- •Математика, ч.1
- •1. Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа
- •Математика, I семестр
- •2.1.1. Основы линейной алгебры (25 часов) [1]
- •2.1.2. Основы векторной алгебры (8 часов) [1],[2]
- •2.1.3. Аналитическая геометрия (40 часов) [2]
- •2.1.4. Введение в математический анализ (62 часа) [3]
- •Математика, II семестр
- •2.1.5. Дифференциальное исчисление функций
- •2.1.6. Элементы высшей алгебры (14 часов) [3]
- •2.1.7. Неопределенный и определенный интегралы (38 часов) [3]
- •2.1.8. Функции нескольких переменных (32 часа) [3]
- •2.2. Тематический план дисциплины (1 курс)
- •2.2.1. Заочная форма обучения
- •2.2.2. Дневная форма обучения
- •2.2.3. Очно-заочная форма обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины «Математика»
- •2.4. Практический блок Практические занятия
- •3. Информационные ресурсы дисциплины Библиографический список
- •4.1.2. Матрицы и операции над ними
- •4.1.3. Векторы, операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов
- •Зная координаты перемножаемых векторов , можно вычислить скалярное произведение
- •4.1.4. Приложение векторной алгебры к задачам аналитической геометрии
- •4.1.5. Геометрические образы уравнений на плоскости и в пространстве
- •Вычисление пределов с использованием теорем
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Вычисление пределов с использованием эквивалентных бесконечно малых величин
- •Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции
- •4.2.6. Производная и дифференциал
- •Вычисление производных
- •4.2.7. Дифференцирование сложной функции
- •4.2.8. Геометрический смысл производной и дифференциала функции
- •4.2.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Следовательно, используя формулу (3), получаем
- •Применение правила Лопиталя к нахождению
- •4.3.2. Раскрытие неопределенностей типа и
- •4.3.3. Раскрытие неопределенностей типа
- •4.3.4. Применение производной к исследованию функции. Построение графиков функций
- •Промежутки монотонности и точки экстремума функции
- •4.3.5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •4.3.6. Асимптоты графика функции
- •4.3.7. Общий план исследования функции
- •Комплексные числа
- •Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •4.3.8. Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки)
- •4.3.9. Метод интегрирования по частям
- •4.3.10. Интегрирование дробно-рациональных функций от различных выражений
- •Определенный интеграл
- •4.4.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •4.4.3. Вычисление площадей плоских фигур
- •4.4.4. Вычисление длин дуг кривых
- •4.4.5. Вычисление площадей поверхностей вращения
- •4.4.6. Вычисление объемов тел вращения
- •Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Частные производные
- •Полный дифференциал
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в ограниченной области
- •4.5. Задания на контрольные работы nn 1-4
- •Задание на контрольную работу № 1
- •Задание на контрольную работу № 2
- •В задачах 71-80 найти первую производную функции
- •Задание на контрольную работу № 3
- •В задачах 131-140 найти неопределенные интегралы, используя для вычислений формулу интегрирования по частям.
- •Задание на контрольную работу № 4
- •4.6. Текущий контроль Тестовые задания
- •Содержание
Следовательно, используя формулу (3), получаем
-
Методические указания по выполнению
контрольной работы N 3
Применение правила Лопиталя к нахождению
предела функции
[5],гл.1,16; [3],т.1,гл.4,§§4-5; [8],гл.7,§2; [9],гл.11,§9, [10]
При отыскании предела подстановка предельного значения в ряде случаев приводит к неопределенным выражениям типа: . Тогда вычисление заданного предела называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно при этом используют правило Лопиталя.
4.3.1. Раскрытие неопределенностей типа и
Непосредственно применять правило Лопиталя можно только для раскрытия неопределенностей типа или . Согласно этому правилу, предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) существует и равен пределу отношения их производных:
если выполнены условия:
1) функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а и g'(х) ≠ 0 в этой окрестности (кроме, может быть самой точки а);
2)
3) существует (конечный или бесконечный), при этом а может быть как числом, так и одним из символов:
Пример 28. Найти
Решение: Поскольку
и то имеем неопределенность типа . Функции дифференцируемы на всей числовой оси. Найдем предел отношения их производных:
Так как этот предел существует, то согласно правилу Лопиталя:
Замечание. Если предел отношения производных вновь представляет собой неопределенность типа или , то правило Лопиталя применяется еще раз.
4.3.2. Раскрытие неопределенностей типа и
Неопределенность типа или следует вначале путем тождественных преобразований привести к неопределенностям типа или , для раскрытия которых можно непосредственно применить правило Лопиталя.
Пример 29. Найти
Решение: При аргумент логарифмической функции Так как и , то возникает неопределенность типа . Обычно в таких случаях один из сомножителей записывают в знаменатель данного выражения:
Получена неопределенность типа , к которой применимо правило Лопиталя:
(поскольку ). Здесь имеет место неопределенность типа , для раскрытия которой снова применяем правило Лопиталя:
Пример 30. Найти
Решение: Выражение в скобках, представляющее собой неопределенность типа , приводим к общему знаменателю:
Полученную неопределенность типа раскроем по правилу Лопиталя (в ходе вычислений это правило применено дважды):
4.3.3. Раскрытие неопределенностей типа
При раскрытии указанных неопределенностей используются:
а) основное логарифмическое тождество (в частности, );
б) непрерывность показательной функции, в силу чего:
Пример 31. Найти .
Решение: Поскольку , имеем неопределенность типа . Найдем вначале предел логарифма заданной функции: . Здесь возникла неопределенность типа . Если учесть, что , то перейдем к неопределенности типа , которую можно раскрыть по правилу Лопиталя:
Теперь используем основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции:
Таким образом, для вычисления в случае неопределенностей , применяем правило:
.