- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •2.6 Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •2.7 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •2.8 Показательная форма комплексного числа
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Разложение вектора по ортонормированному базису
- •Вопрос13
- •Вопрос14
- •Вопрос15
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •Вопрос16
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •Вопрос16 Смешанное произведение
- •Свойства
- •Вопрос17
- •Вопрос18
- •Вопрос 8 Действия над матрицами.
- •Операция транспонирования и умножение матриц связаны след. Образом:
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос21
- •Вопрос22
- •Вопрос23
- •Где а I j - алгебраические дополнения элементов a I j.
- •Вопрос24
- •Вопрос25 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Вопрос26
- •Вопрос27
- •Вопрос28
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Вопрос 33
- •Вопрос 34
- •Вопрос36
- •Вопрос37
- •Вопрос38
Вопрос13
Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.
. Разложение вектора по базису.
любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по базису е1, е2, е3 , т.е. вектор а=х1е1+х2е2+х3е3. вектор а представляет собой линейную комбинацию векторов е1, е2, е3 |
Вопрос14
Система векторов называетсялинейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один отличен от нуля, что .
Вопрос15
пределение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а иb как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k(см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j. Докажем, например, что iхj=k.
1) k^i, k^j;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).
7.2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxaпротивоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ).
Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторыl(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Примем без доказательства.
Вопрос16
пределение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а иb как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k(см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j. Докажем, например, что iхj=k.
1) k^i, k^j;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).