2.8 Показательная форма комплексного числа

Если  комплексному   числу  z = (cos j + i sin j), модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение e^ij, то получим соотношение cos j + i sin j = e^ij, которое называется формулой Эйлера. Любое  комплексное   число  z можно записать в виде z = re^ij. Эта  форма   записи   комплексного   числа  называется показательной  формой . Существуют  три   формы   записи   комплексного   числа :

ь z = a + bi - алгебраическая  форма ;

ь z = r (cos j + i sin j) - тригонометрическая  форма ;

ь z = re^ij - показательная  форма .

Вопрос 4

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

,

где e — основание натурального логарифма

i — мнимая единица

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

Вопрос 5

векторное произведе́ние векторов

Векторным произведением вектора   на вектор   называется третий вектор   определяемыйследующим образом:  1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах   и  , т.е.

где φ - угол между векторами   и  ;  2) вектор   перпендикулярен векторам   и  ;  3) векторы   после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов

Вопрос8

Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.

Скалярная величина – это такая величина которая обладает лишь числовым значением.

Векторная величина –величина обладающая направлением.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ОА=а. От точки А отложим вектор АВ = b . Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и b : О B=а+b.Под разностью векторов а и b понимается вектор с=а-b такой, что b+с=а. Произведением вектора а на скаляр (число) λ  называется вектор λ*а (или а*λ), который имеет длину    |λ|*|а|, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.    а+b=b+а 2.     (а +b) +с=а + (b +с), 3.    λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а, 4.      (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а, 5.    λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

Вопрос 9

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

 

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как | a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

     

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba