 + 4z + 1.

9.5. Корни многочлена. Основная теорема алгебры многочленов. Разложение многочлена на множители

§ 1. Теорема Безу

Определение 1. Число z0 C называется корнем многочлена P , если

P (z0) = 0.

Теорема 1. (Безу)

Число z0 является корнем многочлена P, deg P ≥ 1, тогда и только тогда, когда P делится на (z − z0).

Доказательство. 1) Если P (z) делится на Q(z) = z − z0, то существует многочлен H1(z), deg. H1 = deg P − 1, такой, что

Положивwwwздесь z = z0, получим P (z0) = 0, т.е. z0 — корень многочлена

P .

2) Если P (z) не делится на Q(z) = z − z0 (без остатка), то по теореме 1 п. 9.3 (о делении с остатком) существуют многочлены H и R, deg R < deg Q = 1, такие что

(2)

Итак, R ≠ 0 — многочлен нулевой степени, т.е. R(z) = c ≠ 0. Положив в (2) z = z0 получим, что P (z0) = c ≠ 0, т.е. z0 не является корнем многочлена P .

9.5. Основная теорема алгебры многочленов

173

Замечание 1. При доказательстве теоремы 1 получена полезная формула:

P (z) = (z − z0)H(z) + P (z0).	.	ru
			≥ 1. Тогда
Следствие. Пусть z0 — корень многочлена P, n = deg P
существует l N, l ≤ n, такое что
P (z) = (z − z0)lHl(z), Hl(z0) ̸= 0.			(3)

Определение 2. 1) Числоmatemateml в представлении (3) называется порядком кратности корня z0 для многочлена P .

2) Корни многочлена P кратности l = 1 называют простыми; корни кратности l ≥ 2 — кратными.

Доказательство следствия из теоремы Безу.

Поскольку z0 есть корень многочлена, то справедливо равенство (1), где deg H1 = deg P − 1 = n − 1. Если H1(z0) ≠ 0, то это и есть представление

(3) с l = 1. Если же H1(z0) = 0, то к многочлену H1 можно применить теорему Безу, согласно которой

H1(z) = (z − z0)H2(z), deg H2 = deg H1 − 1 = n − 2.
Подставим это равенство в (1):
P (z) = (z − z0)2H2(z), deg H2 = n − 2.	(4)

Если H2(z0) ≠ 0, то это и есть представление (3) с l = 2. Если же H2(z0) =

0, то снова, применив теорему Безу, получим, что . wwwP (z) = (z − z0)3H3(z), deg H3 = n − 3,

H2(z) = (z − z0)H3(z), deg H3 = deg H2 − 1 = n − 3;

и т.д. На каждом шаге степень разности z − z0 увеличивается на 1, степень второго множителя уменьшается на 1. Эта процедура может иметь два исхода. Либо на некотором шаге номера l ≤ n − 1 мы получим представление (3), либо проделав n шагов придем к равенству

P (z) = (z − z0)nHn(z), deg Hn = n − n = 0,

т.е. Hn ≠ 0 — постоянная. Это равенство дает представление (3) с l = n.

174 Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел

§ 2. Основная теорема алгебры многочленов

Важнейшим итогом расширения поля R вещественных чисел до поля C комплексных чисел является следующий результат.

Теорема 2. (основная теорема алгебры многочленов)

Всякий многочлен P степени n = deg P ≥ 1 над полем комплексных чисел имеет хотя бы один корень (в общем случае — комплексный).

Замечание 2. Теорема 2 была впервые доказана немецким математиком
	ru
К. Гауссом (1777 — 1855) в 1799 году. В течение многих лет она явля-
.
лась центральным результатом алгебраической теории, давшим толчок

развитию ряда ее направлений, и за ней сохранялось название "основной теоремы алгебры". К настоящему времени алгебра развилась в мощную разветвленную область математики. Изучаемые ей объекты ("алгебраические структуры") весьма разнообразны и кольцо многочленов является лишь одним из них, хотя и весьма важным. Поэтому, сейчас правильнее, видимо, называть теорему 2 основной теоремой алгебры многочленов.

Замечание 3. Выделим частный случай теоремы 2, относящийся к многочленам второй степени, когда нахождение корней многочлена не со-

ставляет труда:		matematem							(5)
	P (z) = p0 + p1z + p2z2						, p2 ̸= 0.
Представим P в виде		[(		2p2 )		−		]
							4p22
				p1		2	p12 − 4p0p2
	P (z) = p2		z +					.	(6)

Действительно, вынеся старший коэффициент за скобки и затем выделяя "полный квадрат" , получим

Из (6) найдем корни многочлена (приравняв нулю выражение в квадратных скобках)

p1.z p0

[(z +

p1

2

p12

p0

] =

P (z) = p2 [z

2

] = p2

) −

+

+

+

p2

p2

2p2

4p22

p2

wwwz1 =

p1

2

p12

− 4p0p2

= p2

z +

.

2p2 )

−

4p22

[(

]

−p1 + p12 − 4p0p2

,

z2 =

−p1 −

p12 − 4p0p2

,

(7)

√			√
		2			2
2p			2p

9.5.		Основная теорема алгебры многочленов									175
где							один из корней из числа	p2		4p0p2	. Напомним, что число
			p2	−		4p0p2			−
	2	1						1
p	1 −√ 0			p	2 может быть отрицательным числом, а в случае комплексных
		4p

коэффициентов p0, p1, p2 даже комплексным. Формулы для корней любых целых степеней из любых комплексных чисел были рассмотрены в п. 4.8.

Замечание 4. Для многочленов 3-ей и 4-ой степени также известны

формулы нахождения корней. Практически они мало употребительны
matematem		выше 4
ввиду большой сложности. Г. Абель показал, что для степенейru
не существуют формулы, выражающие корни многочленов.	в радикалах.

Доказательство основной теоремы алгебры многочленов потребует сочетания алгебраических методов с методами математического анализа. Ему будет посвящен отдельный параграф.

Здесь мы приведем следствие из основной теоремы о количестве корней многочлена степени n ≥ 1 и его разложение на множители.

Теорема 3. 1) Всякий многочлен P степени n = deg P ≥ 1 имеет ровно n корней с учетом их кратности. Пусть z˜1, z˜2, . . . , z˜m — различные корни многочлена; l1, l2, . . . , lm — их кратности (m ≤ n). Тогда

	l1 + l2 + . . . + lm = n.	(8)
2) Справедливо разложение многочлена на линейные множители:
P (z) = pn(z − z˜1)l1 (z − z˜2)l2 . . . (z − z˜m)lm ,		(9)
где pn — старший коэффициент (при zn) многочлена P .
Доказательство.
Часть 1. Получим разложение многочлена степени n ≥ 1
www	P.(z) = p0 + p1z + . . . + pnzn, pn ̸= 0	(10)
на множители
	P (z) = cn(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn),	(11)

где z1, z2, . . . , zn (очевидно) — корни многочлена P ; cn = pn ≠ 0.

Шаг 1. По теореме 2 многочлен P степени n ≥ 1 имеет хотя бы один корень. Обозначим его z1. Тогда, по теореме Безу

P (z) = (z − z1)H1(z), deg H1 = n − 1.

(12)

(z − z˜i)li ,

176 Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел

Если n = 1, то deg H1 = 0, т.е. H1(z) = c1 ≠ 0 и (12) совпадает с (11). Если n ≥ 2, делаем следующий шаг.

Шаг 2. Пусть n	.	ru
	≥ 2. По теореме 2 многочлен H1 степени n − 1 ≥		1

имеет хотя бы один корень. Обозначим его z2 (возможно, что z2 = z1). По теореме Безу

H1(z) = (z − z2)H2(z), deg H2 = deg H1 − 1 = n − 2.

(13)

z˜k, (k = 1, . . . , m). Ясно,matematemчто 1 ≤ lk ≤ n, причем l1 + . . . + lm = n.
Подставим (13) в (12) и получим
P (z) = (z − z1)(z − z2)H2(z), deg H2 = n − 2.	(14)

Если n = 2, то deg H2 = 0, т.е. H2(z) = c2 ≠ 0 и (14) совпадает с (11). Если n ≥ 3, делаем следующий шаг: deg H2 ≥ 1, так что можно выделить еще один корень z3 (быть может совпадающий с уже выделенным) и понизить степень последнего множителя на 1 и т.д.

Шаг n. Проделав n шагов придем к разложению

P (z) = (z − z1) · . . . · (z − zn)Hn(z),

в котором deg Hn = n −n = 0, т.е. Hn(z) = cn ≠ 0. Это и есть разложение вида (11). Таким образом, значения многочленов в правой и левой части (11) совпадают при всех z C. Значит, согласно лемме 1 п. 9.1, совпадают их коэффициенты. В частности, старший коэффициент (при zn) в правой части (11), равный cn, совпадает со старшим коэффициентом в P , т.е. cn = pn.

Часть 2. Покажем теперь совпадение разложений (11) и (9). Среди корней z1, z2, . . . , zn могут быть совпадающие. Из них можно выделить m различных корней (обозначим их z˜1, z˜2, . . . , z˜m, 1 ≤ m ≤ n), так что

Пусть lk — число .тех корней zi, 1 ≤ i ≤ n, которые совпадают с Для каждогоwwwk {1, . . . , m} объединим в (11) одинаковые множители

каждый корень zi совпадает с одним и только одним из z˜1, z˜2, . . . , z˜m.

(z − zi), отвечающие значению zi = z˜k. Их число равно lk, так что произведение дает (z − z˜k)lk , k = 1, . . . , m. В итоге (11) примет вид (9) (напомним, что cn = pn).

Часть 3. Осталось пояснить, что числа l1, . . . , lm, стоящие в (9), совпадают с кратностями корней z˜1, z˜2, . . . , z˜m (см. определение 2). Действительно, для k 1, . . . , m имеем, в силу (9),

∏m

P (z) = (z − z˜k)lk Qk(z), Qk(z) = pn

i=1

i≠ k

9.6. Многочлены с вещественными коэффициентами

177

так что Q(˜zk) ≠ 0, поскольку все z˜1, z˜2, . . . , z˜m различны. Значит, z˜k — корень кратности lk для многочлена P .

.	ru	имеет более n
Следствие 1. Если многочлен P степени не выше n	N
корней (с учетом их кратности), то он нулевой.

Следствие 2. Если два многочлена P и Q степени не выше n совпадают в (n+1)-ой (или более) различных точках, то они равны: P = Q в смысле определения 1.

Замечание 5. Следствие 1 очевидным образом вытекает из теоремы 3, а следствие 2 — из следствия 1. Отметим, что частный случай следствия 1 (когда все корни многочлена различны), а также следствие 2 были уже получены в п. 9.1. как следствия леммы 2.

9.6. Разложение на множители многочленов с вещественными коэффициентами

Пусть коэффициенты многочлена
P (z) = p0 + p1z + . . . + pnzn	(1)

— вещественные числа. Все результаты п. 9.5 применимы к многочлену P , в частности для него справедливо разложение на линейные множители

P (z) = pn(z − z1)l1 . . . (z − zm)lm , z C,

(2)

где z1, . . . , zm — различные корни многочлена P , l1, . . . , lm — их кратности. Однако, использование разложения (2) не всегда удобно. Если среди

корней z1, . . . , zm есть комплексные корни (не являющиеся веществен-
ными), то даже при z matematem= x R отдельные множители в (2) могут ока-
заться комплексными.	числами, хотя само значение P (x) вещественно.

Поэтомуwwwдля многочленов с вещественными коэффициентами полезен следующий результат.

Теорема 1. Если z0 = α0+iβ0, β0 ≠ 0 — комплексный корень многочлена P (1) с вещественными коэффициентами, то сопряженное число z0 = α0 − iβ0 также является корнем этого многочлена, причем той же кратности, что и z0.

Доказательство. 1) Пусть z0 — корень многочлена с вещественными коэффициентами. Покажем, что z0 также является его корнем.

178

Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел

Для многочлена P с вещественными коэффициентами в п. 5.8 была уста-

новлена формула комплексного сопряжения:

ru

P (z) = P (z), z C.

В частности, при z = z0 получим:

.

P (z0) = P (z0) = 0 = 0,

matematemH(z) = (z − z0) H1(z).

(6)

т.е. z0 также является корнем многочлена P .

2) Покажем, что кратности этих коней одинаковы. Пусть l — кратность корня z0, k — кратность корня z0. Из разложения на линейные множители (9) следует, что

P (z) = pn(z − z0)l(z −							z	0)kH1(z),			(3)
причем											(4)
H1(z0) ̸= 0; H1(z0) ̸= 0.
Допустим, что l ̸= k, например, l > k. Выделим в (3) многочлен
											(5)
Q(z) = pn[(z − z0)(z −			z	0)]k = pn(z2 + b0z + c0)k,
где
b0 = −(z0 +	z	0) R; c0 = z0							z	0 = |z|2 R.
Тогда, из (3) и (5) следует, что
	P (z) = Q(z)H(z),
где
				l−k
Многочлены P и Q .имеют вещественные коэффициенты, поэтому и H =
P/Q — многочлен с вещественными коэффициентами (см. упражнение
9.3). При этом, однако, в силу (4) и (6) (c l > k),

wwwH(z0) = 0; H(z0) = (z0 − z0)l−kH1(z0) ≠ 0.

