Вопрос26

Система линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Формулы Крамера.

Система линейных ур-й с n неизвестными называется система вида:

Теорема Крамера

Если определитель квадратной Слау не равен 0 то она имеет единственное решение, значение неизвестных в которых вычисляестя по формуле x1= x2= …

Вопрос27

Пусть дана система   линейных уравнений с   неизвестными:

Матрицей системы называют матрицу, составленную из коэффициентов при неиз­вестных, расширенной матрицей системы – матрицу из коэффициентов с дополни­тельным столбцом из свободных членов. Если обозначить их соответственно   и  , то

,  .

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений

Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную мат­рицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

~ ~

~ .

Таким образом, матрица   содержит две ненулевые строки, значит ее ранг   равен двум. В матрице   три ненулевых строки, ее ранг   равен трем. А т.к.  , система несовместна.

Вопрос28

. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Определение 1. Две совместные системы уравнений называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой. Можно доказать, что следующие преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей:

1) перемена местами двух уравнений;

2) умножение обеих частей одного из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, основан на применении указанных преобразований.

Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Решение. Исключим неизвестное   из второго и третьего уравнений. Для этого, умножив обе части первого уравнения на  , сложим его со вторым; затем, умно­жив обе части первого уравнения на  , сложим его с третьим. Первое урав­нение записывается в систему без изменения:

Так как второе и третье уравнения эвивалентны, то переходим к системе:

.

Из последнего уравнения выражаем  :  . Затем, подставляя вместо   данное выражение в первое уравнение, получаем:  . Таким образом, получено решение:  .

Поскольку все проделанные операции меняют только коэффициенты при неиз­вестных и свободные члены, удобнее и короче всю цепочку преобразований вы­полнить не над системой, а над расширенной матрицей:

.

Последняя матрица определяет систему

из которой последовательно выражаются   через  . Как было указано в п.1.4, проделанные выше преобразования над матрицей не меняют ранга матрицы, поэтому одновременно проведено исследование системы. По виду последней матрицы можно сказать, что  , следовательно, система совместна. А так как число неизвестных системы равно трем, она имеет единственное решение.