Мы получили противоречие результату, установленному на 1-ом шаге доказательства: z0 есть корень многочлена с вещественными коэффициентами, а z0 — нет. Значит, допущение неверно, т.е. l ≤ k. Аналогично доказывается (сделайте это!), что k ≤ l. Таким образом, l = k, т.е. кратности корней z0 и z0 одинаковы.

9.6. Многочлены с вещественными коэффициентами										179
Замечание 1. Входящий в (5) квадратный трехчлен
z2 + b0z + c0 = (z − z0)(z −		0), b0 = −(z0 +				0) R, c0			0 = |z|2 R
	z				z		= z0z
							ru
не имеет вещественных корней; его дискриминант равен
D0 = b02 − 4c02 = (z0 −			z	0)2 = −4β02 < 0.
matematem
Такой трехчлен называют неприводимым.
Следствие. Пусть многочлен P степени n N с вещественными.										коэф-

фициентами имеет вещественные корни aj кратности lj, j = 1, . . . , m и

комплексные корни zs = αs + iβs, zs = αs − iβs, (βs ≠ 0), s = 1, . . . , r

кратности ks. Тогда,

l1 + . . . + lm + 2(k1 + . . . kr) = n,	(7)
и имеет место разложение на линейные и квадратичные множители
P (z) = pn(z − a1)l1 . . . (z − am)lm (z2 + b1z + c1)k1 . . . (z2 + brz + cr)kr ,	(8)

причем квадратные трехчлены в (8) имеют вещественные коэффициенты и неприводимы.

Доказательство опирается на теорему 1 и теорему 3.

1) Равенство (7) означает совпадение суммы кратностей всех корней со степенью многочлена P .

2) Для получения равенства (8) используем разложение P на линейные множители (2). Множители, отвечающие вещественным корням

a1, . . . , am	кратностей l1, . . . , lm оставляем без изменения, а множи-
	.			, объединим
тели, отвечающие комплексно сопряженным корням zs и zs

вместе. wwwУчитывая их одинаковую кратность ks и равенство (см. аналог в (5))

[(z − zs)(z − zs)]ks = (z2 + bsz + cs)ks , bs = −(zs + zs), cs = zszs,

мы из (2) получаем равенство (8).

Замечание 2. Разложение на линейные и квадратичные множители (8) формально выглядит сложнее разложения на линейные множители (2). Оно обладает, однако, одним преимуществом: если значение аргумента вещественно z = x R, то (в отличие от (2)) все множители в правой части (8) вещественны.

180	Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел

9.7.Формулы Виета

Цель данного параграфа состоит в обобщении на многочлены любых степеней известных из школьного курса математики формул Виета, выражающих коэффициенты квадратного трехчлена через его корни. Сначала мы получим эти формулы для многочленов 2 и 3 порядка, а затем в общем случае.

ru

§ 1. Формулы Виета для многочленов 2-ой и 3-ей степени

matematem

.

Лемма 1. а) Пусть z1, z2

— корни квадратного трехчлена P (z) = p0 +

p1z + p2z2. Тогда

p1

p0

(1)

= −(z1 + z2);

= z1z2.

p2

p2

б) Пусть z1,

z2, z3 — корни многочлена 3-ей степени P (z) = p0 + p1z +

p2z2 + p3z3. Тогда

p2

p1

p0

(2)

= −(z1

+ z2 + z3);

= z1z2 + z1z3 + z2z3;

= −z1z2z3.

p3

p3

p3

Доказательство. а) Используем разложение квадратного трехчлена на множители:

p0 + p1z + p2z2 = p2(z − z1)(z − z2).	(3)
Перемножая в правой части (3) и приводя подобные члены, получим
(z − z1)(z − z2) = z2 − (z1 + z2)z + z1z2.	(4)

Подставим (4) в (3) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях z слева и справа. В результате получим равенства (1).

б) Разложим кубический многочлен на множители (см. п. 9.5)
www
p0 + p1z.+ p2z2 + p3z3 = p3(z − z1)(z − z2)(z − z3).	(5)
Используем уже полученное равенство (3):
(z − z1)(z − z2)(z − z3) = [z2 − (z1 + z2)z + z1z2](z − z3).
Перемножая и приводя подобные члены, получим
(z−z1)(z−z2)(z−z3) = z3−(z1+z2+z3)z2+(z1z2+z1z3+z2z3)z−z1z2z3. (6)

Подставим (6) в (5) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях z слева и справа. В результате получим равенства (2).